Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский федеральный университет им. И.Канта

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kretov1

.pdf

Скачиваний:

123

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

1.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

§ 1.1. е‡ЪрЛˆ˚ Л УФрВ‰ВОЛЪВОЛ

		0	a	a					48.
47.		a	0	a	.				48.
		a	a	0
		a	a	b
		a	a	b
50.		b	0	a	.				51.
		b	b	a
		a	a		a


53.	− a		a		x		.		54.
	− a		− a x
			−1	1		0
		2
		2
56.		0	1	2			−1			.
		3	−1	2		3
		3	1	6		1
		8	7	2					0
		8	7	2					0
58.		−8	2	7		10					.
		4	4	4					5
		0	4		−3				2
		a	b	c		d
		a	b	c		d
60.		b	a	d		c		.
		c	d	a		b
		d	c	b		a


	−1	5		2
	−1	5		2
	0	8		4		.
	2	3		8
	1	1		1
	1	1		1
	−1	0		1			.
	−1	−1		0
−3		0		0				0
−3		0		0				0
2		2		0				0	.
1		3	−1					0
−1		5		3				5
					2			3
					2			3
		57.			2			1
		57.			6			2
					2			3

			2	5		7
49.			2	8		5	.
			8	7		3
			0	1		1
			0	1		1
52.			1	0		1	.
			1	1		0
	−3			0		0		0
	−3			0		0		0
55.		2		2		0		0	.
		1		3		−1		0
	−1			5		3		5
−3				4
−3				4
−1				2	.
1				0
0			−5

	0	b	c	d
59.	b	0	d	c	.
	c	d	0	b
	d	c	b	0
	0	− a		−b		− d
	0	− a		−b		− d
61.	a	0		−c		−e	.
	b	c		0		0
	d	e		0		−5

ЙО‡‚‡ I. е‡ЪрЛˆ˚ Л УФрВ‰ВОЛЪВОЛ. лЛТЪВП˚ ОЛМВИМ˚ı Ыр‡‚МВМЛИ

	2	1	1	1	1
	1	3	1	1	1
62.	1	1	4	1	1	.
	1	1	1	5	1
	1	1	1	1	6
	1	1	1	0	0
	1	1	1	0	0
	1	2	1	0	0
64.	0	1	1	0	0		.
	0	0	0	1	1
	0	0	0	1	2

Решить уравнения:

66. 12 x −4 4 = 0.

xx +1

68.− 4 x +1 = 0.

70.		4sin x		1	= 0.
		1	cos x
	Решить неравенства:
72.		3x −3	2	> 0.
72.		3x −3	2	> 0.
		x	1
74.		2x − 2	1
74.		2x − 2	1	> 5.
		7x	2
22

	5	6	0	0	0
	1	5	6	0	0
63.	0	1	5	6	0	.
	0	0	1	5	6
	0	0	0	1	5
	x	0	−1	1	0
	x	0	−1	1	0
	1	x	−1	1	0
65.	1	0	−1	0	1		.
	0	1	−1	x	1
	0	1	−1	0		x

67.	1		4			= 0.
	3x	x + 22
69.	3x		−1		3	= 0.
69.	3x		−1			= 0.
	x	2x −
71.	cos8x		−sin 5x
71.	cos8x		−sin 5x				= 0.
	sin 8x			cos5x
73.	1	x +5			< 0.
73.	1	x +5			< 0.
	2	x
75.	x	3x
75.	x	3x	<14.
	4	2x

§ 1.1. е‡ЪрЛˆ˚ Л УФрВ‰ВОЛЪВОЛ

Найти обратную матрицу для матрицы А:

76. A =

79. A =

82. A =

84. A =

86. A =

3		1			77. A =
			.
	4	2

1		2			80. A =
			.
	2	5

2		5			7
	6	3			4
						.
	5	−2
					−3
a		0		0
	0	b		0
					.
	0	0		c

2			2		3
	1		−1		0
						.
	−1		2		1

1	− 2		78.			sinϕ				cosϕ
		.	78.							.
3	4					−cosϕ
3	4					−cosϕ				sinϕ
1	0		81.		a			b
		.	81.					.
− 2	2
− 2	2				c			d
			1		3			4
			2		0			3
83. A =			2		0			3	.
			− 2		1		−3
			− 2		1		−3
		1		2		−3
			0	1		2
85. A =			0	1		2		.
			0	0		1
			0	0		1
		1		0		0
			2	1		0
87. A =			2	1		0	.
			1	1		2
			1	1		2

	1	3	−5 7				1		1 1 1
	0	1							−1 1
			2 −3				1				−1
88. A =	0	0	1	2		.	89. A =	1	−1 1		−1	.


	0	0	0	1					−1 −1 1
							1
	2	1 0 0					2 0			0 0
	3	2 0 0						0 1		2 1

90. A =	1	1 3 4			.		91. A =	0 3		1 4	.

	2	−1 2 3						0 0		0 1

ЙО‡‚‡ I. е‡ЪрЛˆ˚ Л УФрВ‰ВОЛЪВОЛ. лЛТЪВП˚ ОЛМВИМ˚ı Ыр‡‚МВМЛИ

Вычислить ранг матриц:

92.	1			4			93.			2
92.					.		93.
		2									4
		2		−1							4
	0			0	0	1				1
	0			0	0	1	96.				2
95.							96.				2
95.						.
		0		0	2	2					1
											1
	1			4	10
		7		8	18
98.		7		8	18	.
		3		7	17
		3		7	17
		1		0	0	0	0
			0	0	0	0	0
100.			0	0	0	0	0	.
			0	0	0	0	0
			0	0	0	0	0
		0			4	10	1
			4		8	18	7
102.			4		8	18	7
102.				18		40	17		.
		10		18		40	17
			1		7	17	3
			1		7	17	3
		2		1		3	−1
			3	−1		2	0
104.			3	−1		2	0
104.			1	3		4	− 2	.
			1	3		4	− 2
			4	−3		1	1
			4	−3		1	1

3					94.	1 1 2
.					94.						.
							3	1
6							3	1		0
4		−1				2		7		3
−1		4					3	5		2
−1		4		.	97.		3	5		2		.
10	−6						9	4		1
10	−6						9	4		1
1				3	−1 2
	2		−1			3
99.	2		−1			3	5 .
	1		10		−6
	1		10		−6			1
	2			2	−1			1
		4		3	−1			2
101.		4		3	−1			2
101.		8		5	−3			4	.
		8		5	−3			4
		3		3	−2			2
		3		3	−2			2
	2				1	11				2
		1			0		4		−1
103.		1			0		4		−1
103.					4	56				5	.
	11				4	56				5
		2		−1			5		−6
		2		−1			5		−6
	14				12		6			8		2
		6		104			21			9		17
105.		6		104			21			9		17
105.		7			6		3			4		1	.
		7			6		3			4		1
		35			30		15			20		5
		35			30		15			20		5

§ 1.1. е‡ЪрЛˆ˚ Л УФрВ‰ВОЛЪВОЛ

	2		1
		1	3
		1	3
		1	1
106.		1	1
		1	1
		1	2
		1	1
		1	1
	1		0
		1	1
108.		0	1
		0	0
		0	0
	0		1

2 0

0 1

2 10 1

1 1					3 2 −1				2 0 1
1 1					4 1
1 1					4 1		0 −3 0 2
4	1			107.	2 −1 −2 1				1 −3
4	1	.		107.							.
1 5					3 1		3 −9 −			1 6
3 4					3 −1 −5			7 2 −7
1	1
1	1
1	0	0			1	−1	2	0	0	1
1	0	0			0	1	−1	2	0	1
0 0 0					0	1	−1	2	0	1
0 0 0				109.	1 0 −1			0	2	1
1	0	0	.	109.	1	−1	0	0	1	2	.
1 1 0					1	−1	0	0	1	2
1 1 0					2 0 0			1	−1 1
0	1	1			−1	1	0	1	1	2
					−1	1	0	1	1	2

2	0	2
0	1	0
0	1	0
0	2	1	.
0	2	1
0	1	0
0	1	0

§ 1.2. лЛТЪВП˚ ОЛМВИМ˚ı Ыр‡‚МВМЛИ

Определение 1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными х1, х2,… хn называется система

a x

+ a x

+... + a

= b

11 1

a21 x1 + a22 x2

+... + a2n xn

= b2

(1.2.1)

.............................................

+ a

+... + a

= b

m1 1

ЙО‡‚‡ I. е‡ЪрЛˆ˚ Л УФрВ‰ВОЛЪВОЛ. лЛТЪВП˚ ОЛМВИМ˚ı Ыр‡‚МВМЛИ

где aik, bi — числа. Числа aik (i=1,2,…m, k=1,2,…n) называются коэффициентами системы, числа bi (i=1,2,…m) свободными членами.

Систему (1.2.1) удобно записывать матричной форме

АХ= В,

(1.2.2)

где А — основная матрица, состоящая из коэффициентов системы:

	a	a	...	a
	11	12		1n
	a21	a22	...	a2n
A =	...	...	...	...	,
		am2	...
	am1	am2	...	amn

X = x2 — вектор-столбец из неизвестных xk,

...xn

b
1
b2		— вектор-столбец из свободных членов bi.
B =		— вектор-столбец из свободных членов bi.
...
b
m

Определение 2. Расширенной матрицей системы (1.2.1) называется матрица А, полученная из матрицы А путем дополнения ее столбцом свободных членов:

	a		a		...	a		b
		11		12			1n	1
	a21		a22		...	a2n		b2
A =	a21		a22		...	a2n		b2
A =	...		...		... ...			...	.
	a	m1	a	m2	...	a	mn	b
		m1		m2			mn	m

§ 1.2. лЛТЪВП˚ ОЛМВИМ˚ı Ыр‡‚МВМЛИ

Определение 3. Система линейных уравнений называется неоднородной, если среди свободных членов имеются члены, отличные от нуля. Если все свободные члены равны нулю, то система линейных уравнений называется однородной.

Определение 4. Решение системы m линейных уравнений с n неизвестными называется совокупность n чисел c1, c2, …, cn, подстановка которых вместо неизвестных x1, x2, …, xn соответственно обращает в тождество каждое из уравнений этой системы.

Всякое решение системы можно записать в виде матрицыстолбца:

c1 C = c2 .

...cn

Определение 5. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Определение 6. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

В последнем случае каждое решение системы уравнений называется частным решением системы.

Определение 7. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Определение 8. Две системы линейных уравнений называются равносильными (или эквивалентными), если любое решение одной из них является также решением другой, и наоборот.

Следующие преобразования системы уравнений дают систему, равносильную данной:

1) умножение любого уравнения системы на число, отличное от нуля;

ЙО‡‚‡ I. е‡ЪрЛˆ˚ Л УФрВ‰ВОЛЪВОЛ. лЛТЪВП˚ ОЛМВИМ˚ı Ыр‡‚МВМЛИ

2)прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на любое число;

3)перестановка местами двух уравнений системы. Решить систему — это значит выяснить, совместна она

или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Теорема 1.2.1. (Кронекера — Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Теорема 1.2.2. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 1.2.3. Если ранг системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Определение 9. Базисным минором основной матрицы системы уравнений называется отличный от нуля ее минор, порядок которого равен рангу этой матрицы.

Определение 10. Базисными неизвестными совместной системы уравнений, ранг матрицы которой равен r, называются r неизвестных, коэффициенты при которых образуют базисный минор. Остальные неизвестные называются свободными.

План нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений:

1)находим ранг r основной матрицы системы А;

2)находим ранг ~r расширенной матрицы системы A ;

3)если r ≠ ~r , то система несовместна;

4)если r = ~r , то выделяют базисный минор и базисные неизвестные, исходную систему заменяют равносильной, состоящей из тех r уравнений, в которые вошли элементы базисного минора; при этом могут быть два случая:

а) число базисных неизвестных равно числу неизвестных системы, тогда система имеет единственное решение;

б) число базисных неизвестных меньше числа всех неизвестных системы, тогда из системы находят выражения базисных неизвестных через свободные; придавая свободным

§ 1.2. лЛТЪВП˚ ОЛМВИМ˚ı Ыр‡‚МВМЛИ

неизвестным произвольные значения, получаем бесконечное множество решений исходной системы.

Определение 11. Система n линейных уравнений с n неизвестными называется невырожденной, если определитель ее основной матрицы отличен от нуля.

Невырожденную систему линейных уравнений можно решить матричным способом по формуле:

	Х= А– 1В		(1.2.3)
или по формулам Крамера:
xk =	∆k	, k = 1,2,…n,	(1.2.4)
	∆

где ∆ — определитель основной матрицы системы, а определитель ∆k получается из определителя ∆ путем замены k-го столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

Одним из наиболее универсальных методов решения алгебраических систем уравнений является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений (1.2.1). Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух ходов.

Прямой ход.

Будем считать, что элемент а11 ≠0. Преобразуем систему (1.2.1), исключив неизвестные х1 во всех уравнениях, кроме первого. Для этого умножим обе части первого уравнения на

– а21/а11 и сложим почленно со вторым уравнением системы. Затем умножим обе части первого уравнения на – а31/а11 и сложим с третьим уравнением системы. Продолжая этот процесс, получим равносильную систему:

a x		+ a x	2	+... + a	x	n	= b ,
	11 1	12	2	1n		n	1
	′			′			′
a22 x2 +... + a2n xn = b2 ,								,	(1.2.5)
								,	(1.2.5)
.............................................
	′			′			′
	am	2 x2 +... + amn xn = bm ,

где a′ij, b′i (i, j = 2, 3, …, m) — новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после первого шага.

ЙО‡‚‡ I. е‡ЪрЛˆ˚ Л УФрВ‰ВОЛЪВОЛ. лЛТЪВП˚ ОЛМВИМ˚ı Ыр‡‚МВМЛИ

Аналогично, считая а′22 ≠0, исключаем неизвестное х2 из всех уравнений системы, кроме первого и второго, и так далее.

Продолжая этот процесс, систему (1.2.1) можно привести к одному из следующих видов:

a x	+ a x	2	+... + a	x	n	= b ,
11 1	12	2	1n		n		1
′			′			′	,
a22 x2 +... + a2n xn = b2							,	,	(1.2.6)
a)								,	(1.2.6)
.............................................
	′′		′′
	amn xn = bm ,

при этом xn находится из последнего уравнения, xn – 1 из предшествующего, и так далее, то есть система имеет единственное решение;

a x	+ a x		2	+... + a	x	n	= b ,
11 1		12	2	1n		n		1
	′			′			′	,
a22 x2		+... + a2n xn = b2						,	,	(1.2.7)
б)									,	(1.2.7)
.............................................
	′′			′′			′′
akk xk		+... + akn xn = bk						,

при этом из последнего уравнения можно выразить, например, xk через остальные переменные xk + 1, …, xn, из предшествующего xk – 1 через эти же переменные и так далее, в результате чего получаем бесчисленное множество решений;

a x		+ a x	2	+... + a	x	n	= b ,
	11 1	12	2	1n		n		1
		′		′			′	,
	a22 x2 +... + a2n xn = b2							,	,	(1.2.8)
в)									,	(1.2.8)
.............................................
						′′
						′′
	0xk +... + 0kn xn = bk ,

где b″k ≠0, при этом система уравнения не имеет решений. Обратный ход.

Из последнего уравнения систем а) и б) находим значение координаты xn в виде числа или через координаты xn + 1, xn + 2, …, xk. Подставляем полученное значение xn в предшествующее уравнение системы, откуда находим следующую коорди-

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.2015200.19 Кб28Kontrolnye_voprosy_k_zachetu_ekzamenu.doc
#
10.02.2015178.79 Кб154Kopia_testy_dlya_farmy_studentam_s_otvetami.docx
#
20.11.2018110.59 Кб6Kosti_tulovishcha-449.doc
#
16.11.2019112.64 Кб10KP.doc
#
24.09.2019614.91 Кб6Kratky_konspekt_lektsy_pravo.doc
#
23.03.20161.05 Mб123Kretov1.pdf
#
23.03.20163.26 Mб118Kretov_vse.pdf
#
23.03.2016543.23 Кб145kuharenko_v_a_praktikum_po_stilistike_angliiskogo_yazyka.doc
#
25.08.2019126.74 Кб11Kultura_kontrolnaya_dopolnennoe.docx
#
22.09.2019416.92 Кб5Kumleva_T_Samaya_Sovremennaya_Fraze.docx
#
20.11.2019162.82 Кб4kursOS.doc

	2	1	1	1	1
	1	3	1	1	1
62.	1	1	4	1	1	.
	1	1	1	5	1
	1	1	1	1	6
	1	1	1	0	0
	1	1	1	0	0
	1	2	1	0	0
64.	0	1	1	0	0		.
	0	0	0	1	1
	0	0	0	1	2

	2	1	1	1	1
	1	3	1	1	1
62.	1	1	4	1	1	.
	1	1	1	5	1
	1	1	1	1	6
	1	1	1	0	0
	1	1	1	0	0
	1	2	1	0	0
64.	0	1	1	0	0		.
	0	0	0	1	1
	0	0	0	1	2

	2	1	1	1	1
	1	3	1	1	1
62.	1	1	4	1	1	.
	1	1	1	5	1
	1	1	1	1	6
	1	1	1	0	0
	1	1	1	0	0
	1	2	1	0	0
64.	0	1	1	0	0		.
	0	0	0	1	1
	0	0	0	1	2