Kretov1

§3.1. гЛМВИМ˚В ФрУТЪр‡МТЪ‚‡ Л ФУ‰ФрУТЪр‡МcЪ‚‡

500.Найти координаты вектора x в базисе e1 , e2 , e3 , e4 :

а) x = {1; 2; 1; 1}, e1 = {1; 1; 1; 1}, e2 = {1; 1; – 1; – 1}; e3 = {1; – 1; 1; –1}, e4 = {1; – 1; – 1; 1};

б) x = {0; 0; 0; 1}, e1 = {1; 1; 0; 1}, e2 = {2; 1; 3; 1}, e3 = {1; 1;

0; 0}, e4 = {0; 1; – 1; – 1}.

501. Составить формулы преобразования координат при переходе от базиса e1, e2, e3, e4 к базису e1′, e2′, e3′, e4′:

а) e1 = {1; 0; 0; 0}, e2 = {0; 1; 0; 0}, e3 = {0; 0; 1; 0}, e4 = {0;

§ 3.2. гЛМВИМ˚В УФВр‡ЪУр˚

Определение 1. Говорят, что в линейном пространстве L задан оператор А, если каждому вектору x L по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор A x L.

Определение 2. Оператор А называется линейным, если

для любых векторов x и y и для любого действительного числа λ выполняются равенства:

Линейный оператор называется тождественным, если он преобразует любой вектор x в самого себя. Он обозначается через E.

Пусть в n-мерном линейном пространстве L, базис которого задан линейный оператор А. Так как A e1 ,

A e2 , …, A en — векторы пространства L, то каждый из них можно разложить единственным образом по векторам базиса:

81

§ 3.2. гЛМВИМ˚В УФВр‡ЪУр˚

Определение 4. Суммой линейных операторов А и В называется оператор С1, определяемый по правилу: С1 x =Аx +Вx .

Обозначение: С1 =А+В.

Определение 5. Произведением линейного оператора на число λназываетсяоператорС2, определяемыйпоправилу: С2 x =λАx .

Обозначение: С2 =λА.

Определение 6. Произведением линейного оператора А на линейный оператор В называется оператор С3, определяемый по правилу: С3 x =АB x .

Обозначение: С3 =АВ.

Операторы С1, С2, С3 являются линейными. Матрицы линейных операторов С1, С2 и С3 определяются из равенств

С1 =А+В, С2 =λА, С3 =АВ.

Свойства операций над линейными операторами:

1)А(ВС) =(АВ)С;

2)АЕ=ЕА=А;

3)(А+В)С= АС+ВС;

4)С(А+В) = СА+СВ;

5)АВ, вообще говоря, отличается от ВА.

Если для линейного оператора А существуют такие линей-

ные операторы В и С, что ВА=Е, АС=Е, то В=С. Обозначение: В=С=А– 1.

Линейный оператор А–1 называют обратным линейным оператором по отношению к линейному оператору А.

Определение 7. Линейный оператор А в конечномерном пространстве называют невырожденным, если определитель матрицы этого оператора отличен от нуля.

Каждый невырожденный линейный оператор имеет обратный оператор А–1 и притом только один.

Если невырожденный линейный оператор А в координатной форме определяется равенствами

ξ1 ' = a11ξ1 +a12ξ2 +...+a1nξn , ξ2 ' = a21ξ1 +a22ξ2 +...+a2nξn ,

ЙО‡‚‡ III. йТМУ‚˚ ОЛМВИМУИ ‡О„В·р˚

то обратный линейный оператор А–1 имеет вид:

ξ1 = |AA11| ξ1 '+ |AA21| ξ2 '+...+ |AAn1| ξn ',

где Аij — алгебраическое дополнение элемента аij матрицы А, |А| — определитель матрицы А.

Матрица линейного оператора А– 1 является обратной по отношению к матрице А и определяется равенством

бДСДзаь

502. Оператор А в линейном пространстве L определен равенством А x = x + x0 , где x0 L — фиксированный ненулевой вектор. Является ли этот оператор А линейным?

503.Дано линейное пространство геометрических векторов. Оператор А состоит в замене каждого вектора его составляющей по оси Ох. Является ли этот оператор линейным?

504.Является ли линейным оператором замена каждого вектора его зеркальным отображением относительно координатной плоскости xOy?

505.Является ли линейным оператором умножение каждого вектора на его длину?

84

§ 3.2. гЛМВИМ˚В УФВр‡ЪУр˚

506.В каком случае оператор А является линейным, если

Аx = x0 , где x — произвольный вектор линейного простран-

ства L, а x0 — фиксированный вектор?

507. Дано линейное пространство векторов x =ξ1e1 +ξ2e2 + +ξ3e3 +ξ4e4 , где ξ1, ξ2, ξ3, ξ4 — любые действительные числа. Пусть a — фиксированное действительное число. Является ли линейным оператор А, определяемый по правилу: Аx = ae1 +

+ξ2e2 +ξ3e3 + ξ4e4 ?

508.Дано линейное пространство векторов x =ξ1e1 +ξ2e2 +

+ξ3e3 +ξ4e4 . Оператор А состоит в том, что у каждого вектора

меняются местами вторая и третья координаты, то есть А x = ξ1e1 +ξ3e2 +ξ2e3 +ξ4e4 . Является ли оператор А линейным?

509. Найти матрицу преобразования подобия А x = α x в n-мерном пространстве.

510. В четырехмерном линейном пространстве рассматривается линейный оператор А. Записать этот оператор в коор-

динатной форме, если Аe1 = e3 + e4 , A e2 = e1 + e4 , A e3 = e4 + e2 ,

Ae4 = e2 + e3 .

511.Линейный оператор состоит в повороте каждого вектора против часовой стрелки на угол α. Найти матрицу этого линейного оператора.

512. Рассматривается линейное пространство векторов x = ξ1e1 +ξ2 e2 +ξ3e3 +ξ4e4 , где ξ1, ξ2, ξ3, ξ4 — действительные числа. Доказать, что оператор А, определяемый по правилу: Ах= x =ξ2e1 +ξ3e2 +ξ4e3 +ξ1e4 , является линейным и найти его матрицу.

513. Оператор А осуществляет поворот каждого вектора плоскости xOy на угол α=π/4. Найти в координатной форме А+Е.

85

§ 3.3. лУ·ТЪ‚ВММ˚В БМ‡˜ВМЛfl Л ТУ·ТЪ‚ВММ˚В ‚ВНЪУр˚ ОЛМВИМУ„У УФВр‡ЪУр‡

Определение 1. Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора А, если для этого вектора

где λ — некоторое число, называемое собственным значением линейного оператора А, соответствующим вектору x .

Оператор А и вектор x определяются соответственно матрицами:

Замечание 1 . Матрицу-столбец в формуле (3.3.2) обозначаем так же, как и вектор x . Тогда формула (3.3.1) в матричной записи будет иметь такой же вид. Формулу (3.3.1) можно записать в виде:

Решая систему уравнений (3.3.4), находим координаты ξ1, ξ2, …,ξn собственного вектора x при данном собственном значении λ.

Так как x ≠0, то rang (А– λЕ) < n, а это значит, что det(А– λЕ) = 0, то есть

87

538.Зная собственные числа матрицы А, найти собственные числа матрицы А– 1.

539.Зная собственные числа матрицы А, найти собственные числа матрицы А2.

540.Зная собственные числа матрицы А, найти собственные числа матрицы Аm.

541.Найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора А, определяемого уравнениями ξ1′=5ξ1 +4ξ2,

ξ2′=8ξ1 +9ξ2.

542.Линейный оператор А осуществляет поворот пространства на угол π/3 вокруг оси Oz. Найти собственные числа

исобственные векторы этого оператора.

543.Зная собственные числа матрицы А, найти определитель матрицы f(A), где f(x) — полином.

544.Зная собственные числа матрицы А, найти собственные числа матрицы f(А).

89