Kretov1
.pdfкйллавлдав ЙйлмСДклнЗЦззхв мзаЗЦкланЦн ЛП. аееДзмагД дДзнД
е. З. дрВЪУ‚, з. З. ЗЛМУ„р‡‰У‚‡
лЕйкзад бДСДу ий ЗхлтЦв еДнЦеДнадЦ
Сгь лнмСЦзнйЗ лиЦсаДгъзйлна «нЦгЦдйеемзадДсаь»
ó‡ÒÚ¸ I
иУ‰ рВ‰‡НˆЛВИ е. З. дрВЪУ‚‡
аБ‰‡ЪВО¸ТЪ‚У кУТТЛИТНУ„У „УТЫ‰‡рТЪ‚ВММУ„У ЫМЛ‚ВрТЛЪВЪ‡ ЛП. аПП‡МЫЛО‡ д‡МЪ‡
2008
УДК 512.64(07) ББК 22.11 я 73
К 69
Рецензенты:
В. В. Смагин, д-р физ.-мат. наук, проф. кафедры функционального анализа и операторных уравнений
Воронежского государственного университета; Т. П. Фунтикова, канд. физ.-мат. наук,
зав. кафедрой математических и естественнонаучных дисциплин Калининградского института экономики
Кретов М. В., Виноградова Н. В.
К 69 Сборник задач по высшей математике для студентов специальности «телекоммуникация»: Ч. I / Под ред. М. В. Кретова. — Калининград: Изд-во РГУ им. И. Кан-
та, 2008. — 497 с.
ISBN 978-5-88874-891-6
Даны основные теоретические сведения по всем разделам высшей математики, входящим в первую часть. Подобраны задачи и упражнения для закрепления теории. В конце сборника указаны ответы на все задачи и упражнения.
Подготовлен в соответствии с государственным стандартом по высшей математике для специальности «телекоммуникация» физического факультета университета.
Предназначен для студентов младших курсов естественных специальностей, преподавателей колледжей и вузов.
УДК 512.64(07) ББК 22.11я73
© Кретов М. В., Виноградова Н. В., 2008
ISBN 978-5-88874-891-6 © ИздательствоРГУ им. И. Канта, 2008
2
Светлой памяти талантливого математика Татьяны Алексеевны Кокаревой посвящаем
Творцы математики — это люди с удивительными судьбами, с сильными характерами, преодолевающие трудности и невзгоды поистине героически. Таким творцом математики была Татьяна Алексеевна Кокарева.
Т. А. Кокарева с отличием закончила физико-математический факультет Казанского государственного университета, аспирантуру при Казанском филиале Академии наук СССР с блестящей дос-
рочной защитой кандидатской диссертации по дифференциальным уравнениям.
Работала на кафедре математического анализа Казанского государственного университета, много лет заведовала кафедрой математического анализа Марийского государственного педагогического института, с 1967 года более 20 лет до ухода на пенсию работала доцентом кафедры математического анализа Калининградского государственного университета. Она была лучшим лектором по курсу «Дифференциальные уравнения».
Автор 30 научных работ. В их числе такие ее работы, как: Некоторые теоремы существования аналитических решений для интегро-дифференциальных уравнений // Доклады Академии наук СССР. 1951. Т. 79: Математика (представлена
академиком И. Г. Петровским);
О приближенном вычислении корней уравнения zm=A+Bzk // Журнал вычислительной математики и математической физики / Академия наук СССР. 1962. Т. 2. №1.
3
йЙгДЗгЦзаЦ
Предисловие........................................................................... |
8 |
Глава I. Матрицы и определители. Системы линей- |
|
ных уравнений |
|
§ 1.1. Матрицы и определители..................................... |
10 |
§ 1.2. Системы линейных уравнений............................. |
25 |
Глава II. Элементы векторной алгебры |
|
§ 2.1. Векторы. Линейные операции над ними. |
|
Разложение векторов..................................................... |
47 |
§ 2.2. Скалярное произведение векторов...................... |
56 |
§ 2.3. Векторное произведение векторов...................... |
63 |
§ 2.4. Смешанное произведение векторов .................... |
69 |
Глава III. Основы линейной алгебры |
|
§ 3.1. Линейные пространства и подпространcтва....... |
74 |
§ 3.2. Линейные операторы............................................ |
81 |
§ 3.3. Собственные значения и собственные векто- |
|
ры линейного оператора................................................. |
86 |
§ 3.4. Евклидово пространство....................................... |
90 |
§ 3.5. Приведение квадратичных форм к канониче- |
|
скому виду ....................................................................... |
94 |
Глава IV. Аналитическая геометрия на плоскости |
|
§ 4.1. Метод координат на плоскости............................ |
98 |
§ 4.2. Прямая на плоскости............................................. |
102 |
§ 4.3. Кривые второго порядка......................................... |
107 |
4 |
|
Глава V. Аналитическая геометрия в пространстве |
|
§ 5.1. Метод координат в пространстве ........................ |
125 |
§ 5.2. Плоскость в пространстве.................................... |
127 |
§ 5.3. Прямая в пространстве ......................................... |
132 |
§ 5.4. Прямая и плоскость в пространстве.................... |
137 |
§ 5.5. Поверхности второго порядка.............................. |
142 |
Глава VI. Введение в математический анализ |
|
§ 6.1. Функции и их графики.......................................... |
148 |
§ 6.2. Последовательности и их свойства ...................... |
154 |
§ 6.3. Предел последовательности................................. |
160 |
§ 6.4. Предел функции.................................................... |
167 |
§ 6.5. Непрерывность функции...................................... |
187 |
Глава VII. Дифференциальное исчисление функции |
|
одной независимой переменной |
|
§ 7.1. Производная функции .......................................... |
193 |
§ 7.2. Дифференциал функции....................................... |
213 |
§ 7.3. Теоремы о среднем................................................ |
217 |
§ 7.4. Правило Лопиталя................................................. |
219 |
§ 7.5. Формула Тейлора.................................................. |
225 |
§ 7.6. Приближенные методы решения уравнений...... |
230 |
§ 7.7. Исследование функций и построение |
|
графиков........................................................................... |
237 |
Глава VIII. Неопределенный интеграл |
|
§ 8.1. Непосредственное интегрирование..................... |
247 |
§ 8.2. Замена переменной ............................................... |
250 |
|
5 |
§ 8.3. Интегрирование по частям................................... |
|
253 |
§ 8.4. Интегрирование рациональных функций........... |
254 |
|
§ 8.5. Интегрирование иррациональных функций....... |
258 |
|
§ 8.6. Интегрирование тригонометрических функций.. |
261 |
|
§ 8.7. Интегрирование разных функций........................ |
264 |
|
Глава IX. Определенный интеграл |
|
|
§ 9.1. Вычисление определенного интеграла ............... |
274 |
|
§ 9.2. Несобственные интегралы.................................... |
|
286 |
§ 9.3. Вычисление площади плоской фигуры............... |
293 |
|
§ 9.4. Вычисление длины дуги плоской кривой........... |
300 |
|
§ 9.5. Вычисление объема тела вращения..................... |
303 |
|
§ 9.6. Вычисление площади поверхности вращения ... |
308 |
|
§ 9.7. Статические моменты и моменты инерции........ |
312 |
|
§ 9.8. Нахождение координат центра тяжести.............. |
316 |
|
§ 9.9. Вычисление работы и давления........................... |
322 |
|
§ 9.10. Приближенное вычисление |
определенных |
325 |
интегралов........................................................................ |
|
|
Глава X. Дифференциальное исчисление функций |
|
|
нескольких независимых переменных |
|
|
§ 10.1. Понятие функции. Линии и поверхности |
331 |
|
уровня........................................................................... |
|
|
§ 10.2. Предел функции в точке. |
Непрерывность |
334 |
функции в точке и на множестве................................... |
|
|
§ 10.3. Частные производные......................................... |
|
343 |
§ 10.4. Полный дифференциал....................................... |
|
347 |
§ 10.5. Дифференцирование сложных и неявных |
350 |
|
функций............................................................................ |
|
|
6 |
|
|
§10.6. Касательная и нормаль к поверхности..............
§10.7. Частные производные и дифференциалы выс-
ших порядков...................................................................
§10.8. Производная по направлению. Градиент..........
§10.9. Экстремум функции............................................
Ответы....................................................................................
Рекомендуемая литература...................................................
355
357
362
368
374
496
7
икЦСалгйЗаЦ
Предлагаемая вашему вниманию первая часть сборника задач соответствует программе первого семестра трехсеместрового курса высшей математики для специальности «телекоммуникация» физического факультета университета. Сборник подготовлен преподавателями Российского государственного университета им. И. Канта, имеющими многолетний опыт лекционной и семинарской работы со студентами. Авторы, используя многие широко известные сборники задач и книги по высшей математике, попытались создать задачник в полном соответствии с государственным стандартом указанной выше специальности. При этом авторы старались написать задачник, пригодный для активной работы студентов под руководством преподавателя на практических занятиях.
Первая часть сборника задач состоит из десяти глав, разделенных на параграфы. Он охватывает следующие разделы математики: матрицы и определители, системы линейных уравнений, элементы векторной алгебры, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве, введение в математический анализ, дифференциальное исчисление функций одной переменной, неопределенный и определенный интегралы, дифференциальное исчисление функций нескольких независимых переменных. Каждый параграф сборника начинается с необходимого теоретического материала, включающего важнейшие определения, теоремы и формулы. Затем идет блок задач на тему этого параграфа. В конце книги даются ответы по каждой задаче.
Особая благодарность доктору физико-математических наук, профессору кафедры функционального анализа и операторных уравнений Воронежского государственного универси-
8
тета Виктору Васильевичу Смагину, кандидату физико-мате- матических наук, заведующей кафедрой математики и естественнонаучных дисциплин Калининградского института экономики Татьяне Павловне Фунтиковой за ценные замечания, способствовавшие улучшению учебного пособия.
Авторы будут признательны за любые отзывы, пожелания и критические замечания.
9
É Î ‡ ‚ ‡ I
еДнкасх а йикЦСЦганЦга. лалнЦех газЦвзхп мкДЗзЦзав
§ 1.1. е‡ЪрЛˆ˚ Л УФрВ‰ВОЛЪВОЛ
Определение 1. Прямоугольной матрицей размера m ×n называется совокупность m ×n элементов, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов.
Будем обозначать матрицы большими латинскими буквами и записывать в виде
a |
a |
... |
a |
|
|
11 |
12 |
|
1n |
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
(1.1.1) |
|
A = |
... |
... |
... |
, |
|
... |
|
|
|||
|
am2 |
... |
|
|
|
am1 |
amn |
|
|||
или сокращенно в виде А= (аij) (i = 1, m ; j = 1, n ), где i — номер строки, а j — номер столбца элемента матрицы, i, j называются индексами элемента. Элементами матрицы могут быть числа, функции, векторы, буквы, другие объекты.
Замечание 1. Если необходимо указать размеры мат-
рицы A, то пишутАmn.
Определение 2. Две матрицы Аmn и Bpq равны, если m = p,
n = q и aij = bij (i = 1, m ; j = 1, n ).
Определение 3. Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно матрицей-строкой или матрицей-столбцом.
Определение 4. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Такая матрица обозначается через 0.
10