Kretov1
.pdf
§ 4.3. äðË‚˚ ‚ÚÓðÓ„Ó ÔÓðfl‰Í‡
Диагонали основного прямоугольника гиперболы лежат на двух прямых, называемых асимптотами гиперболы, они определяются уравнениями
y = ± |
b |
x. |
(4.3.17) |
|
a |
||||
|
|
|
Определение 9. Две прямые l1 и l2, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящие от нее на расстоянии, равном a/ε, называются директрисами гиперболы. Их уравнения:
x = |
a |
и x = – |
a |
. |
(4.3.18) |
ε |
|
||||
|
|
ε |
|
||
Замечание 5. Если a = b, то гипербола (4.3.12) называется равносторонней или равнобочной. Ее уравнение принимает вид:
x2 – y2 = a2. |
(4.3.19) |
Замечание 6. Если фокусы гиперболы лежат на оси Oy, то уравнение гиперболы имеет вид
y2 |
− |
x2 |
=1. |
(4.3.20) |
|
b2 |
a2 |
||||
|
|
|
Эксцентриситет этой гиперболы равен ε = bc , асимптоты
определяются уравнениями y = ± ba x, а уравнения директрис
b y = ± ε .
Гипербола (4.3.20) называется сопряженной гиперболе
(4.3.12).
Замечание 7. Уравнение гиперболы с осями, параллельными координатным, имеет вид
(x − x |
0 |
)2 |
− |
(y − y |
0 |
)2 |
=1, |
(4.3.21) |
a2 |
|
|
b2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
где (x0; y0) — координаты центра гиперболы.
111
ЙО‡‚‡ IV. ДМ‡ОЛЪЛ˜ВТН‡fl „ВУПВЪрЛfl М‡ ФОУТНУТЪЛ
Определение10. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от заданной точки, называемой фокусом, и заданной прямой, называемой директрисой.
Каноническое уравнение параболы имеет вид
y2 = 2px, |
(4.3.22) |
где число p > 0, равное расстоянию от фокуса F до директрисы l, называется параметром параболы. Координаты фокуса F(p/2; 0). Точка О(0; 0) называется вершиной параболы, длина r отрезка FM — фокальный радиус точки М, ось Ox — осью симметрии параболы.
Уравнение директрисы l параболы имеет вид
x = – |
p |
. |
(4.3.23) |
|
2 |
||||
|
|
|
Фокальный радиус вычисляется по формуле
r = x + |
p |
. |
(4.3.24) |
|
2 |
||||
|
|
|
В прямоугольной системе координат парабола, заданная каноническим уравнением (4.3.22), расположена следующим образом:
Рис. 4.3
Замечание 8. Парабола, симметричная относительно оси Oy и проходящая через начало координат, имеет уравнение
x2 = 2py. |
(4.3.25) |
112
§ 4.3. äðË‚˚ ‚ÚÓðÓ„Ó ÔÓðfl‰Í‡
Фокусом параболы (4.3.25) является точка F(0; p/2). Уравнение директрисы этой параболы y = – p/2, фокальный радиус точки М параболы r = y + p/2.
Замечание 9. Уравнения парабол с осями симметрии, параллельными координатным осям, имеют вид:
(y – y0)2 |
= 2p(x – x0), |
(4.3. 26) |
или |
|
|
(x – x0)2 |
= 2p(y – y0). |
(4.3.27) |
Замечание 10. В правых частях формул (4.3.22), (4.3.25), (4.3.26) и(4.3.27) может стоять «–» перед коэффициентом2.
бДСДзаь
666.Составить уравнение окружности, имеющей центр в
точке:
а) (2; – 5) и радиус, равный 4; б) (– 3; 4) и проходящей через начало координат;
в) (0; 4) и проходящей через точку (5; – 8); г) (2; – 3) и проходящей через точку (5; 1);
д) (2; 3) и касающейся прямой 5x + 12y – 20 = 0;
е) (3; –1) и отсекающей на прямой 2x–5y+18=0 хорду, длина которой равна 6.
667.Составить уравнение окружности, проходящей
а) через точки А(5; 0) и В(1; 4), если центр ее лежит на прямой x + y – 3 = 0;
б) проходящей через точки А(3; 1) и В(– 1; 3), если центр лежит на прямой 3x – y – 2 = 0;
в) через точки А(1; 1), В(1; – 1), С(2; 0); г) через точки А(– 1; 5), В(– 2; –2), С(5; 5); д) через точки А(0; 2), В(1; 1), С(2; – 2).
668. Составить уравнение окружности, описанной около треугольника, стороны которого заданы уравнениями
3x – 2y – 41 = 0; 7x + 4y + 7 = 0; x – 3y + 1 = 0.
113
ЙО‡‚‡ IV. ДМ‡ОЛЪЛ˜ВТН‡fl „ВУПВЪрЛfl М‡ ФОУТНУТЪЛ
669. Найти координаты центра и радиус каждой из окруж-
ностей: |
б) 3x2 +3y2 +2x =0, |
а) x2 +y2 – 10y =0, |
|
в) x2 +y2 +4x– 6y – 3 =0, |
г) 4x2 +4y2 – 4x +12y+9 =0, |
д) 2x2 +2y2 –8x +5y – 4 =0, |
е) x2 +y2 – 8x +6y +21=0. |
670. Составить уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку М:
а) М(2; 1); б) М(2; – 1); в) М(– 1; 2); г) М(– 1; –2).
671.Составить уравнение окружности, касающейся оси Ox
ипроходящей через точки M и N:
а) M(3; 2), N(4; 1); |
б) M(–3; 2), N(–4; 1); |
|
в) M(– 3; –2), N(– 4; – 1); |
г) M(3; – 2); N(4; –1). |
|
672. |
Найти точки пересечения окружности |
|
|
x2 +y2 –14x –10y +49 =0 и прямой x +y – 5 =0. |
|
673. |
Найти точки пересечения окружностей |
|
x2 +y2 –2x– 2y +1 =0, |
x2 +y2 –10x– 10y +25 =0. |
|
674.Составить уравнение хорды окружности x2 +y2 =49, делящейся в точке А(1; 2) пополам.
675.Найти уравнение окружности, симметричной с окружностью x2 +y2 =4x +4y –4 относительно прямой x–y – 3=0.
676.Найти угол между радиусами окружности
x2 + y2 + 4x – 6у= 0,
проведенными в точке пересечения ее с осью Oy.
677. Составить уравнение общей хорды окружностей x2 +y2 =16 и (x – 5)2 +y2 =9.
678.Написать уравнение линии центров двух окружностей: x2 +y2 –6x +=0 и x2 +y2 +2x – 12y +1 =0.
679.Дана окружность x2 + y2 – 4x – 5 = 0 и точка С(5; 4). Написать уравнение окружности, имеющей центр в точке С и касающейся данной окружности внешним образом.
680.Составить уравнение касательной к окружности в точ-
ке М:
а) x2 +y2 =5; М(– 1; 2), б) (x +2)2 +(y – 3)2 – 25; M(– 5; 7),
в) x2 +y2 =r2; M(x1; y1), г) (x – a)2 + (y – b)2 =r2; M(x1; y1). 681. Определить под каким углом пересекаются окружности:
а) (x – 3)2 +(y – 1)2 =8, (x–2)2 +(y +2)2 =2;
б) x2 +y2 –2x– 4y +3=0, x2 +y2 –4x +2y – 3 =0.
114
§ 4.3. äðË‚˚ ‚ÚÓðÓ„Ó ÔÓðfl‰Í‡
682. Написать в полярных координатах уравнения окруж-
ностей: |
б) x2 +y2 =–3x, |
в) x2 +y2 =5y, |
а) x2 +y2=x, |
||
г) x2 +y2=–y, |
д) x2 +y2 =x +y, |
е) x2 +(y +r)2 =r2, |
ж) (x – r)2 +y2 =r2. |
|
|
683.Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что:
а) его полуоси равны 5 и 2; б) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами
равно 8; в) его малая ось равна 24, а расстояние между фокусами
равно 10; г) расстояние между фокусами равно 6 и ε=0,6;
д) его большая ось равна 20, а ε=0,6; е) его малая ось равна 10, а ε=12/13;
ж) расстояние между директрисами равно 5 и расстояние между фокусами равно 4;
з) его большая ось равна 8, а расстояние между директрисами равно 16;
и) его малая ось равна 6, а расстояние между директрисами равно 13;
к) расстояние между его директрисами равно 32 и ε=1/2.
684.Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что:
а) его полуоси равны соответственно 7 и 2; б) его большая ось равна 10, а расстояние между фокусами
равно 8; в) расстояние между фокусами равно 24 и ε=12/13;
г) его малая ось равна 16, ε=0,6; д) расстояние между фокусами равно 6, а между директри-
сами равно50/3; е) расстояние между директрисами равно 32/3 и ε=0,75.
685.Определить полуоси эллипса:
а) |
|
x2 |
+ |
y2 |
=1, б) |
x2 |
+y |
2 |
=1, в) x |
2 |
+25y |
2 |
=25, |
16 |
9 |
4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
115
ЙО‡‚‡ IV. ДМ‡ОЛЪЛ˜ВТН‡fl „ВУПВЪрЛfl М‡ ФОУТНУТЪЛ
|
|
г) x2 +5y2 =15, |
д) 4x2 +9y2 =25, |
е) 9x2 +25y2 =1, |
||||||||
|
|
ж) x2 +4y2 =1, |
з) 16x2 +y2 =16, |
и) 25x2 +9y2 =1, |
||||||||
|
|
к) 9x2 +y2 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
686. Найти точку касания прямой 2x – 3y +12 =0 и эллипса |
||||||||||
|
x2 |
+ |
y2 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
687. Сколько |
касательных можно |
провести к эллипсу |
||||||||
|
x2 |
+ |
y2 |
=1 из точки М: |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) М(3; 0); б) М(2; 1); в) М(4; 2); |
г) М(0; – 2); |
д) М(– 4; –2). |
||||||||||
|
|
688. Найти длину диаметра эллипса |
|
x2 |
+ |
|
y2 |
=1, направ- |
||||
|
|
9 |
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ленного по биссектрисе второго координатного угла.
689.Вычислить расстояние между директрисами эллипса x2 + 2y2 = 8.
690.Дан эллипс x2 + 2y2 = 8. Через точку М(1; 1) провести хорду, делящуюся в этой точке пополам.
691.Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси Ox, проходит через точку М(4; – 1,8) и имеет ε = 0,8. Написать уравнение эллипса.
692.Ординаты всех точек окружности x2 + y2 = 4 уменьшены вдвое. Написать уравнение полученной кривой.
693.Найти траекторию точки М, которая при своем движении остается вдвое ближе к точке N(2; 0), чем к прямой x =8.
694. |
Найти точки пересечения эллипса |
x2 |
+ |
y2 |
= 1 и пря- |
||
18 |
8 |
|
|||||
мой 2x – 3y = 0. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
695. |
Вычислить длину диаметра эллипса |
x2 |
+ |
|
y2 |
= 1, па- |
|
8 |
|
18 |
|||||
раллельного прямой 6x – 4y – 1 = 0. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
696. Составить уравнение касательной к эллипсу |
x2 |
+ |
y2 |
=1 |
|
16 |
12 |
||||
|
|
|
в точке М(2; – 3).
116
§ 4.3. äðË‚˚ ‚ÚÓðÓ„Ó ÔÓðfl‰Í‡
697. На прямой x + 5 = 0 найти точку, одинаково удаленную
от левого фокуса и верхней вершины эллипса |
x2 |
+ |
y2 |
= 1. |
|
20 |
4 |
||||
|
|
|
698.Пользуясь определением эллипса, составить его урав-
нение, зная, что точки F1(0; 0) и F2(1; 1) являются фокусами эллипса, а длина большой оси равна 2.
699.Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
а) y = 3/4 |
16 − x2 ; |
б) y = – 5/3 |
9 − x2 ; |
в) x = – 2/3 |
9 − y2 ; |
г) x = 1/7 |
49 − y2 . |
Изобразите эти линии на чертеже.
700. Составить уравнение эллипса, фокусы которого расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:
а) точка М1(– 2 
5 ; 2) эллипса и его малая полуось b = 3; б) точка М1(2; – 2) эллипса и его большая полуось a = 4;
в) точки М1(4;– 
3 ) и М2(2 
2 ; 3) эллипса;
г) точка М1( 
15 ;– 1) эллипса и расстояние между фокуса-
ми, равное 8; д) точка М1(2;– 5/3) эллипса и ε= 2/3;
е) точка М1(8; 12) эллипса и расстояние от нее до левого фокуса, равное 20;
ж) точка М1(– 
5 ; 2) эллипса и расстояние между его директрисами, равное 10.
701.Составить уравнение геометрического места точек, расстояния которых от точки А(0; 1) в два раза меньше расстояния до прямой y – 4 = 0.
702.Определить эксцентриситет ε эллипса, если:
а) его малая ось видна из фокусов под углом 60º; б) отрезок между фокусами виден из вершин малой оси
под прямым углом; в) расстояние между директрисами в три раза больше рас-
стояния между фокусами;
117
ЙО‡‚‡ IV. ДМ‡ОЛЪЛ˜ВТН‡fl „ВУПВЪрЛfl М‡ ФОУТНУТЪЛ
г) отрезок перпендикуляра, опущенного из центра эллипса на его директрису, делится вершиной эллипса пополам.
703. Записать каноническое уравнение эллипса:
а) 5x2 +9y2 – 30x +18y +9=0; б) 4x2 +3y2 – 8x +12y –32=0;
в) 16x2 +25y2 +32x –100y – 284 =0.
704. Составить уравнение эллипса, зная, что:
а) его большая ось равна 26, фокусы F1(– 10; 0), F2(14; 0); б) его малая ось равна 2, фокусы F1(–1; – 1), F2(1; 1);
в) его фокусы F1(–2; 3/2), F2(2; – 3/2) и ε= 2 /2;
г) его фокусы F1(1; 3), F2(3; 1) и расстояние между директрисами равно 12 2 .
705.Составить уравнение эллипса, если известны его эксцентриситет ε, фокус F и уравнение соответствующей директрисы:
а) ε= 2/3; F(2; 1); x – 5 = 0; б) ε= 1/2; F(– 4; 1); y + 3 = 0; в) ε= 1/2; F(3; 0); x + y – 1 = 0.
706.Найти точки пересечения прямой и эллипса:
а) x +2y –7 =0, x2 +4y2 =25; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
||||||
б) 3x |
+10y –25 =0, |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
=1; |
|
|
|
|
|||
25 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) 3x |
– 4y –40=0, |
x2 |
+ |
|
y2 |
=1. |
|
|
|
|
|||||||
16 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
707. Составить уравнение касательной к эллипсу |
x2 |
+ |
y2 |
=1 |
|||||||||||||
a2 |
b2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вего точке М1(x1; y1).
708.Составить уравнения касательных к эллипсу
10+ 25y2 =1, параллельных прямой 3x +2y +7=0.
709.Составить уравнения касательных к эллипсу x2 +4y2 =20, перпендикулярных прямой 2x – 2y – 13 = 0.
118
§ 4.3. äðË‚˚ ‚ÚÓðÓ„Ó ÔÓðfl‰Í‡
710. Провести касательные к эллипсу |
x2 |
+ |
y2 |
=1 параллель- |
|
30 |
24 |
||||
|
|
|
нопрямой4x–2y+23=0 ивычислитьрасстояниеd междуними.
711.Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, что:
а) ее оси 2a = 10 и 2b = 8;
б) расстояние между фокусами 10 и ось 2b = 8; в) расстояние между фокусами 6 и ε = 3/2;
г) ось 2a = 16 и ε = 5/4;
д) уравнение асимптот y =±4/3x и расстояние между фокусами 20;
е) расстояние между директрисами 228/13 и между фокусами 26;
ж) расстояние между директрисами 32/5 и ось 2b = 6; з) расстояние между директрисами 8/3 и ε = 3/2;
и) уравнения асимптот y =±3/4x и расстояние между директрисами 64/5.
712.Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, что:
а) ее полуось a = 6, b = 18;
б) расстояние между фокусами 10 и ε = 5/3;
в) уравнения асимптот y =±12/5x и расстояние между вершинами 48;
г) расстояние между директрисами 50/7 и ε= 7/5;
д) уравнения асимптот y = ± 4/3x и расстояние между директрисами 32/5;
е) расстояние между фокусами равно 10 и между вершинами 8;
ж) действительная ось равна 4 
2 , гипербола проходит через точку N(– 2; 4);
з) мнимая ось равна 4 
3 , гипербола проходит через точку
N(6; 4).
119
ЙО‡‚‡ IV. ДМ‡ОЛЪЛ˜ВТН‡fl „ВУПВЪрЛfl М‡ ФОУТНУТЪЛ
713. Определить полуоси каждой из гипербол:
а) |
x2 |
– |
y2 |
=1; б) |
x2 |
– y |
2 |
=1; в) x |
2 |
– 4y |
2 |
=16; г) x |
2 |
–y |
2 |
=1; |
|||||||||
9 |
4 |
16 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
д) 4x2 – 9y2 =25; е) 25x2 – 16y2 =1; ж) 9x2 – 64y2 =1. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
714. Установить, какие линии определяются следующими |
|||||||||||||||||||||||||
уравнениями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) y =2/3 |
x2 −9 ; |
|
|
б) y =– 3 |
|
x2 +1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
в) x =– 4/3 |
y2 +9 ; |
|
г) y =2/5 |
|
x2 +5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Изобразить эти линии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
715. Определить точки гиперболы |
|
x2 |
– |
|
y2 |
|
=1, расстояние |
||||||||||||||||||
9 |
16 |
|
|||||||||||||||||||||||
от которых до левого фокуса равно 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
716. Определить точки гиперболы |
|
x |
2 |
– |
|
|
y2 |
|
=1, расстояние |
||||||||||||||||
64 |
|
36 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
от которых до правого фокуса равно 4,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
717. Через левый фокус гиперболы |
x2 |
|
|
– |
|
y |
2 |
=1 проведен |
|||||||||||||||||
144 |
|
25 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
перпендикуляр к ее оси, содержащей вершины. Определить расстояния от фокусов до точек пересечения этого перпендикуляра с гиперболой.
718. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:
а) точки М1(6; – 1) и М2(–8; 2 2 ) гиперболы;
б) точка М1(– 5; 3) и ε= 2 ;
в) точкаМ1(9/2; 1) гиперболыиуравненияасимптотy=±2/3x; г) точкаМ1(–3; 5/2) гиперболыиуравнениядиректрисx=±4/3; д) уравнения асимптот y = ± 3/4x и уравнения директрис
x = ± 16/5.
120