Kretov1
.pdf
§ 4.3. äðË‚˚ ‚ÚÓðÓ„Ó ÔÓðfl‰Í‡
719. Составить уравнения гиперболы, фокусы которой ле-
жат в вершинах эллипса |
|
x2 |
– |
y2 |
= 1, а директрисы проходят |
|
100 |
64 |
|||||
|
|
|
||||
через фокусы этого эллипса. |
|
|
|
|||
720. Записать каноническое уравнение кривой второго по- |
||||||
рядка: |
|
|
|
|
|
|
а) 16x2 –9y2 –64x–54y–161=0, |
|
б) 9x2 –16y2 +90x+32y–367=0, |
||||
в) 16x2 – 9y2 –64x– 18y +199 =0, |
г) x2 +y2 –8x +6y=0, |
|||||
д) x2 +y2 +10x – 4y +29 =0, |
|
|
|
е) x2 +y2 –4x +14y +54 =0. |
||
721. Найти точки пересечения прямой и гиперболы: |
||||||
|
|
а) 2x–y–10=0 и |
x |
2 |
– |
y2 |
|
=1; б) 4x–3y–16=0 и |
|
x2 |
– |
y2 |
=1. |
||||||||||
|
|
20 |
5 |
|
25 |
16 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
722. Определить, при каких значениях m прямая y=5/2x+m: |
|||||||||||||||||||||
|
|
а) пересекает гиперболу |
|
x2 |
|
– |
|
y2 |
=1; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
9 |
|
36 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
б) касается ее; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
в) проходит вне гиперболы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
723. Вывести условие, при котором прямая y =kx +m каса- |
|||||||||||||||||||||
ется гиперболы |
x2 |
|
– |
|
y2 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
724. Составить уравнение касательной к гиперболе |
|
|
|||||||||||||||||||
|
x2 |
– |
y2 |
=1 в точке М1(x1; y1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
725. Составить |
|
уравнение |
|
касательных |
к гиперболе |
||||||||||||||||
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20– 5 = 1, перпендикулярных прямой 4x+3y – 7=0.
726.Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:
а) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси Ох, p =3;
121
ЙО‡‚‡ IV. ДМ‡ОЛЪЛ˜ВТН‡fl „ВУПВЪрЛfl М‡ ФОУТНУТЪЛ
б) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Oх, р=0,5;
в) парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси Оу, р=1/4;
г) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси Оу, р=3.
727.Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что парабола расположена симметрично относительно
а) оси Ох и проходит через точку А(9; 6); б) оси Ох и проходит через точку В(– 1; 3); в) оси Оу и проходит через точку С(1; 1); г) оси Оу и проходит через точку D(4; –8).
728.Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
а) y = 2 x ; |
б) y = 2 − x ; |
в) y = –3 |
− 2x ; |
г) y = – 2 x ; |
д) x = 5y ; |
е) x = – 5 |
− y ; |
ж) x = – 3y ; |
з) x = 4 − y . |
|
|
Изобразить эти линии на чертеже.
729. Найти координаты вершины А параболы, величину
параметра р и уравнение директрисы:
а) y2 = 4x– 8; б) y2 = 4– 6x; в) x2 = 6y +2; г) x2 = 2–y;
д) y = 1/4x2 +x +2; |
e) y = 4x2 – 8x +7; |
ж) y = –1/6x2 +2x –7; |
з) x = 2y2 – 12y +14; |
и) x = – 1/4y2 +y; |
к) x = –y2 +2y – 1. |
730.Составить уравнение параболы, если даны: а) фокус F(7; 2) и директриса x – 5 =0;
б) фокус F(4; 3) и директриса y +1 =0; в) фокус F(2; – 1) и директриса x –y –1=0;
г) вершина А(– 2; – 1) и директриса x +2y –1 =0; д) фокус F(5; 0) и директриса x =0;
е) фокус F(0; 2) и вершина А (0; 0).
731.Составить уравнение касательной к параболе y =2px в
ееточке M1(x1; y1).
122
§ 4.3. äðË‚˚ ‚ÚÓðÓ„Ó ÔÓðfl‰Í‡
732.Составить уравнение прямой, которая касается параболы y2 =8x и параллельна прямой 2x +2y –3 =0.
733.Составить уравнение прямой, которая касается параболы x2 =16y и перпендикулярна к прямой 2x +4y +7 =0.
734.Провести касательную к параболе y2 =12x параллельно прямой 3x – 2y +30 =0 и вычислить расстояние d между прямой
икасательной.
735.Составить уравнения касательных к параболе y 2 = 36x,
проведенных из точки А(2; 9).
736.Из точки А(5; 9) проведены касательные к параболе y2 =5x. Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.
737.Из точки Р(– 3; 12) проведены касательные к параболе y2 =10x. Вычислить расстояние d от точки Р до хорды параболы, соединяющей точки касания.
738.Определить точки пересечения:
а) эллипса |
|
x |
2 |
|
+ |
|
y2 |
|
=1 и параболы y2 = 24x; |
|
100 |
|
225 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
б) гиперболы |
|
x2 |
|
– |
y2 |
=– 1 и параболы y2 = 3x; |
||||
20 |
|
5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
в) парабол y =x2 –2x +1, x = y2 –6x +7;
г) окружности x2 +y2 = 25 и параболы 3y2 =16x; д) эллипса x2 +4y2 =8 и параболы x2 = 4y;
е) гиперболы 2x2 – 5y2 =30 и параболы 5y2 – 4x =0;
ж) парабол x2 = 4y и 2y2 –x = 0.
739.Найти центр и радиус окружности, проходящей через точки пересечения двух парабол x2 =y +5, y2 = 2x +10.
740.На параболе y2 = 32x найти точку, расстояние которой от прямой 4x +3y +10 = 0 равно 2.
741.Через фокус параболы y2 =– 4x проведена прямая под углом 120º к оси Ох. Написать уравнение прямой и найти длину образовавшейся хорды.
742.Составить уравнение общей хорды параболы y2 =18x и
окружности (x +6)2 +y2 =100.
123
ЙО‡‚‡ IV. ДМ‡ОЛЪЛ˜ВТН‡fl „ВУПВЪрЛfl М‡ ФОУТНУТЪЛ
743. Через точку А(2; 1) провести хорду параболы y2 =4x, которая делилась бы в данной точке пополам.
744. Найти кратчайшее расстояние параболы y2 =64x от прямой 4x +3y +46 =0.
745. Найти общие касательные эллипса |
x2 |
+ |
y2 |
=1 и па- |
|
45 |
20 |
||||
|
|
|
раболы y2 =20/3x.
746. Какое множество точек определяется каждым из сле-
дующих уравнений: |
|
а) 9x2 +25y2 –36x–50y–164=0; |
б) 9x2 –16y2 –18x–64y–199=0; |
в) 2x2 –4x–y – 1 =0; |
г) y2 –2y – x–1 =0; |
д) 4x2 +9y2 –8x –18y – 25=0; |
e) 4x2 +y2 +16x –6y +9 =0; |
ж) y2 – 2x2 – 20x +2y – 53 =0; |
з) x2 +2xy +y2 –1 =0; |
и) y2 +6y –4x+17 =0; |
к) 9x2 – 4y2 +18x– 16y +29=0; |
л) x2 +y2 +8x– 12y +27 =0. |
|
124
É Î ‡ ‚ ‡ V
ДзДганауЦлдДь ЙЦйеЦнкаь З икйлнкДзлнЗЦ
§5.1. еВЪУ‰ НУУр‰ЛМ‡Ъ ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В
1.Расстояние d между двумя точками М1(x1; y1; z1) и М2(x2; y2; z2) в пространстве определяется формулой
d = |
(x |
2 |
− x )2 |
−( y |
2 |
− y )2 −(z |
2 |
− z )2 . |
(5.1.1) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
2. Координаты |
точки |
М(x; y; z); которая делит отрезок |
|||||||||||||||||||
М1М2 в отношении λ, определяется по формулам |
|
|
|||||||||||||||||||
x = |
x1 +λx2 |
|
, y |
= |
y1 +λy2 |
, z = |
z1 +λz2 |
, |
(5.1.2) |
||||||||||||
|
|
|
1+λ |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1+λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1+λ |
|
|
|||||||
где М1(x1; y1; z1); |
М2(x2; y2; z2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Если М(x; y; z) — середина отрезка [M1M2], то |
|
|
|||||||||||||||||||
x = |
x1 + x2 |
|
, y = |
y1 + y2 |
|
, z = |
z1 + z2 |
. |
|
(5.1.3) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
бДСДзаь
747.Даны точки А(1; –2; –3), В(2; –3; 0), С(3; 1; –9), D(–1; 1;
–12). Вычислить расстояние между: а) А и С; б) ВиD; в) СиD.
748.Даны две вершины А(2; –3; –5), В(–1; 3; 2) параллелограмма АВСD и точка пересечения его диагоналей Е(4; –1; 7). Определить две другие вершины этого параллелограмма.
749.Даны три вершины А, В, С параллелограмма АВСD. Найти его четвертую вершину D:
а) А(3; – 4; 7), В(– 5; 3; –2), С(1; 2; – 3); б) А(3; –1; 2), В(1; 2; –4), С(–1; 1; 2).
750.Отрезок прямой, ограниченный точками А(– 1; 8; 3) и В(9; – 7; –2), разделен точками C, D, E, F на пять равных частей. Найти координаты этих точек.
125
ЙО‡‚‡ V. ДМ‡ОЛЪЛ˜ВТН‡fl „ВУПВЪрЛfl ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В
751.Определить координаты концов отрезка, который точками С(2; 0; 2) и D(5; – 2; 0) разделен на три равные части.
752.Даны вершины треугольника АВС. Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.
а) А(1; 2; –1), В(2; –1; 3), С(–4; 7; 5); б) А(1; –1; –3), В(2; 1; –2), С(– 5; 2; – 6).
753.Вычислить площадь треугольника АВС:
а) А(– 1; 0; –1), В(0; 2; – 3), С(4; 4; 1); б) А(1; 1; – 1), В(2; 3; 4), С(4; 3; 2).
754.Центр масс однородного стержня находится в точке С(1; – 1; 5), один из его концов есть точка А(– 2; – 1; 7). Определить координаты другого конца стержня.
755.На оси Оу найти точку, равноудаленную от двух точек А(2; 3; 1) и В(– 1; 5; – 2).
756.Найти координаты точки на плоскости Оху, равноуда-
ленной от трех точек А(4; 0; 2), В(–1; 2; 4), С(1; 1; – 3).
757.Показать, что треугольник с вершинами в точках А(– 3; 2; 4), В(0; – 2; – 1), С(1; 5; 9) равнобедренный.
758.Отрезок АВ разделен на три равные части. Найти координаты точек деления, если известны точки А(– 2; 4; 1) и
В(2; – 4; 3).
759.Дана точка А(3; –4; 2). Найти координаты точки, симметричной данной относительно координатных плоскостей, осей координат, начала координат.
760.Дан треугольник с вершинами в точках А(5; 2; 4), В(– 3; 6; 0), С(3; 2; –4). Найти длину его медианы, проведенной из вершины А.
761.Показать, что треугольник с вершинами в точках А(8; 0; 6), В(2; – 4; 2), С(6; –6; – 2) прямоугольный.
762.Найти координаты центра тяжести треугольника с вершинами в точках А(2; 5; 0), В(11; 3; 8), С(5; 1; 12).
763.Найти координаты точки на оси Oz, удаленной от точки М(– 2; –1; 4) на 3 единицы.
764.Даны вершины треугольника А(1; – 1; 3), В(– 5; 2; – 6), С(2; 1; – 2). Найти длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.
126
§ 5.1. еВЪУ‰ НУУр‰ЛМ‡Ъ ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В
765.Лежат ли на одной прямой точки А(2; –3; 1), В(0; –11; 3),
С(4; 5; –1)?
766.Найти расстояние от точки А(3; – 4; 5) до начала координат и до осей координат.
767.Даны две вершины параллелограмма ABCD: А(1; 1; –1),
В(– 2; 3; 0) и точка пересечения его диагоналей М(4; 0; 3). Найти координаты вершин С и D.
768. ЧемуравнорасстояниеотточкиА(–12; –3; 4) доосиОх?
§5.2. иОУТНУТЪ¸ ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В
1.Общее уравнение плоскости
Ax +By +Cz+D=0, |
(5.2.1) |
где А, В и С одновременно не обращаются в нуль (А2 +В2 +С2 ≠0)
и являются координатами вектора N , перпендикулярного плоскости.
Частные случаи:
1)A = 0, By+Cz+D = 0 — плоскость параллельна оси Ох;
2)В = 0, Ах+Cz+D = 0 — плоскость параллельна оси Оу;
3)С = 0, Ах+By+D = 0 — плоскость параллельна оси Oz;
4)D = 0, Ах+By +Cz = 0 — плоскость проходит через начало координат;
5)А = В = 0, Cz +D = 0 — плоскость перпендикулярна
оси Oz;
6)В = С = 0, Ах+D = 0 — плоскость перпендикулярна
оси Ох;
7)С= А, By+D = 0 — плоскостьперпендикулярнаосиОу;
8)А = B = D = 0, z = 0 — плоскость ХОУ;
9)А = C = D = 0, у = 0 — плоскость XOZ;
10)B = C = D = 0, x = 0 — плоскость YOZ.
2.Уравнение плоскости в отрезках:
x |
+ |
y |
+ |
z |
=1. |
(5.2.2) |
|
a |
b |
c |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
127 |
ЙО‡‚‡ V. ДМ‡ОЛЪЛ˜ВТН‡fl „ВУПВЪрЛfl ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В
3. Нормальное уравнение плоскости: |
|
x cos α+y cos β+zcos γ– p =0, |
(5.2.3) |
где р — длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскости, α, β, γ — углы, образованные этим перпендикуляром, с осями координат ОХ, ОУ, OZ.
4. Расстояние от точки М0(х0; у0; z0) до плоскости, определяемой уравнением Ax + By +Cz+D = 0, находится по формулe
d = |
Ax0 |
+ By0 +Cz0 |
+ D |
. |
(5.2.4) |
|
A2 + B2 +C2 |
||||
|
|
|
|
||
5.Уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0; у0; z0)
иперпендикулярной вектору N (А, В, С):
А(х– х0) +В(у–у0) +С(z–z0) = 0. |
(5.2.5) |
6. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки М0(х0; у0; z0) М1(х1; у1; z1) М2(х2; у2; z2):
x − x0 x1 − x0 x2 − x0
y − y0 y1 − x0 y2 − y0
z − z0
z1 − x0 = 0 . (5.2.6) z2 − z0
7. Синус угла φ между плоскостями Ax +By +Cz+D=0 и A1x +B1y +C1z+D1 =0:
cos φ = |
AA1 + BB1 +CC1 |
. (5.2.7) |
|
|
|
||
|
A2 + B2 +C 2 A 2 |
+B12 |
+C 2 |
|
1 |
|
1 |
Условие параллельности этих плоскостей:
A |
= |
B |
= |
C |
. |
(5.2.8) |
A |
B |
|
||||
|
|
C |
|
|||
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
Условие перпендикулярности:
АА1 +ВВ1 +СС1 =0. (5.2.9)
128
§ 5.2. иОУТНУТЪ¸ ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В
бДСДзаь
769. Составить уравнение плоскости, проходящей через
а) точку М(2; 3; 5) и перпендикулярной вектору N (4; 3; 2), б) точку А(5; 4; 3) и отсекающей равные отрезки на осях
координат,
в) точку М(2; 3; –1) параллельно плоскости 5x–3y+2z–10=0, г) точку М(2; – 1; 5) перпендикулярно к плоскостям
3x –2y +z+7=0 и 5x –4y +3z+1 =0,
д) точку М(–4; 0; 4) и отсекающей на осях ОХ и ОУ отрезки а = 4 и в = 3,
е) точки М(0; 1; 3) и N(2; 4; 5) параллельно оси ОХ, ж) ось ОХ и точку М(0; 2; – 3),
з) точку М(1; – 3; 5) и отсекающей на осях ОУ и ОZ вдвое большие отрезки, чем на оси ОХ.
770.Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
М1, М2 параллельно данной координатной оси:
а) М1(1; 0; 0), М2(0; 1; 0), ось OZ, б) М1(– 1; 4; 5), М2(1; 2; 3), ось OХ, в) М1(0; 0; 2), М2(4; 0; 0), ось OУ,
г) М1(13; 5; – 1), М2(0; 7; – 4), ось OХ, д) М1(5; –2; 4), М2(– 11; 0; 1), ось OZ, е) М1(2; –1; 1), М2(3; 1; 2), ось OУ.
771.Найти уравнение плоскости, проходящей через точку М параллельно данной плоскости:
а) М(2; – 3; 3), плоскость ХОУ, б) М(1; – 2; 4), плоскость ХОZ, в) М(– 5; 2; –1), плоскость УОZ.
772.Найти уравнение плоскости, проходящей
а) через ось ОХ и точку М(4; – 1; 2), б) через ось ОУ и точку М(1; 4; –3), в) через ось ОZ и точку М(3; – 4; 7).
773. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
М1, М2, М3:
а) М1(1; –1; 2), М2(2; 1; 2), М3(1; 1; 4), б) М1(2; 3; 0), М2(2; 0; –5), М3(0; 3; –5), в) М1(1; 0; 1), М2(1; 1; 0), М3(– 1; 0; 0).
129
ЙО‡‚‡ V. ДМ‡ОЛЪЛ˜ВТН‡fl „ВУПВЪрЛfl ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В
774.Найти расстояние от точки М(1; 3; – 2) до плоскости
2x –3y – 4z+12 =0.
775.Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки М(2; 3; –5) на плоскость 4x –2y +5z–12 =0.
776.Найти уравнение плоскости, точки которой одинаково удалены от точек M(1; – 4; 2) и N(7; 1; – 5).
777.Найти уравнение плоскости, проходящей через точ-
ки M(2; 0; – 1) и N(1; – 1; 3) перпендикулярно плоскости
3x + 2y – z + 5 = 0.
778.Найти уравнение плоскости, зная, что точка М(4; –3; 12) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
779.Найти уравнения плоскостей, проходящих через оси координат перпендикулярно к плоскости 3x – 4y +5z– 12 =0.
780.Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М(0; 2; 0), N(2; 0; 0) и образующей угол в 60º с плоскостью х=0.
781.Вычислить угол между плоскостями, проходящими через точку М(1; – 1; –1), из которых одна содержит ось Ох, а другая — ось Оz.
782.Найти уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точки М(4; –2; 1) и N(2; 4; – 3).
783.Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x+5y+9z–13=0, 3x–y–5z+1=0 и через точку М(0; 2; 1).
784.Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x+2y+3z–5=0 и 3x–2y–z+1=0 и отсекающей равные отрезки на осях Ох и Оz.
785.Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей 2x–y–12z–3=0 и 3x+y–7z–2=0 перпендикулярно плоскости x +2y +5z– 1 =0.
786.Найти расстояние от начала координат до плоско-
сти, проходящей через точки М1(3 
3 ; 0; 0), М2(0; 3 
3 ; 0),
М3(0; 0; 3 
3 ).
787. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и составляющей угол 60º с плоскостью у = х.
130