Kretov_vse
.pdf§ 8.4. àÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌË ð‡ˆËÓ̇θÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ
|
|
mx + n |
|
m |
(2ax +b)dx |
|
bm |
|
|
|
dx |
|
|||
|
|
|
|
dx = |
|
|
2 |
|
+ n − |
|
|
|
|
|
. |
∫ax |
2 |
+bx +c |
2a ∫ax |
+bx +c |
∫ax |
2 |
+bx + c |
||||||||
|
|
|
|
2a |
|
|
При нахождении интегралов от дробных рациональных
функций, то есть функций вида Qm (x) = a0 + a1x +... + am xm , pn (x) b0 +b1x +... +bn xn
предварительно исключают целую часть путем деления (если
m ≥ n), а остаток |
Nk (x) |
(k < n) представляют в виде суммы |
|
P (x) |
|||
|
|
||
|
n |
|
элементарных дробей с помощью метода неопределенных коэффициентов. Знаменатель остатка сначала раскладывают на
множители вида (x −a)µ и (x2 + px + q)ν , а сам остаток в со-
ответствии с полученным разложением — на сумму элементарных дробей следующим образом:
|
|
|
|
Nk (x) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
Nk (x) |
|
|
= |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
P (x) |
|
(x −a) |
µ |
...(x |
2 |
|
|
ν |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
px + q) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
A |
+ |
|
|
|
A |
|
|
|
+... + |
|
|
Aµ |
|
|
|
+... + |
|
B x +C |
+ |
||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|||||||||
x −a |
|
(x |
−a)2 |
|
|
(x |
−a)µ |
|
x2 |
+ px + q |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
+ |
|
|
B2 x +C2 |
|
|
+... + |
|
|
Bν x +Cν |
|
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
(x |
2 |
2 |
(x |
2 |
ν |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ px + q) |
|
|
|
|
|
|
|
+ px + q) |
|
|
||||||||||||||
Каждому |
линейному множителю кратности |
µ , |
то есть |
|||||||||||||||||||||||||
множителю |
(x −a)µ , |
|
соответствует в разложении сумма µ |
|||||||||||||||||||||||||
элементарных дробей вида |
|
|
|
|
Ai |
|
|
(i =1,2,..., µ), |
а каждому |
|||||||||||||||||||
|
(x − a)i |
|
квадратному множителю кратности ν , то есть множителю (x2 + px + q)ν , — сумма ν элементарных дробей вида
2Bi x +Ci i (i =1, 2,...,ν) .
(x + px + q)
255
§ 8.4. àÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌË ð‡ˆËÓ̇θÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ
|
∫ |
x5 |
−2x2 +3 |
|
dx. |
|
|
2278. ∫ |
|
xdx |
||||||||||||||||
2277. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||
(x −2)2 |
x2 +3x + 2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
(x2 +3)dx |
|
|
|
|
|
2280. ∫ |
|
(x5 + x4 −2)dx |
||||||||||||||||
2279. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
x4 −4x2 + 4 . |
||||||||||||||
x3 |
− x2 −6x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
2282. ∫ |
|
|
|
|
dx |
||||||||||||
2281. |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
x4 |
+ x2 |
|
|
|
|
(x2 + 2)(x −1)2 |
||||||||||||||||||||
|
|
x7 dx |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
xdx |
||||||||||||||
2283. |
∫ |
|
. 2284. ∫ |
|
|
|
. 2285. ∫ |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
1− x4 |
x2 + x +1 |
2x2 − x +1 |
||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
x3dx |
|
|
2287. ∫ |
dx |
2288. ∫ |
dx |
|||||||||||||||||
2286. |
|
|
|
. |
|
|
|
. |
|
. |
|
|||||||||||||||
x2 |
+ 2x +3 |
|
|
1− x3 |
1+ x3 |
|||||||||||||||||||||
|
∫ |
x5dx |
|
|
2290. ∫ |
|
(x3 +1)dx |
|||||||||||||||||||
2289. |
|
. |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||
2 + x3 |
|
|
x(x2 + x +1)2 |
|||||||||||||||||||||||
При вычислении интегралов типа ∫ |
|
|
|
xm |
||||||||||||||||||||||
|
dx полезна |
|||||||||||||||||||||||||
(axn +b)p |
||||||||||||||||||||||||||
подстановка t = xd , |
где d — наибольший общий делитель чи- |
сел m +1 и n.
Вычислить интегралы:
2291. ∫ |
x5dx |
2292. ∫ |
|
x5dx |
2293. ∫ |
|
x3dx |
||||||||||||
|
. |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||
x3 +1 |
|
x4 +1 |
|
(3x2 + 2)2 |
|||||||||||||||
|
∫ |
x3dx |
2295. ∫ |
x3dx |
2296. ∫ |
x5dx |
|||||||||||||
2294. |
|
. |
|
|
. |
|
. |
|
|||||||||||
x8 +3 |
(x8 +1)2 |
x12 −1 |
|||||||||||||||||
|
|
dx |
1 |
|
|
|
|
(x3 +3)dx |
|||||||||||
2297. |
∫ |
|
. |
2298. ∫ |
|
dx. |
2299. ∫ |
|
|
|
. |
||||||||
x(x3 −5) |
x(x5 + 2) |
|
|
x(x6 + 4) |
2300. С помощью формулы М. В. Остроградского вычислить следующие интегралы:
257
§ 8.5. àÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌË Ëðð‡ˆËÓ̇θÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ
|
ax + b |
= t, где n — наименьшее кратное чисел q1, q2, …, qn. |
||||
|
cx + d |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл |
∫R(x, |
ax2 +bx +c) |
вычисляется с |
помощью |
|
одной из трех подстановок Эйлера: |
|
|
||||
|
|
1) |
ax2 +bx +c = y ± a x, если a > 0; |
(8.5.3) |
||
|
|
2) |
ax2 +bx +c = xy ± |
c, если c > 0 ; |
(8.5.4) |
|
|
|
|
3) |
ax2 +bx +c = (x −α) y, |
(8.5.5) |
если ax2 +bx +c = 0 имеет действительные корни (α — один из корней).
Биномиальный дифференциал xm (a +bxn )p dx, где m, n, p — рациональные числа, можно интегрировать в трех случаях:
1)p — целое; x = tN, гдеN — общийзнаменательдробейm иn;
2)mn+1 — целое; a +bxn = tµ , где µ — знаменатель чис-
ла p; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
m +1 |
|
+ p — целое; ax−n +b = tµ , гдеµ — знаменатель |
|||||||||||||||||||||
|
n |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
числа p. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бДСДзаь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2301. ∫ |
|
|
xdx |
. |
|
|
2302. ∫ |
xdx |
. |
|
|
2303. ∫ |
|
dx |
|
|
. |
|||||||
1 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
x |
2 |
|||||||||||||||
|
|
+ |
|
x |
|
|
|
1+ x |
|
|
|
|
|
|
|
3x + |
|
|
||||||
2304. ∫ |
|
x + |
x + 3 x2 |
2305. ∫ |
2x + 3 x2 + 5 x |
4 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
3 |
|
2 |
|
5 |
|
4 |
|
dx. |
|
|
|
||||
|
|
x(1+ |
3 |
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x) |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
259 |