Kretov_vse
.pdf
éÚ‚ÂÚ˚
|
16 |
|
|
∂z |
|
2 |
|
α; 1) |
2 |
; 2) |
2 |
. |
|
3568. |
|
|
. |
3569. |
|
= cos α + |
|
cosβ − 2cos |
|
|
|||
|
|
3 |
14 |
5 |
|||||||||
|
3 |
|
|
∂e M |
|
|
|
|
|
||||
3570. |
− |
9 |
|
3 |
. |
3571. 1. 3572. |
|
2 |
. 3573. − |
3 |
. |
3574. |
|
68 |
. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
13 |
|
|
|
||||||
3575. |
cos α + cosβ + cos γ |
. 3576. {− 2; − 4}. |
3577. {3; 0}. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3578. {− 4; 4}. |
|
3579. {0; − e}. |
|
3580. 9i −3 |
|
. |
3581. |
1 |
(5 |
|
−3 |
|
). |
||||||||||||||||||||||
|
|
i |
j |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
j |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3582. {6; 3; 2}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3583. {2; −2; 4}; |
2 |
6. 3584. {−6; −4; 2}; |
2 14. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3585. |
− |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
; |
0 ; 1. 3586. {− 2; 6; − 3}; 7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
3 |
. 3589. {13; − 2}; |
|
|
|
||||||||||||||
3587. |
6; |
|
|
|
; |
− |
|
|
; |
|
. 3588. |
cos |
ϕ = |
|
|
173. |
|||||||||||||||||||
|
3 |
3 |
|
10 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3590. а) {1; 8}; б) 7. 3591. Линия уровня, проходящая через А, — это окружность x2 + y2 = 2 , gradz(1; 1) ={−2; 2}. Вектор направлен по радиусу. 3592. Линия уровня — это прямая, проходя-
щая |
|
|
через |
|
начало |
координат |
|
y |
|
= tgc(x ≠ 0), |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
gradz = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
gradz(1; 1) = − |
|
|
|
|
|
gradz(1; −1) = |
|||||||||||||||||||||
= − |
|
|
|
; |
|
|
, |
|
; |
|
, |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 + y2 |
|
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
|
; |
|
|
. 3593. gradz(4; 2) ={2; 4}. |
3594. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3595. |
df ( A) |
= cos α + cosβ + cos γ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
gradf (A) ={1; 1; 1}; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
dl |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3; |
cosα = |
|
1 |
; cosβ = |
1 |
|
; cos γ = |
|
1 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
gradf ( A) |
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
491 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
éÚ‚ÂÚ˚
3596. |
|
z ={2; 2; 2}, ∂u |
= 2 + 2. |
3597. |
|
={±4; 0; 0}. |
|||||||||||||
|
gradu |
||||||||||||||||||
grad |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3598. |
f min = f (−3; 2) = −10. 3599. |
|
|
1 |
|
4 |
10 |
|
|||||||||||
f min = f |
|
|
; |
|
= |
|
|
. |
|||||||||||
3 |
|
3 |
|||||||||||||||||
3600. f max = f (− 5;1)=1. |
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||
3601. f |
max = f (1; − 4) = −14. |
|
|||||||||||||||||
3602. M (3; 6) |
не является точкой экстремума. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3603. |
|
|
|
94 |
|
109 |
. 3604. Точки M1 (1; 0), |
M 2 (1; − 3) — |
|||||||||||
f min = |
f |
|
; |
|
|
|
|||||||||||||
23 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
стационарные, не экстремальные. 3605. M1 (0; 0) — не экстре-
мальная, f min = f (6; 6) = −422. |
|
|
|
||||||||||||
3606. |
f min = f (1; 1) = −82; |
f max = f (−1; −1) = 82; |
|||||||||||||
M |
|
|
− |
3 |
; − |
14 |
|
и |
M |
|
3 |
; |
14 |
|
— не экстремальные. |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
14 |
|
3 |
|
|
|
4 |
14 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3607. f min = f ( 2; − 2) = f (− 2; 2) = −8; M (0; 0) — тре-
бует дополнительного исследования.
3608. f max = f (6; 4) = 6912. 3609. f min = f (5; 6) = −86.
3610. f min = f (0;1) = 0. 3611. Точек экстремума нет. 3612. Нестрогий минимум f = 0 в точках прямой x − y +1 = 0.
3613. f min = f (1; 0) = −1. 3614. f max = f (2; 3) =108; нестро-
гий минимум f = 0 при x = 0, 0 < y < 6; нестрогий максимум
f = 0 при x = 0, − ∞ < y < 0 и 6 < y < +∞. . |
|
|
|
|
|
||||||||
3615. |
f min = f (1;1) = −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3616. |
f min = f (−1; −1) = f (1; 1) = −2; |
|
экстремума |
|
|
нет |
при |
||||||
x = 0, |
y = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3617. f max = f (0; 0) = 0; |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|||
f min = |
f |
± |
|
|
; ±1 = −1 |
|
; |
седло |
|||||
2 |
8 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f = −1 при x = 0, y = ±1, |
и седло f |
= − |
1 |
|
при x = ± |
1 |
, y = 0. |
||||||
8 |
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
492 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
éÚ‚ÂÚ˚
3618. f min = f (5; 2) = 30. 3619. f max = f (0; 0) =1.
3620. f min = f (0; 0) = 0 седло f = 12 e−2 при x = − 14 , y = − 12 .
3621. Седло z = e3 при x =1, y = −2.
3622. f max = f (1; 3) = e−13 ; f min = f − 261 ; − 263 = −26e−521 .
3623. f min = f (1; 2)= 7 −10 ln 2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
3624. |
|
f min = f |
± |
|
|
|
; ± |
|
|
|
|
= − |
|
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2e |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2e |
2e |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f max = f ± |
|
|
; |
|
|
|
|
= |
|
|
|
; |
|
|
экстремума нет в стационар- |
||||||||
|
|
|
|
|
2e |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2e |
|
|
2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ных |
точках |
(0; ±1) |
|
|
и |
(±1; 0). |
3625. Стационарные точки |
||||||||||||||||
x = |
π |
|
(−1)m+1 |
+ (m + n) |
π, |
y = |
|
|
π |
|
(−1)m+1 + (m − n) |
π |
(m, n = 0, |
||||||||||
|
|
12 |
|
2 |
|||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
±1, ±2,...). Экстремум |
π |
+ |
3 |
|
(−1) |
m+1 |
+ 2(−1) |
n |
, |
если |
|
z = mn + |
6 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m и n различной четности (максимум при m нечетном и n четном, минимум при m четном и n нечетном); экстремума нет, если m и n одинаковой четности.
3626. |
f min = f (−1; − 2; 3) = −14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3627. f min = f (24; −144; −1) = −6913. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
a |
|
a |
|
a |
|
a7 |
|
||||
3628. |
f min = f |
|
;1;1 |
= 4. 3629. |
f max = f |
|
; |
|
; |
|
|
= |
|
|
; |
|
7 |
7 |
7 |
7 |
7 |
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
нестрогий |
экстремум |
|
f |
= 0 |
|
при y = 0, x ≠ 0, z ≠ 0, |
||||||
x + 2 y + 3z ≠ a. 3630. max f (x; |
y) = f (±4; 0) =16; |
|||||||||||
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
36 |
|
48 |
|
|
144 |
|
|||
min f (x; y) = f |
± |
|
; ± |
|
|
= |
|
|
|
. |
||
25 |
25 |
25 |
||||||||||
D |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
493 |
|
éÚ‚ÂÚ˚
3631. max f (x; y) = f (7; 0) =120; min f (x; y) = f (−5; 0) = −24.
D D
3632. zmin = 5, zmax =12. 3633. zmin = −2( 2 +1),
zmax = 2( 2 −1). 3634. zmax = z(0; −5) = 41; zmin = z(−2; −1) = −3. 3635. zmax = z(1; 2) =9, zmin = z(3; −2) = −11.
3636. zmax = −2; zmin = −5. 3637. zmax =125; zmin = −75.
3638. zmax =1; zmin = 0. |
3639. |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
zmax = z |
|
; |
|
|
= |
|
. |
|||
2 |
2 |
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
494
кЦдйеЦзСмЦеДь ганЦкДнмкД
1.Атанасян Л. С. Задачник-практикум по аналитической геометрии: Учеб. пособ. — М.: Учеб.-пед. изд-во, 1960.
2.Бараненков Г. С., Демидович Б. П., Ефименко В. А. и др. Задачи
иупражнения по математическому анализу для втузов: Учеб. пособ. —
М.: Наука, 1968.
3.Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособ. — М.: Наука, 1969.
4.Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика: Учеб. для вузов: В 3 т. — М.: Дрофа, 2003.
5.Виленкин Н. Я., Бохан К. А., Марон И. А. и др. Задачник по курсу математического анализа / Под ред. Н. Я. Виленкина: Учеб. пособ. — М.: Просвещение, 1971. — Ч. 1, 2.
6.Гусак А. А. Высшая математика: В 2 т.: Учебник. — Минск: Тетра Системс, 2004.
7.Гюнтер Н. М., Кузьмин Р. О. Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособ. — СПб.: Лань, 2003.
8.Давыдов Н. А., Коровкин П. П., Никольский В. Н. Сборник за-
дач по математическому анализу: Учеб. пособ. — М.: Просвещение, 1973.
9.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая матема-
тика в упражнениях и задачах: В 2 ч.: Учеб. пособ. — М.: Мир и образование, 2003.
10.Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб. пособ. — М.: Наука, 1969.
11.Ефимов М. В. Краткий курс аналитической геометрии: Учеб. пособ. — М.: Физматлит, 2002.
12.Клеттенник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учеб. пособ. — М.: Наука, 1969.
13.Корсакова Л. Г. Высшая математика для экономистов: Учеб. пособие / Калинингр. ун-т. — Калининград, 2005.
14.Кручкович Г. И., Гутарина Н. И., Дюбюк П. Е. и др. Сборник задач по курсу высшей математики / Под ред. Г. И. Кручковича: Учеб. пособ. — М.: Высшая школа, 1973.
15.КурошА.Г. Курсвысшейалгебры: Учебник. — М.: Наука, 1965.
495
16.Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А.
Сборникзадач по высшейматематике. 1 курс. — М.: Айрис-пресс, 2003.
17.Малаховский В. С. Введение в математику: Учеб. пособ. — Калининград: Янтарный сказ, 1998.
18.Малаховский В. С. Избранные главы истории математики: Учеб. пособ. — Калининград: Янтарный сказ, 2002.
19.Натонсон И.П. Краткий курс высшей математики: Учебник. —
СПб.: Лань, 2003.
20.Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике:
В2 ч.: Учеб. пособ. — М.: Айрис-пресс, 2004.
21.Фадеев Д. К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре: Учеб. пособ. — М.: Наука, 1964.
22.Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учеб. пособ. — М.: Физматлит, 1959. — Ч. 2.
23.Цубербиллер О. Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии: Учеб. пособ. — М.: Наука, 1968.
24.Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах:
В3 т.: Учеб. пособ. — СПб.: Политехника, 2003.
25.ШипачевВ. С. Задачник по высшейматематике: Учеб. пособ. —
М.: Высш. шк., 2002.
496