Kretov_vse
.pdf§ 9.1. З˚˜ЛТОВМЛВ УФрВ‰ВОВММУ„У ЛМЪВ„р‡О‡
ческого из значений этой функции, взятых через равные промежутки аргумента х.
2771. Определить среднее значение функции y = sin ax на
отрезке 0; |
π |
, в частности при а= 1. |
|
a |
|
2772. Определить среднее значение обратных величин всех положительных чисел, лежащих между a и b, в частности при a = 1 и b = 2.
2773. Определить среднее расстояние точки М, лежащей на окружности радиуса r, от всех других точек этой окружности.
2774. Определить среднюю длину всех положительных орди-
натэллипса |
x2 |
+ |
y2 |
=1, вчастностиокружности x2 + y2 =1. |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
2775. Показать, что средняя длина всех радиусов-векторов, проведенных из фокуса эллипса ко всем точкам верхней ее половины, равна малой полуоси b.
2776. Сечение желоба имеет форму параболического сегмента. Основание его а м, глубина h м. Определить среднюю глубину желоба.
2777. Тело, падающее на землю из состояния покоя, прой-
дя отрезок s = s1, приобретает скорость v1 = |
2gs1 . Показать, |
||||||||
что на пройденном пути s средняя скорость v |
|
|
равна 2 v . |
||||||
1 |
|
cp. |
|
|
3 1 |
||||
2778. В динамо-машине переменного тока электродвижу- |
|||||||||
щая сила E выражается формулой |
E = E sin |
2πt |
, |
где Т — |
|||||
|
|||||||||
|
|
0 |
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2πt |
|
||
период, измеренный в секундах, E |
|
— амплитуда, |
|
— |
|||||
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
фаза. Определить среднее значение Ecp. электродвижущей силы Е и эффективную электродвижущую силу, равную квад-
283
§ 9.2. çÂÒÓ·ÒÚ‚ÂÌÌ˚ ËÌÚ„ð‡Î˚
Определение 2. Несобственные интегралы первого рода называются сходящимися, если существуют конечные пределы, стоящие в правых частях равенств. Если же указанные пределы не существуют или бесконечны, то — расходящимися.
Признаки сходимости и расходимости:
1. Если на [a, +∞) непрерывные функции f(x) и ϕ(x) удовлетворяют условию 0 ≤ f (x) ≤ϕ(x) , то из сходимости инте-
грала +∞∫ϕ(x)dx следует сходимость интеграла +∞∫ f (x)dx, а из
a |
|
|
a |
|
|
|
расходимости интеграла |
+∞∫ |
f (x)dx следует расходимость ин- |
||||
|
|
a |
|
|
|
|
теграла +∞∫ϕ(x)dx (признак сравнения). |
|
|
||||
a |
|
|
|
|
|
|
2. Если при x [a, +∞) , |
f (x) > 0, ϕ(x) > 0 и существует |
|||||
|
f (x) |
|
+∞ |
|
||
конечный предел lim |
= k ≠ 0, то интегралы |
|
f (x)dx |
|||
ϕ(x) |
a |
|||||
x→+∞ |
|
|
||||
|
|
|
∫ |
|
и +∞∫ϕ(x)dx сходятся или расходятся одновременно (предель-
a
ный признак сравнения).
3. Если сходится интеграл +∞∫| f (x) | dx, то сходится и ин-
a
теграл +∞∫ f (x)dx, который в этом случае называется абсолют-
a
но сходящимся.
Определение 3. Если функция y = f (x) непрерывна в промежутке [a, +∞) и имеет разрыв второго рода при х=b, то
287
§ 9.2. çÂÒÓ·ÒÚ‚ÂÌÌ˚ ËÌÚ„ð‡Î˚
3. Если функция f(x), знакопеременная на [a,b], имеет
разрыв в точке x = b , и несобственный интеграл ∫b | f (x) | dx
a
сходится, то сходится и интеграл ∫b f (x)dx .
a
Замечание. В качестве эталона для сравнения функций
часто берут функцию ϕ(x) = 1 α . Можно показать, что
(b − x)
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫a |
dx |
|
|
(α > 0) |
сходится при |
|
α <1 |
и расходится при |
||||||||||||||||||||||||
(b − x)α |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
α ≥1. Это же относится и к ∫a |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
(x −a)α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бДСДзаь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Вычислить несобственные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
∞ dx |
|
|
|
|
∞ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2827. |
∫1 x3 . |
|
2828. ∫0 |
|
. 2829. |
∫0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x2 + 4 |
1+ x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2830. |
∞∫xe−ax2 dx |
(a > 0). |
2831. |
∞∫ |
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
(1+ x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
∞ |
dx |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|||||||
2832. |
∫1 |
|
. |
|
2833. ∫0 |
xdx |
. |
|
|
2834. ∫1 |
xdx |
. |
|
|||||||||||||||||||
(1+ x) |
x |
|
(1+ x)2 |
|
|
(1+ x)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Определить, какие из интегралов сходятся: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
∞ dx |
|
|
|
|
∞ dx |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
∞ |
x2dx |
|
|||||||||
2835. |
|
|
|
. |
2836. |
∫ |
5 . |
2837. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2838. |
|
|
|
|
. |
|||||||||
∫ |
x |
∫ x2 +c2 |
∫ x3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x +1 |
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
289 |