Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский федеральный университет им. И.Канта

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kretov1

.pdf

Скачиваний:

123

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

1.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

§ 1.1. е‡ЪрЛˆ˚ Л УФрВ‰ВОЛЪВОЛ

Определение 5. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали.

Определение 6. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрица называется квадратной порядка n.

Определение 7. Квадратная матрица, у которой отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называется диагональной матрицей.

Определение 8. Диагональная матрица, у которой все элементы aii = 1, называется единичной и обозначается буквой Е.

Определение 9. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю.

Определение 10. Квадратная матрица A = (aij) называется симметричной, если aij = aji.

Определение 11. Матрица А называется согласованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

Замечание 2. Если матрицы А и В — квадратные одного порядка, то они взаимно согласованы.

Над матрицами можно производить следующие операции. 1. Транспонирование — преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Транспонированная матрица по отношению к мат-

рице А обозначается А′.

2. Умножение матрицы А на число λ:

λA=(λaij). (1.1.2)

3. Сложение матриц А= (aij) и В= (bij) одного размера дает в результате матрицу С= (cij), где

cij=aij+bij. (1.1.3) 4. Умножение матрицы А= (aij), согласованной с матрицей

В= (bij), где i = 1, n , j = 1, m , k = 1, p на матрицу В дает матрицу С= (cik), где

ЙО‡‚‡ I. е‡ЪрЛˆ˚ Л УФрВ‰ВОЛЪВОЛ. лЛТЪВП˚ ОЛМВИМ˚ı Ыр‡‚МВМЛИ

cik = ∑aisbsk . (1.1.4)

s =1

5. Возведение квадратной матрица А в целую положительную степень k >1:

Ak = A ... A.	(1.1.5)
k раз

6. Возведение квадратной матрицы А ≠ 0 в нулевую степень:

A0 = E.

(1.1.6)

Определение 12. Матрица (– 1)А называется матрицей, противоположной матрице А и обозначается – А.

Определение 13. Если для квадратной матрицы А имеет место АА′=Е, то матрица А называется ортогональной.

Замечание 3. Для ортогональной матрицы А′= А– 1. Определение 14. Матрицы А и В называются перестано-

вочными, или коммутативными, если АВ= ВА.

Если имеют смысл соответствующие действия, то введенные выше операции над матрицами обладают следующими свойствами:

1.А+ В= В+ А

2.(А+ В) + С= А+ (В+ С)

3.А+ 0 = А

4.А+ (– А) = 0

5.1 А= А

6.α(βА) = (αβ) А

7.α(А+ В) = αА+ αВ

8.(α+ β) А= αА+ βА

9.АЕ= ЕА= А

10.А0 = 0А= 0

11.(АВ) С= А(ВС)

12.α(АВ) = (αА) В= А(αВ)

13.(А+ В) С= АС+ ВС

14.С(А+ В) = СА+ СВ

15.(А′)′= А

§ 1.1. е‡ЪрЛˆ˚ Л УФрВ‰ВОЛЪВОЛ

16.(αА)′= αА′

17.(А+ В)′= А′+В′

18.(АВ)′= В′А′,

где А, В, С, — матрицы, α, β — числа.

Понятие определителя порядка n вводится только для квадратных матриц такого же порядка. Введем его индуктивно, считая, что уже введено понятие определителя порядка (n – 1). Предварительно введем два понятия.

Определение 15. Минором элемента aik матрицы n-го порядка А называется определитель порядка (n – 1), соответствующий матрице, полученной из матрицы А путем вычеркивания i-й строки и k-го столбца, который обозначается симво-

лом Мik.

Определение 16. Величина

Аik = (– 1)i+k Mik

(1.1.7)

называется алгебраическим дополнением элемента aik. Определение 17. Определителем квадратной матрицы А

порядка n называется число

∑aik Aik , i = 1,2,…, n. (1.1.8)

k=1

Для записи определителя употребляется символ:

		a11	a12	...	a1n
A	=	a21	a22	...	a2n	или
A	=	a21	a22	...	a2n	или
		... ... ... ...
		... ... ... ...
		an1	an2	...	ann
			a11	a12	...	a1n
			a11	a12	...	a1n
det A =			a21	a22	...	a2n
det A =			... ... ... ...
			an1	an2	...	ann

(определитель или детерминант матрицы А).

(1.1.9)

ЙО‡‚‡ I. е‡ЪрЛˆ˚ Л УФрВ‰ВОЛЪВОЛ. лЛТЪВП˚ ОЛМВИМ˚ı Ыр‡‚МВМЛИ

Замечание 4. Формула (1.1.8) есть разложение определителя по элементам i-й строки. Можно также находить определитель, как его разложение по элементам k-го столбца:

А = ∑aik Aik , k = 1, 2, …, n. (1.1.10)

i =1

Из определения 17 следует, что


			a11		a12	=a11a22	– a12a21,	(1.1.11)
			a21		a22
a11	a12	a13
a11	a12	a13
a21	a22	a23		= (a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13) –
a31	a32	a33
	– (a31a22a13 + a32a23a11						+ a12a21a33).	(1.1.12)

Вычисление определителей непосредственно по определению громоздко и нерационально. Для вычисления определителей надо использовать следующие их свойства:

1.Определитель не меняется при транспонировании соответствующей ему матрицы.

2.Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3.Если в определителе переставить две строки, то определитель меняет знак.

4.Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5.Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножается на это число.

6.Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7.Если все элементы i-й строки определителя n-го порядка

представлены в виде суммы двух слагаемых: aij = bij + cij (j = 1,2,…n), то определитель равен сумме двух определителей,

§ 1.1. е‡ЪрЛˆ˚ Л УФрВ‰ВОЛЪВОЛ

у которых все строки, кроме i-й, такие же, как и в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов bij, в другом — из элементов cij.

8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Замечание 5. Все свойства определителя остаются верными, если вместо строк взять столбцы.

Замечание 6. Для квадратных матриц А и В одного порядка имеет место:

АВ = А В .

(1.1.13)

Замечание 7. Для квадратной матрицы А порядка n справедлива следующая формула:

n	0, если i ≠ j,
∑aik Ajk =	A	, если i =	j.	(1.1.14)
∑aik Ajk =				(1.1.14)
k =1

Определение 18. Матрицей, обратной квадратной матрице А, называется квадратная матрица В, удовлетворяющая условию:

АВ = ВА = Е,

(1.1.15)

где Е — единичная матрица.

Обратная матрица обозначается символом А– 1. Определение 19. Квадратная матрица А называется невы-

рожденной, если А ≠0, если же А = 0, то матрица А называется вырожденной.

Замечание 8. Для невырожденной матрицы единственным образом существует обратная матрица.

Определение 20. Матрицей, присоединенной к квадратной матрице А, называется матрица:

	A	A	...	A
	11	21		n1
	A12	A22	...	An2		(1.1.16)
C =			... ...		,	(1.1.16)
... ...			... ...
	A	A	...	A
	1n	2n		nn

где Аik — алгебраические дополнения элемента aik матрицы А.

ЙО‡‚‡ I. е‡ЪрЛˆ˚ Л УФрВ‰ВОЛЪВОЛ. лЛТЪВП˚ ОЛМВИМ˚ı Ыр‡‚МВМЛИ

Замечание 9. Алгебраические дополнения i-ой строки матрицы А находятся в i-м столбце матрицы С.

Замечание 10. Для невырожденной матрицы А обратная матрица А– 1 находится по формуле:

A−1 =	1		C,	(1.1.17)
		A

где С — матрица, присоединенная к матрице А. Замечание 11. Для невырожденных матриц А и В име-

ет место:

1.А– 1 = 1A .

2.(А– 1)– 1 = А.

3.(Аk)– 1 = (А– 1)k.

4.(АВ)– 1 = В– 1А– 1.

5.(А′)– 1 = (А– 1)′.

Рассмотрим прямоугольную матрицу (1.1.1). Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов (k ≤min (m, n)), то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка, определитель которой называется минором k-го порядка матрицы А.

Замечание 12. Матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до min (m, n).

Определение 21. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы, который обозначается символом r (А).

Замечание 13. 0 ≤r(A) ≤min (m, n).

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. Согласно первому способу, если уже найден минор М k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то вычисляют лишь миноры (k+1)-го порядка, содержащие М в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k.

§ 1.1. е‡ЪрЛˆ˚ Л УФрВ‰ВОЛЪВОЛ

Определение 22. Преобразования матрицы:

1)перестановка двух любых строк (или столбцов);

2)умножение строки (или столбца) на отличное от нуля

число;

3)прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число, называется элементарными.

Определение 23. Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований. Если матрицы А и В эквивалентны, то пишут А~ В.

Замечание 14. Эквивалентные матрицы, вообще говоря, не являются равными, но имеют одинаковые ранги.

Определение 24. Матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю, называется канонической.

Замечание 15. При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической.

Замечание 16. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

Замечание 17. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

				бДСДзаь
	Умножить матрицы:
1.	2	1 1	−1	2.	3	5	2 1
1.	3		.	2.			−3 2	.
	3	2 1	1		6	−1	−3 2

ЙО‡‚‡ I. е‡ЪрЛˆ˚ Л УФрВ‰ВОЛЪВОЛ. лЛТЪВП˚ ОЛМВИМ˚ı Ыр‡‚МВМЛИ


		3	1	1 1			1 −1						3		1 1	3	1	1
3.		2	1	2	2		−1 1						2		1 2	2	1	2
3.		2	1	2	2		−1 1		.			4.	2		1 2	2	1	2	.
		1	2	3	1		0 1						1		2 3	1	2	3
		1	2	3	1		0 1						1		2 3	1	2	3
	1 2 1 2 3							1		1		2		1
5.		0 1 2				−1 1		0			0	1		2	.

		3 1 1				1 2					3	1		1
		3 1 1				1 2		−1			3	1		1

a		b	c	1	a	c

6. c b a				1 b c .
	1	1	1		c
	1	1	1	1	c	a

	1 2 1		1		2	3
7.				2	0
		3 1 0				1 .

				3	5	4

					3 1									1		1
	2 1 1										3 2 1									2 3).
8.					2 1 .				9.					2 .	10. 2			(1
8.					2 1 .				9.					2 .	10. 2			(1
	3 0 1										3 0 1						3
				1 0										3			3
												1	0	0	1	1		0	1
						2						1	0	0	1			1	0
						2										1		1	0
11. (1			2	3) 4				.		12.			1	0		1		1	1	.
11. (1			2	3) 4				.		12.		1	1	0	1	1		1	1	.
							1
							1					1 1 1 0				1 0 1


			1	3			2		−6		1
			1	3			2		−6		1
13.		−1		1
13.		−1		1		1			3		−1 .
			2	5
			2	5

																§ 1.1. е‡ЪрЛˆ˚ Л УФрВ‰ВОЛЪВОЛ
										4
14.	4		2	9	−7					3			(−1		9	3 6).
14.													(−1		9	3 6).
			3	11		0
	8		3	11		0			−2
										8
										8
	5 9 7						5		9				3 4
15.	5 9 7							0	3				3 4
15.								0	3					.
				−2
	0 3			−2				0	2			−1 0
								0	2
	Вычислить АВ – ВА:
		1 2 1										4	1	1
16. A =			2	1	2	, B =					−4		2	0	.

			1	2	3							1	2	1
			1	2	3							1	2	1
		2 1 0										3 1 −2
17. A =			1	1	2			, B =				3	−2		4
17. A =			1	1	2			, B =				3	−2		4	.
			−1 2 1									−3 5 −1
			−1 2 1									−3 5 −1

Найти f(A):
	2		1	1
2		3	1	2
18. f (x) = x – x – 1, A =		3	1	2	.
		1	−1	0
		1	−1	0

			2	−1
19. f (x) = x2 – 5x + 3, A =				.
			−3
			−3	3
Найти все матрицы, коммутативные с матрицей А:
1	2		21. A =		1	1
20. A =		.	21. A =			.
	−
−1	−	1			0	1

ЙО‡‚‡ I. е‡ЪрЛˆ˚ Л УФрВ‰ВОЛЪВОЛ. лЛТЪВП˚ ОЛМВИМ˚ı Ыр‡‚МВМЛИ

Найти матрицы, присоединенные к следующим квадратным матрицам:

22.	3			− 2							23.		2							3						24.			sinα					cosα
22.						.					23.										.					24.												.
			4	6													6		−10										−cosα
			4	6													6		−10										−cosα					sinα
			a		−1								2						1	0								1		2			0

25.									26.								1		0							27.			0	1		3
25.			a			a	.		26.								1		0	3 .						27.			0	1		3		.
			a			a																							5 0
																	0 5 −1												5 0			−1
	2			−1 3									1 1 −1
28.			−2	3			2		29.								1		−1		1
28.			−2	3			2	.	29.								1		−1		1			.
			0 2 5
			0 2 5										−1 1 1
	Вычислить определители:
30.		3		−2						2			3					.	32.			3				− 2		.				33.				2		3	.
30.		3		−2	. 31.					2			3					.	32.			3				− 2		.				33.				2		3	.
		4		6						5		−10										− 4				5										1		4
34.			2	1	.	35.			5			−1				.				36.			cosα			sinα						37.			1			1				.
34.			2	1	.	35.			5			−1				.				36.			cosα			sinα						37.			1			1				.
		−1		2					3			1											sin β			cos β										x		x		2
																																			1					2
38.			a +1				b −c						39.						1+		2				2 −		3 .				40.		tgα					−1					.
38.			a +1				b −c					.	39.						1+		2				2 −		3 .				40.		tgα					−1					.
		a2 + a ab − ac																	2 + 3 1− 2														1 tgα
		a +b				b + d											3			−2				1						3			−2					1


41.									.					42.			−2			1				3		.	43.			−2		1						3			.
		a + c				c + d											2			0				−2						2		0						−2
																	2			0				−2						2		0						−2
		2		0		5											2			−1	3									2		1		0
		2		0		5											2			−1	3									2		1		0
44.		1		3		16		.			45.				− 2					3	2				.	46.				1		0		3			.
		0 −1 10															0			2 5										0 5 −1
20

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.2015200.19 Кб28Kontrolnye_voprosy_k_zachetu_ekzamenu.doc
#
10.02.2015178.79 Кб154Kopia_testy_dlya_farmy_studentam_s_otvetami.docx
#
20.11.2018110.59 Кб6Kosti_tulovishcha-449.doc
#
16.11.2019112.64 Кб10KP.doc
#
24.09.2019614.91 Кб6Kratky_konspekt_lektsy_pravo.doc
#
23.03.20161.05 Mб123Kretov1.pdf
#
23.03.20163.26 Mб118Kretov_vse.pdf
#
23.03.2016543.23 Кб145kuharenko_v_a_praktikum_po_stilistike_angliiskogo_yazyka.doc
#
25.08.2019126.74 Кб11Kultura_kontrolnaya_dopolnennoe.docx
#
22.09.2019416.92 Кб5Kumleva_T_Samaya_Sovremennaya_Fraze.docx
#
20.11.2019162.82 Кб4kursOS.doc