Kretov1

ЙО‡‚‡ III. йТМУ‚˚ ОЛМВИМУИ ‡О„В·р˚

Определение 7. Линейный оператор А евклидова пространства называется ортогональным, если он сохраняет скалярное произведение любых двух векторов x и y этого простран-

ства, то есть A x ·A y = x · y .

Ортогональный оператор не меняет длины вектора, то есть |А x |= | x |, а также не изменяет угла между любыми двумя векторами x и y .

Ортогональный оператор переводит любой ортонормированный базис в ортонормированный. Наоборот, если линейный оператор переводит какой-нибудь ортонормированный базис в ортонормированный, то он является ортогональным.

В задачах ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства будем обозначать e1, e2 , ..., en .

бДСДзаь

546. Определить скалярное произведение векторов x и y :

ортонормированного базиса e1 , e2 , e3 к базису e1 ′, e2 ′, e3 ′. Доказать, что базис e1 ′, e2 ′, e3 ′ — ортонормированный.

92

ЙО‡‚‡ III. йТМУ‚˚ ОЛМВИМУИ ‡О„В·р˚

564. При каких значениях α и β базис, образованный век-

торами e1 ′=α/3 e1 +(1–α)/3 e2 +βe3 , e2 ′=(1–α)/3 e1 +βe2 +α/3 e3 , e3′=βe1 +α/3 e2 +(1 – α) e3 , является ортонормированным?

565.Является ли ортогональным преобразование, переводящее каждый геометрический вектор в вектор, симметричный относительно некоторой фиксированной плоскости?

566.Является ли ортогональным преобразование, заключающееся в повороте любого вектора, лежащего в плоскости xOy, на фиксированный угол α?

567.При каких значениях λ оператор А, определяемый равенством А x =λ x , является ортогональным?

568.Является ли ортогональным оператор А, определен-

ный по правилу: А x =– ξ1 e1 +ξ2 e2 +ξ3 e3 +ξ4 e4 , где x =ξ1 e1 +

+ξ2 e2 +ξ3 e3 +ξ4 e4 — произвольный вектор, а e1 , e2 , e3 , e4 — ортогональный базис?

569. Пусть e1,e2 ,e3 , e4 ,e5 , e6 — ортонормированный базис. Доказать, что А — ортонормированное преобразование, если

Аe1 = e1 , A e2 = −e2 , A e3 = e3 cosα+ e4 sin α,

A e4 = −e3 sin α+ e4 cosα, A e5 = e5 cosβ+ e6 sin β, A e6 = −e5 sin β+ e6 cosβ.

§3.5. èð˂‰ÂÌË ͂‡‰ð‡Ú˘Ì˚ı ÙÓðÏ

ÍН‡МУМЛ˜ВТНУПЫ ‚Л‰Ы

Определение 1. Квадратичной формой действительных переменных х1, х2, …, хn называется многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени.

Если f(x1, x2, …, xn) — квадратичная форма переменных x1,

x2, …, xn, а λ — какое-нибудь действительное число, то f(λx1,

λx2, …, λxn)=λ2f(x1, x2, …, xn).

94

§ 3.5. ирЛ‚В‰ВМЛВ Н‚‡‰р‡ЪЛ˜М˚ı ЩУрП Н Н‡МУМЛ˜ВТНУПЫ ‚Л‰Ы

В дальнейшем все необходимые формулировки и определения приведем для квадратичной формы трех переменных.

Определение 2. Матрица

у которой aij =aji называется матрицей квадратичной формы f(x1, x2, x3), а соответствующий определитель — определителем этой квадратичной формы.

Так как А — симметрическая матрица, то корни λ1, λ2 и λ3 характеристического уравнения

являются действительными числами. Пусть

e1 ' = b11 e1 +b21 e2 +b31 e3 ,

нормированные собственные векторы, соответствующие собственным числам λ1, λ2, λ3 в ортонормированном базисе e1 ,

e2 , e3 . В свою очередь векторы e1 ′, e2 ′, e3 ′ образуют ортонормированный базис.

95

ЙО‡‚‡ III. йТМУ‚˚ ОЛМВИМУИ ‡О„В·р˚

является матрицей перехода отбазиса e1, e2, e3 к базису e1′, e2′, e3′. Формулы преобразования координат при переходе к но-

вому ортонормированному базису имеют вид

Преобразовав с помощью формул (3.5.7) квадратичную форму f(x1, x2, x3), получаем квадратичную форму

которая называется квадратичной формой в каноническом виде, полученная путем ортогонального преобразования В.

бДСДзаь

Преобразовать к каноническому виду ортогональным преобразованием квадратичные формы:

570.x12 + 2x1x2 + 2x22 + 4x2x3 + 5x32.

571.x12 – 4x1x2 + 2x1x3 + 4x22 + x32.

572.x1x2 + x2x3 + x3x1.

573.x12 – 2x1x2 + 2x1x3 – 2x1x4 + x22 + 2x2x3 – 4x2x4 + x32 – 2x42.

574.x12 + x1x2 + x3x4.

575.2x12 + x22 – 4x1x2 – 4x2x3.

576.x12 + 2x22 + 3x32 – 4x1x2 – 4x2x3.

577.3x12 + 4x22 + 5x32 + 4x1x2 – 4x2x3.

578.2x12 + 5x22 + 5x32 + 4x1x2 – 4x1x3 – 8x2x3.

579.x12 – 2x22 – 2x32 – 4x1x2 + 4x1x3 + 8x2x3.

580.5x12 + 6x22 + 4x32 – 4x1x2 – 4x1x3.

96

ЙО‡‚‡ IV. ДМ‡ОЛЪЛ˜ВТН‡fl „ВУПВЪрЛfl М‡ ФОУТНУТЪЛ

602.Дан треугольник АВС: А(2; – 1), В(– 3; 5), М(1; 1) —

точка пересечения медиан. Найти координаты вершины С.

603.Доказать, что ABCD — трапеция и найти длину ее средней линии.

604.Отрезок АВ: А(– 3; 7), В(5; 11) тремя точками разделим на четыре равные части. Определить координаты точек деления.

605.Разделить отрезок между точками М1(0; 6) и М2(2; 0) в таком же отношении, в каком находятся расстояния этих точек от начала координат.

606.От точки М1(1; – 1) до точки М2(– 4; 5) проведен отрезок. До какой точки его нужно продолжить в том же направлении, чтобы его длина утроилась?

607.Найти центр тяжести треугольника с вершинами А(–1; 1),

В(2; 4), С(5; 1).

608.Даны две смежные вершины параллелограмма А(–3; 5), В(1; 7) и точка пересечения его диагоналей М(1; 1). Определить две другие вершины.

609.Даны точки А(1; –1), В(3; 3), С(4; 5), лежащие на одной прямой. Определить отношение, в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.

610.Определить координаты концов А и В отрезка, который точками P(2; 2) и Q(1; 5) разделен на три равные части.

611.Прямая проходит через точки М(2; – 3) и N(– 6; 5). На этой прямой найти точку, ордината которой равна – 5.

612.Даны вершины четырехугольника А(– 3; 12), В(3; – 4), С(5; – 4), D(5; 8). Определить отношение, в каком диагональ АС делит диагональ AD.

613.Точки А(4; 2), В(7; – 2), С(1; 6) являются вершинами треугольника, определить его центр масс.

614.Вычислить площадь четырехугольника с вершинами А(– 5; 0), В(1; 2), С(4; –1), D(3; – 4).

615.Вычислить площадь пятиугольника с вершинами А(4; –2),

В(2; 2), С(– 2; 3), D(– 3; –2), Е(2; – 5).

616.Дан треугольник АВС: А(4; 1), В(7; 5), С(– 4; 7). Найти точку пересечения биссектрисы угла А с противолежащей стороны ВС.

100