Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский федеральный университет им. И.Канта

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kretov_vse

.pdf

Скачиваний:

118

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

3.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 5035 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

§10.2. ирВ‰ВО ЩЫМНˆЛЛ ‚ ЪУ˜НВ. зВФрВр˚‚МУТЪ¸ ЩЫМНˆЛЛ ‚ ЪУ˜НВ Л М‡ ПМУКВТЪ‚В

3272. lim(x

+ y

) sin

3 1

3273. lim

(x −1)5 ( y + 2)

(x −1)2

( y +

2)2

x→0

x→1

y→0

y→−2

3274. lim

x2 y3

3275. lim

x − y2

y→0 x

+ y

y→0

4 − x + y

− 2

x→0

3276. lim

5sin 3 x −sin y2

x→0

25 + sin y

−5sin

x −5

y→0

3277. lim

(x2 + y2 )x2 y2

3278. lim

x2 +( y −2)2 +1 −1

+ y

−4 y + 4

y→0 1− cos

y→2

x→0

x2 + y2 +3(x4 + y4 )

x+y

3280. lim

3279. lim

7(x

+ y

)

x→+∞

x→∞

y→5

y→∞

3281. lim

esin xy

−1

3282. lim

ex2 +y2

−1

2x(x2

+ y2 )

x2 + y2

x→0

y→−1

y→0

2+x2 −y2

3283. lim (1+3x2 + 2 y2 )3x2 +2 y2 .

x→0 y→0

3284. lim	sin xy	.

x→0	x
y→a

3285. lim(x2 + y2 ) x2 y2 .

x→0 y→0

		1	x2
	+		x+y	.
3286. lim 1
x→∞		x
y→a

3287. lim(x	2	+ y	2		1	+ cos	1
				) sin	x			.
				) sin				.
y→0							y
x→0

3288. lim	arcsin x2 y	.
3288. lim	xy2	.
x→0	xy2
y→2

3289.Непрерывна ли функция f (x; y) = (x + y) sin	1
	x2 + y2

при x ≠ 0 , y ≠ 0 и f (0;0) = 0.

341

ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı

Исследовать на непрерывность данные функции в указанных точках:

3290. f (x, y) =

в точке O(0;0) .

3291. f (x, y) =

в точке M0 (4;1).

+ y) arccos		2xy	, при x ≠ 0, y ≠ 0
	x2 + y 2				,

			, при x = 0, y = 0
− y −3)cos		x + y −1		, при x ≠ 4, y ≠	1
						,
		x − y +3

, при x = 4, y =1

ln(1+ xy2 )			, при x ≠ 0, y ≠ 0
		2	, при x ≠ 0, y ≠ 0
	3xy		,
3292. f (x, y) =	3xy		,
	1		, при x = 0, y = 0
	3		, при x = 0, y = 0
	3

в точке O(0; 0).

Доопределить до непрерывной данную функцию в указанной точке

3293.

f (x, y) =

−1)3 ( y − 2)

(1; 2).

(x −

1)2 + ( y −2)2

3294.

f (x, y) =

(x −1)( y −1)2

M 0 (1;1).

(x −

1)( y −1) + (x −

1)2 + ( y −1)2

3295.

f (x, y) =

x( y −1)2

, M0 (0; 1).

−

x( y −1)2 +36

3296.

f (x, y) =

ln(1

+ xy2 )

, M 0

(0;4).

3xy2

342

§10.2. ирВ‰ВО ЩЫМНˆЛЛ ‚ ЪУ˜НВ. зВФрВр˚‚МУТЪ¸ ЩЫМНˆЛЛ ‚ ЪУ˜НВ Л М‡ ПМУКВТЪ‚В

3297.	f (x, y) = (x − y) arcsin	2			xy		,	M0 (0; 0).

			x	+		y

Найти и исследовать точки разрыва данных функций:

3298.	f (x, y) =	x2	+ 3x − y2 + 2			.	3299.	f (x, y) =	3x2 + y2					.
3298.	f (x, y) =		x2 + y2			.	3299.	f (x, y) =	x2 + y2			−	1	.
			x2 + y2						x2 + y2			−	1
			1						3
							3301. f (x, y) = e−				.
3300.	f (x, y, z) =				.					x2 +y2
3300.	f (x, y, z) =		x2 + y 2	− z 2	.					x2 +y2
			x2 + y 2	− z 2

3302.

3304.

3306.

3308.

3310.

f (x, y) = ex2 +y2 .

f (x, y) = y −1x2 . f (x, y) = x +x y . f (x, y) = sin xy1 .

f (x, y) = ln(1 − x2 − y2 ).

3303.

3305.

3307.

3309.

3311.

f (x, y) =

f (x, y, z)

	x2 + y2 +1	.
	(x − y)4	.
	(x − y)4

x2 + y 2

x+ y .

x3 + y3

sin x sin y

=xyz1 .

§10.3. у‡ТЪМ˚В ФрУЛБ‚У‰М˚В

Будем предполагать, что функция u = f (M ) определена в

некоторой окрестности точки	M Rm , причем	точка
M k (x1 ;...; xk −1 ; xk + ∆xk ; xk +1 ;...; xm )	также принадлежит	этой
окрестности.
		343

ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı

Определение 1. Частной производной функции f (M ) в точке М по аргументу xk называется предел:

lim	f (x1;...; xk −1; xk + ∆xk ; xk +1;...; xm ) − f (x1;...; xm )								.
lim									.
∆xk			∆xk
∆xk
Обозначение: fx′ = u′x			=	∂f	=		∂u	. Итак,
Обозначение: fx′ = u′x			=	∂x	=		∂x	. Итак,
	k	k		∂x			∂x
				k			k
		∂u	= lim		∆xk u .
		∂xk	= lim		∆xk u .
		∂xk	∆xk →0			∆xk
			∆xk →0

(10.3.1)

(10.3.2)

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

бДСДзаь

Найти частные производные от функций:

3312. u = x3 + 3x2 y − y3 .

3313. u =

3314. u =

x − y

3315. u = arctg

3316. u = sin(x + y).

3317. u = x2 y.

x + y

3318. u = x2 y3 + x3 y.

3319. u =

3320. u =

x + y

x − y

3321. u = x2 sin y.

3322. u = e xy .

3323. u = xyex+2 y .

3324. u = e−

3325. u = ln(x + ln y).

3326. u = x

y +

3327. u = x− yx .

3328. u = x4

+ y4

− 4x2 y3 .

3329. u = xy +

3330. u =

3331. u =

3332. u = x sin(x + y).

x2 + y2

344

§ 10.3. у‡ТЪМ˚В ФрУЛБ‚У‰М˚В

3333. u =

cos x2

3334. u = tg

3335. u = x y .

3336. u = ln(x + y2 ).

3337. u = arctg

x + y

1− xy

3338. u = arcsin

3339. u =

+ y2

x2 + y2 + z2

3340. u =

3341. u = x

3342. u = x y

3343. u = sin xyz .

3344. u = cos xyz .

3345. u = e xyz .

3346. u = tgxyz .

3347. u = ctgxyz .

3348. u = x2 + y2 + z2 +

3 .

3349. u = x3 + y3 + z3 + 7 .

3350. u = x5 + y7 + z +

5 .

3351. u = ex +e2 y

+e3z +

11 .

3352. u = e2 x+3 y+5z .

3353. u = e5x+7 y+11z .

3354. u = arcsin(x − y + 2z).

3355. u = arccos(2x − y − z).

3356. u = arctg(2x − 3y + 4z).

3357. u = arcctg(3x + 4 y − 3z).

3358. u = ln(e−x + y + 2z).

3359. u = ln(2x − y +3z +

5).

3360. u = x − y.

3361. u = x

y − y

3362. u

+ y3

+ y2

3363. u = (5x2 y − y3 + 7)3 .

3364. u = x

y +

3 x

3365. u = ln(x +

x2 + y2 ).

3366. u = arctg

3367. u =

arctg

3368. u = ln(x2 + y 2 ).

3369. u = ln

x2 + y2

− x

x2 + y2 + x

345

ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı

3370. u = arcsin

x2 − y2

. 3371. u = ln tg

x2 + y2

3372. u = sin

cos

3373. u =

3374. u = (1 + xy)

3375. u = xy ln(x + y).

3376. u = xyz.

3377. u = xy + yz + zx.

3378. u = x2 + y2 + z2 .

3379. u = x3 + yz 2 + 3yx − x + z.

3380. u = ex( x2 +y2 +z2 ) .

3381. u = sin(x2

+ y 2

+ z 2 ).

3382. u = ln(x + y + z).

3383. u = (1 + log y

x)3 .

3384. u = xyesin πxy .

3385. u = (x2 + y2 )

1−

x2 + y2

3386. u = arctg

xy .

3387. u = 2

1−

3388. u = ln(xy2 + yx2 +

1+ (xy2 + yx2 )2 ).

3389. u = 1−

x + y

+ arcsin

x + y

3390. u =

(x2 + y2

+ z2 )2

3391. u = arctg(x − y) z .

3392. u = (sin x) yz .

3393. u = ln

1−

+ y2

+ z2

3394. u = (2x + y)2 x+y .

+ y2 + z2

3395. u =

x cos y − y cos x

3396. u =

sin2 x +sin2

y +sin2 z.

1 + sin x + sin y

346

§ 10.4. иУОМ˚И ‰ЛЩЩВрВМˆЛ‡О

Полным приращением функции f(M) в точке M (x1; x2 ; ...; xm ), соответствующим приращениям независимых переменных ∆х1, ∆х2, …, ∆хm, является разность:

∆u = f (x1	+ ∆x1; x2	+ ∆x2	; ...; xm + xm ) −	(10.4.1)
	− f (x1; x2 ; ...; xm ).			(10.4.1)
	− f (x1; x2 ; ...; xm ).

Определение 1. Функция u = f(M) называется дифференцируемой в точке M (x1; x2 ; ...; xm ), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде:

∆u = A1∆x1 + A2∆x2 + …+ Am∆хm + α1∆х1 + α2∆х2 + αm∆хm, (10.4.2)

где A1, A2, …, Am — это некоторые, не зависимые от ∆x1, ∆x2, …, ∆хm числа, а α1, α2, …, αm — бесконечно малые функции соответственно при ∆x1 →0, ∆x2 →0, …, ∆хm →0.

Если функция u =f(M) дифференцируема в точке M (x1; x2 ; ...; xm ), то она имеет в этой точке частные производные по

всем аргументам, причем ∂u = Ai ,i =1,2,..., m.

∂xi

Если функция f(M) дифференцируема в некоторой точке М, то она непрерывна в этой точке.

Если функция u = f(M) имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности точки М, причем эти производные непрерывны в самой точке М, то данная функция дифференцируема в этой точке.

Определение 2. Дифференциалом функции u = f(M), дифференцируемой в точке M (x1 ; x2 ;...; xm ), называется главная ли-

нейная относительно приращений ∆xi (i=1,2,…,m) часть

L=A1∆x1+A2∆x2+…+Am∆хm приращенияэтойфункциивточкеМ. Таким образом, дифференциалом функции u=f(M) в точке М

называется выражение:

347

ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı

du =	∂u	∆x +	∂u	∆x	+... +	∂u	∆x	m	.	(10.4.2)
	∂x		∂x			∂x
		1		2
	1		2			m

Приращения ∆хi называются дифференциалами dхi независимых переменных хi. Тогда

du =

∂u

dx +

∂u

+... +

∂u

dx .

(10.4.3)

∂x

При малых ∆х1, ∆х2, …, ∆хm,

∆u ≈

∂u

∆x +

∂u

∆x

+... +

∂u

∆x .

(10.4.4)

∂x

бДСДзаь

Найти полное приращение функции в данной точке при данных приращениях аргументов:

3397. u = x2 y ; М0(1; 2); ∆х = 0,1; ∆у = – 0,2.

3398. u =		x2 y2			; М0(2; 2); ∆х = – 0,2; ∆у = 0,1.
	x2 y2 −(x − y)2
x2		+ y2 2
3399. u =			; М0(1; 1); ∆х = – 0,1; ∆у = – 0,1.
		xy

3400. u = 3x2		+ xy − y 2		+1; М0(2; 1); ∆х = 0,1; ∆у = 0,2.
3401. u = 3x2		+ xy − y 2		+1; М0(2; 1); ∆х = 0,01; ∆у = 0,02.
3402. u = x2 − xy + y 2 ; М0(2; 1); ∆х = 0,1; ∆у = 0,1.
3403. u = lg(x2 + y 2 ); М0(2; 1); ∆х = 0,1; ∆у = – 0,1.
Вычислить приближенно:
3404.1, 042,03. 3405.			(1, 04)2 +(3, 01)2 . 3406. sin 28° cos 61°.

3407. (sin2 1,55 +8e0,015 )5 . 3408. arc tg	1, 02 .
	0,95
348

x2 + y2 + x

§ 10.4. иУОМ˚И ‰ЛЩЩВрВМˆЛ‡О

3409. 5e0,02 + 2, 032 . 3410. ln(0, 093 +0,993 ).

3411. cos 2,36 arc tg 0,97 32,05. 3412.1,002 2,0032 3,0043.

3413.	1, 032				.	3414.	(1, 02)3 +1,973 .

	3 0,98 4 1, 053
3415. sin 29		°		°			1,97
			sin 46 .			3416. arctg				−1 .
							1, 02
3417. 2, 0032 3,9983 1, 0022.						3418.1, 002 2, 0032 3, 0043.
3419. (1, 02)3 (0,97)2 .						3420.	1, 023 +1,97.
3421. sin 29°tg 46°.						3422. (0,97)1,05.
Найти полные дифференциалы следующих функций:
3423. u = (5x2 y − y3 +7)3.						3424. u = arctg		x	.

								y

3425. u = x	y +	y	.

		3 x
3427. u =	x +	x2 + y2 .

3426. u = ln tg xy .

3428. u = ln	x2	+ y2	− x	.
3428. u = ln				.

3429. u = arccos

− y2

3430. u = sin

cos

+ y2

3431. u = (x2 + y2 )

−

+ y2

3432. u = x3 + yz 2 + 3yx − x + z.

3433. u = x

3434. u = x y z .

349

ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı

3435. u = x3 + y3 − 3xy.

3436. u = x2 y3 .

3437. u =

− y 2

+ y 2

3438. u = sin 2 x + cos2

3439. u = yx y .

3440. u = ln(x2 + y 2 ).

3442. u = arctg

+ arctg

3441. u = ln 1

3443. u = ln tg

3444. u =

3445. u = xyz.

y 2

3446. u =

+ y

+ z

3448. u = arctg

3447. u = xy +

3449. u =

3450. u = x2 y 4

− x3 y3 + x4 y 2 .

+ y 2

3451. u =

ln(x2 + y 2 ).

3452. u =

x + y

3453. u = arcsin

x − y

3454. u = sin xy.

3455. u = arctg

+ y

3456. u =

+ y

1 − xy

− y 2

3457. u = arctg(xy).

3458. u = xyz .

§10.5. СЛЩЩВрВМˆЛрУ‚‡МЛВ ТОУКМ˚ı Л МВﬂ‚М˚ı ЩЫМНˆЛИ

Пусть функции
xi = ϕi (t1; t2 ; ...; tk ), i =1, 2, …, m	(10.5.1)
дифференцируемы внекоторой точке T (t1; t2 ; ...; tk ),	а функция
u = f (x1; x2 ;...; xm )	(10.5.2)

дифференцируема в соответствующей точке М с координатами xi =ϕi (T ). Тогда сложная функция u = f (ϕ1 (T ); ϕ2 (T ); ...;

350

<<< < Предыдущая 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 3435 / 5035 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.2015178.79 Кб157Kopia_testy_dlya_farmy_studentam_s_otvetami.docx
#
20.11.2018110.59 Кб6Kosti_tulovishcha-449.doc
#
16.11.2019112.64 Кб10KP.doc
#
24.09.2019614.91 Кб6Kratky_konspekt_lektsy_pravo.doc
#
23.03.20161.05 Mб123Kretov1.pdf
#
23.03.20163.26 Mб118Kretov_vse.pdf
#
23.03.2016543.23 Кб147kuharenko_v_a_praktikum_po_stilistike_angliiskogo_yazyka.doc
#
25.08.2019126.74 Кб11Kultura_kontrolnaya_dopolnennoe.docx
#
22.09.2019416.92 Кб7Kumleva_T_Samaya_Sovremennaya_Fraze.docx
#
20.11.2019162.82 Кб4kursOS.doc
#
27.10.2018335.87 Кб15Kuznecov.doc