Kretov1

ЙО‡‚‡ II. щОВПВМЪ˚ ‚ВНЪУрМУИ ‡О„В·р˚

369.Доказать, что вектор d = c ( b a ) – a ( b c ) перпендикулярен вектору b .

370.Найти вектор b , коллинеарный вектору a = i +2 j –3 k

точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки A(1; – 2; 3) в точку B(5; –6; 1).

373. Найти работу равнодействующей сил F1 = i – j + k и

F2 = 2 i + j + 3 k при перемещении ее точки приложения из на-

чала координат в точку M(2; – 1; – 1).

374. В треугольнике АВС вершины имеют координаты:

А(1; 1; – 1), В(2; 3; 1), С(3; 2; 1). Найти: а) длины сторон;

б) внутренние углы; в) острый угол между медианой ВD и стороной АС.

375.Найти угол между осями координат и радиусом-век- тором точки М(– 2; 3; 1).

376.Найти проекцию вектора a = { 2 ; – 3; – 5} на ось, составляющую с координатными осями Ox и Oz угол ά= 45° и

γ= 60°, а с осью Oy — острый угол β.

377.Даны точки А(3; 4; – 2) и В(2; 5; – 2). Найти проекцию

вектора AB на ось, составляющую с осями Ox и Oy угол

α= 60° и β= 120°, а с осью Oz — тупой угол γ.

378.Найти угол между биссектрисами углов Oxy и Oyz.

379.Какой угол образуют единичные векторы a и b , если

известно, что векторы m = a + 2 b и n = 5 a – 4 b взаимно перпендикулярны.

380. Векторы a , b , c имеют равные длины и попарно образуют равные углы. Найти координаты вектора c , если a = {1; 1; 0}, b= {0; 1; –1}.

62

ЙО‡‚‡ II. щОВПВМЪ˚ ‚ВНЪУрМУИ ‡О„В·р˚

Если векторы a и b заданы своими координатами a = {x1; y1; z1}, b = {x2; y2; z2}, то

Площадьпараллелограмма, построенногонавекторах a и b :

а площадь треугольника, построенного на векторах a и b :

Векторное произведение может быть выражено формулой

где e — орт направления a ×b .

Если вектор F изображает силу, приложенную к какойнибудь точке M, а вектор a идет из некоторой точки O в точ-

383. Даны два вектора a и b , для которых | a |= 2, | b |= 6,

( a , b ) = 5 π/6. Найти: а) a ×b ;

б) |(2 a + 3 b ) ×( a –4 b )|.

384. Найти координаты вектора a ×(2 a ×b ), если a = {3;

– 1; –2}, b = {1; 2; –1}.

64

ЙО‡‚‡ II. щОВПВМЪ˚ ‚ВНЪУрМУИ ‡О„В·р˚

398. Векторы a и b образуют угол φ= π/6. Зная, что

| a |= 6, | b |= 5, вычислить | a × b |.

399.Дано: | a | = 10, | b |= 2 и a b = 12. Вычислить | a × b |.

400.Дано: | a | = 3, | b |= 26 и | a × b |= 72. Вычислить a b .

401.Даны векторы a ={3; –1; –2} и b ={1; 2; –1}. Найти ко-

ординаты векторных произведений: 1) a × b ; 2) (2 a + b ) × b ;

3) (2 a a – b ) ×(2 a + b ).

402. Даны точки A(2; – 1; 2), B(1; 2; – 1) и C(3; 2; 1). Най-

ти координаты векторных произведений: 1) AB × BC ;

2)( BC – 2 CA ) × CB .

403.Вычислить синус угла, образованного векторами a =

={2; – 2; 1} и b = {2; 3; 6}.

404.Вектор x , перпендикулярный к векторам a ={4; –2; –3}

и b = {0; 1; 3}, образует с осью Oy тупой угол. Зная, что | x |= 26, найти его координаты.

405.Найти вектор x , зная, что он перпендикулярен к векторам a = {2; – 1; 3} и b = {1; – 2; 3} и удовлетворяет условию:

x( i + 2 j – 7 k ) = 10.

406.Даны векторы a ={2; –3; 1}, b ={–3; 1; 2} и c ={1; 2; 3}.

Вычислить ( a × b ) × c и a ×( b × c ).

407.Даны точки A(1; 2; 0), B(3; 0; – 3) и C(5; 2; 6). Вычис-

лить площадь треугольника ABC.

408.Даны вершины треугольника A(1; – 1; 2), B(5; – 6; 2) и C(1; 3; – 1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины B на сторону AC.

409. Определить и построить вектор c = a × b , если: 1) a = 3 i , b = 2 k ; 2) a = i + j , b = i – j ; 3) a = 2 i + 3 j , b = 3 j + 2 k .

66

ЙО‡‚‡ II. щОВПВМЪ˚ ‚ВНЪУрМУИ ‡О„В·р˚

423.Найти площадь треугольника с вершинами А(1; – 2; 3),

В(0; – 1; 2), С(3; 4; 5).

424.Даны векторы a = {– 4; – 8; 8}, b = {4; 3; 2}. Найти векторное произведение, синус угла между ними, площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

425.Найти длины диагоналей и площадь параллелограмма,

построенного на векторах a = k – j , b = i + j + k .

426.Даны вершины треугольника А(1; – 1; 2), В(5; – 6; 2), С(1; 3; –1). Найти длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

427.Сила F = {2; – 4; 5} приложена к точке О(0; 2; 1). Оп-

ределить момент этой силы относительно точки А(– 1; 2; 3). 428. Дана сила F = {3; 4; – 2} и точка ее приложения А(2;

– 1; 3). Найти момент силы относительно точки О(0; 0; 0) и направление момента силы.

429. Три силы F1 = {2; 4; 6}, F2 = {1; – 2; 3} и F3 = {1; 1; –7}

приложены к точке А(3; – 4; 8). Найти величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки В(4; – 2; 6).

430.Сила f ={3; 2; –4} приложена к точке А(2; –1; 1). Определить момент этой силы относительно начала координат.

431.Сила P = {2; – 4; 5} приложена к точке М (4; – 2; 3). Определить момент этой силы относительно точки А (3; 2; –1).

432.Сила Q = {3; 4; –2} приложена к точке С(2; – 1; – 2).

Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат.

433. Сила P = { 2; 2; 9} приложена к точке А(4; 2; –3). Оп-

ределить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точки С(2; 4; 0).

68

ЙО‡‚‡ II. щОВПВМЪ˚ ‚ВНЪУрМУИ ‡О„В·р˚

Объем V1 параллелепипеда, построенного на векторах a ,

b и c , и объем V2 образованной ими треугольной пирамиды, находятся по формулам:

бДСДзаь

435. Найти смешанное произведение векторов a =2 i – j – k , b = i + 3 j – k , c = i + j + 4 k .

436. Показать, что векторы a = 2 i + 5 j + 7 k , b = i + j – k , c = i + 2 j + 2 k компланарны.

437. Вычислить ( a – b ) ( b – c) (c – a ).

438. Найти смешанное произведение векторов a = i – j + k , b = i + j + k , c = 2 i + 3 j + 4 k .

439. Показать, чтовекторы a =7i –3 j +2 k , b =3i –7 j +8 k ,

c = i – j + k компланарны.

440. Показать, что точки A(5; 7; – 2), B(3; 1; – 1), C(9; 4; – 4)

и D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.

441. Показать, что точки A(2; – 1; – 2), B(1; 2; 1), C(2; 3; 0)

и D(5; 0; –6) лежат в одной плоскости.

442. Показать, чтовекторы a =–i +3 j +2 k , b =2i –3 j –4 k , c = – 3 i + 12 j + 6 k компланарны, и разложить вектор c по векторам a и b .

443.Показать, что:

1)( a + b ) (( a + c ) × b )= – a b c ;

2)( a + 2 b – c ) (( a – b ) ×( a – b – c )) = 3 a b c .

70