Kretov_vse

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский федеральный университет им. И.Канта

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

y = a sin t.

.pdf

Скачиваний:

118

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

3.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 5031 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

§ 9.4. З˚˜ЛТОВМЛВ ‰ОЛМ˚ ‰Ы„Л ФОУТНУИ НрЛ‚УИ

t2
l = ∫ ϕ '12 (t) +ϕ '22 (t)dt .	(9.4.2)
t1

Если кривая задана уравнением в полярных координатах r = r(ϕ) , где α ≤ϕ ≤ β , то

	β
	l = ∫ r2 +(r ')2 dϕ .					(9.4.3)
	α
	бДСДзаь
2986.	Найти длину дуги параболы y =	x2	от вершины до
2986.	Найти длину дуги параболы y =	2 p	от вершины до
		2 p
точки (	2 p; p) .
2987.	Найти длину дуги полукубической параболы у2 =х3
от точки (0; 0) до точки (4; 8).
		y = a		(e	x	+e−	x
2988.	Найти длину дуги цепной линии	y = a		(e	a	+e−	a	) от
			2

точки (0; а) до точки (х; у).

2989. Показать, что длина дуги параболы у2 =рх от вершины до точки (х; у) выражается формулой:

y +

l =

y2 +

2 p

и что выражение	y	y	2	+	p2	представляет собой отрезок ка-
	p				4

сательной к этой параболе, заключенный между точкой касания (х; у) и точкой пересечения этой касательной с осью Оу.

301

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

2990. Найти длину дуги логарифмики у= lnх от точки

( 3; ln	3) до точки ( 8; ln 8) .
2991.	Найти длину дуги кривой у= – ln cos x от точки M1 с
абсциссой х1 = 0 до точки M2 с абсциссой x				= π .
			2	4
				4
2992.	Найти длину дуги кривой	y = ln	ex +1		от точки M1	с
2992.	Найти длину дуги кривой	y = ln	ex −1		от точки M1	с
			ex −1

абсциссой х1 = a до точки M2 с абсциссой x2 =b (b >a).

2993. Найтидлинупервоговиткаархимедовойспиралиr=aθ. 2994. Показать, что длина дуги кардиоиды r =p (1 +cosθ)

от точки (0; 2р) до точки (θ; r) (0 < θ≤π) равна длине отрезка, соединяющего точку (0; 2р) с точкой пересечения окружности с центром в полюсе и радиусом 2р с продолженным радиусомвектором точки (θ; r). Показать, что длина всей кардиоиды равна 8р.

2995. Найти длину всей астроиды: x= a cos3 t, y= a sin3 t. 2996. Показать, что длина одной ветви циклоиды: х=a(t–sint),

у= а(1 – cos t) (0 ≤t≤2π) равна 8а.

2997. Найти длину окружности r =2a sin θ. 2998. Найти длину дуги эпициклоиды:

x = (a +b)cost +bcos a b+b t , y = (a +b) sin t +bsin a b+b t ,

соответствующей одному полному обороту катящегося круга. (Эпициклоида — кривая, которую описывает точка М, лежащая на окружности круга радиуса b, катящегося без скольжения по внешней стороне круга радиуса а.)

2999. Найти длину логарифмической спирали r = eaθ от начала до точки (r; θ).

3000. Доказать, что длина эллипса: x = 2 sin t, у= сos t

равна длине одной волны синусоиды у= sin х.

3001. При каких значениях показателя k длину дуги кривой у=схk можно выразить в элементарных функциях?

Вычислить длину дуги кривой:

3002. y2 = x3, отсеченной прямой x = 1;

302

§ 9.4. З˚˜ЛТОВМЛВ ‰ОЛМ˚ ‰Ы„Л ФОУТНУИ НрЛ‚УИ

3003. y = ln cosx, отсеченной прямыми х = 0, x = π6 ; 3004. y2 = (x+1)3, отсеченной прямой х = 4;

3005.	y2 = 4 (2 − x)3 , отсеченной прямой х = –1;
	9	x		x
	y = a (e	x	+e−	x
3006.	y = a (e	a	+e−	a	)	между осью у и прямой х = а;
	2
3007.	у = х2 –1, отсеченной осью х;
3008. y = ln sin x от x =						π	до x =	2π	;
3008. y = ln sin x от x =						3	до x =		;
						3	3
3009.	астроиды x = a cos3 t, y = a sin3 t;

3010. одной арки циклоиды х=a(t–sint), у=а(1–cost) 0≤t≤2π; 3011. кардиоиды r = 4(1–cosφ);

3012. первого завитка спирали r = аφ, 0 ≤ φ ≤ 2π;

3013. y = x2 − 1 ln x от х= 1 до x=e.

4 2

§ 9.5. З˚˜ЛТОВМЛВ У·˙ВП‡ ЪВО‡ ‚р‡˘ВМЛﬂ

Объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) ( f (x) ≥ 0) и прямыми y=0, x=a, x=b, вычисляется по формуле:

V =π ∫b	f 2 (x)dx .	(9.5.1)
a

Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной кривой x =ϕ( y) (ϕ( y) ≥ 0)

и прямыми x=0, y=c, y=d, вычисляется по формуле:
V =π ∫d ϕ2 ( y)dy .	(9.5.2)
c
	303

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

бДСДзаь

3014. Вычислить объем кругового конуса с радиусом основания r и высотой h.

3015. Вычислить объем усеченного кругового конуса с радиусами основания R и r (r < R) и высотой h.

3016. Вычислить объем эллипсоида вращения и, в частности, шара.

3017. Вычислить объем тела, образованного вращением

вокруг оси х-ов криволинейной трапеции, ограниченной параболой у=х2 +1 и прямыми х1 =– а, х2 =а (а>0).

3018. Вычислить объем тела, образованного вращением

вокруг оси х-ов криволинейной трапеции, ограниченной параболой у2 =pх и прямыми х1 =а, х2 =b (0 <a <b).

3019. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью, образованной вращением вокруг оси х-ов дуги синусоиды от точки х = 0 до точки х =π .

3020. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью, образованной вращением вокруг оси х-ов астроиды

x3 + y3 = a3 .

3021. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси х-ов криволинейной трапеции, ограниченной ги-

перболой y = 1x и прямыми х1 = а, х2 = b (0 <a < b).

3022. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси х-ов криволинейной трапеции, ограниченной цеп-

	y = a	(e	x	+e−	x
ной линией			a		a	) и прямыми x1 = – c, x2 = c (c > 0).
	2
3023. Вычислить				объем тела, образованного вращением

вокруг оси х-ов плоской фигуры, ограниченной параболами

у=х2 и у2 =x.

3024. Вычислить объем тела, образованного вращением

вокруг оси х-ов плоской фигуры, ограниченной параболами y=– x2 +3 и y=x2 +1.

304

§ 9.5. З˚˜ЛТОВМЛВ У·˙ВП‡ ЪВО‡ ‚р‡˘ВМЛﬂ

3025. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси х-ов плоской фигуры, ограниченной окружностью

x2 +y2 =1 и параболой y2 = 32 x.

3026. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси х-ов плоской фигуры, ограниченной косинусоидой

y=cosx и параболой y = 2π9 2 x2 .

3027. Вычислить объем тела, образованного вращением

вокруг оси х-ов плоской фигуры, ограниченной гиперболой x2 – y2 =1 и прямой x=a + 1 (a > 0).

3028. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси х-ов плоской фигуры, ограниченной синусоидой

y=sin x и прямой y = π2 x.

3029. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси х-ов плоской фигуры, ограниченной кривой y=2x и

прямой 4y– 3x– 5 =0.

3030. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью, образованной вращением вокруг оси х-ов дуги циклоиды

х=а(t – sin t), у=а(1 – cost).

3031. Найти объем тела, ограниченного поверхностью, об-

разованной вращением кривой y = 1+1x2 вокруг ее асимптоты.

3032. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью, образованной вращением вокруг оси х-ов кривой у= ех от точки х = 0 до х = −∞.

3033. Вычислить объем тела, ограниченного поверхно-

стью, образованной вращением циссоиды y	2	=	x3
				вокруг

2a − x

ее асимптоты.

305

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

Вычислить объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной линиями:

3034. y = 4 – x2, y = 0, x =0, где x ≥ 0 вокруг: 1) осих, 2) осиу; 3035. y = х – x2, y = 0 вокруг каждой из следующих прямых:

1) у = 0, 2) х = 0, 3) х = 2, 4) х = –2, 5) у = – 1, 6) у =2; 3036. y = ех, x =0, х = 1, у = 0 вокруг: 1) оси х, 2) оси у; 3037. y = x2, y = 4, x =0, где x ≥ 0 вокруг: 1) оси х, 2) оси у; 3038. y = x2 +1, y = 0, x =1, x =2 вокруг: 1) оси х, 2) оси у; 3039. y = x3, y = 1, x =0 вокруг: 1) оси х, 2) оси у;

3040.	x2	+	y2	=1, у =0, где y ≥ 0 вокруг оси х;
	a2		b2

3041. y = lnx, y = 0, x = e вокругкаждойизследующихпрямых: 1) у = 0, 2) х = 0, 3) у = –1, 4) х = 1, 5) х = –1, 6) у = 1; 3042. y=sin x, y=0, где 0 ≤ x ≤π вокруг каждой из сле-

дующих прямых: 1) у=0, 2) х=0, 3) x = 2π, 4) х=–1, 5) х=–2,

6) у= 1, 7) у= – 2;

3043. x2 –у2 =4, y=2, у=0 вокруг оси х; 3044. y=х, у=x2 вокруг: 1) оси х, 2) оси у;

3045. y = cos 2x, y = 0, x = 0 где 0 ≤ x ≤	π	вокруг:1) оси х,
2) оси у;	4
2) оси у;

3046. y=sinx, y=0, где 2π ≤ x ≤ 3π вокруг каждой из сле-

дующих прямых: 1) у=0, 2) х=0, 3) x =π, 4) y=– 2;

3047. y=2х–x2, y=0 вокруг каждой из следующих прямых: 1) х=0, 2) у=0, 3) x= – 1, 4) у=1;

3048.		y =		4 ,		x = 1, x = 4, у =0 вокруг: 1) оси х, 2) оси у;
				x	1
3049.		y =			1		, x = 1, x = –1, у=0 вокруг: 1) оси х, 2) оси у;
3049.		y =		1+ x2			, x = 1, x = –1, у=0 вокруг: 1) оси х, 2) оси у;
				1+ x2
3050. Вычислить объем тела, полученного вращением эл-
липса	x2	+	y2		=1 вокруг оси Ох.
липса	a2	+	b2		=1 вокруг оси Ох.
	a2		b2
306

§ 9.5. З˚˜ЛТОВМЛВ У·˙ВП‡ ЪВО‡ ‚р‡˘ВМЛﬂ

3051. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох полуволны синусоиды y = sin x.

3052. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями xy = 4, x = 1, x= 4, y = 0.

3053. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной линиями y2 = (x+4)3 и х=0.

3054. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной линиями y2 = 4 – x и х=0.

3055. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y=sin x и y = π2 x.

3056. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной замкнутой кривой x=a sin t, y=b sin 2t.

3057. Вычислить объем тела, образованного вращением астроиды x = a cos3t, y = a sin3t вокруг осей Ох и Оу.

3058. Вычислить объем тела, полученного вращением во-

круг полярной оси кривой (окружности) r = a2cosΘ.

3059. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг полярной оси кривой r = a cos2Θ.

СУФУОМЛЪВО¸М˚В Б‡‰‡МЛﬂ

3060. Прямой круговой конус радиуса R и высоты Н рассечен на две части плоскостью, проходящей через центр основания параллельно образующей. Используя метод сечений, найти объемы обеих частей конуса. Указание. Сечения конуса плоскостями, параллельными образующей, суть параболические сегменты.

3061. Найтиобъемтела, ограниченногоцилиндрамиx2+z2=R2, z2 +y2 =R2. Указание. В силу симметрии тела относительно координатных плоскостей достаточно вычислить объем восьмой

307

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

части тела. В этом случае удобно рассмотреть сечения, образованные плоскостями, параллельными осям обоих цилиндров; в сечении получаются прямоугольники.

3062. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Оx кривой x4 –a2 x2 +a2 y2 =0.

3063. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оx фигуры, ограниченной линиями (y–a)2 =ax, x=0, y= 2a.

3064. Найти объем тела, полученного вращением вокруг

оси Оx фигуры, ограниченной гиперболой				x2	+	y2	=1, пря-
оси Оx фигуры, ограниченной гиперболой				a2	+	b2	=1, пря-
	b			a2		b2
мой y =	b	x	и осью Ох.
мой y =	2a	x	и осью Ох.
	2a

3065. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой x2 – xy+y2 =a2. Указание. Кривая представляет собой эллипс с центром в начале координат, симметрично расположенный относительно биссектрис координатных углов.

§ 9.6. З˚˜ЛТОВМЛВ ФОУ˘‡‰Л ФУ‚ВрıМУТЪЛ ‚р‡˘ВМЛﬂ

Если дуга кривой, заданная функцией y = f (x), a ≤ x ≤ b,

вращается вокруг оси ОХ, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле:

Sx = 2π ∫b	f (x) 1+( f '(x))2 dx .	(9.6.1)
a

Если дуга кривой, заданная функцией x =ϕ( y), c ≤ y ≤ d, вращается вокруг оси ОУ, то

Sy = 2π ∫d ϕ( y) 1+(ϕ '( y))2 dy .	(9.6.2)
c

308

§ 9.6. З˚˜ЛТОВМЛВ ФОУ˘‡‰Л ФУ‚ВрıМУТЪЛ ‚р‡˘ВМЛﬂ

Если дуга кривой задана параметрическими уравнениями

x = x(t)	, t1 ≤ t ≤ t2 , то
	, t1 ≤ t ≤ t2 , то
y = y(t)
	t2	(x 't )2 +(y 't )2 dt;
	Sx = 2π ∫y(t)	(x 't )2 +(y 't )2 dt;			(9.6.3)
	t1
	t2	(x 't )2 +(y 't )2 dt.
	Sy = 2π ∫x(t)	(x 't )2 +(y 't )2 dt.			(9.6.4)
	t1
Если	дуга задана в полярных			координатах	r = r(ϕ),
α ≤ϕ ≤ β, то
	β			(r 'ϕ )2 dϕ;
	Sx = 2π ∫r sinϕ		r2 +	(r 'ϕ )2 dϕ;	(9.6.5)
	α
	β			(r 'ϕ )2 dϕ.
	Sy = 2π ∫rcosϕ		r2 +	(r 'ϕ )2 dϕ.	(9.6.6)

бДСДзаь

3066. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси х-ов дуги синусоиды y = sin x от точки

x1 = 0 до точки x2 =π.

3067. Вычислить площадь поверхности шара радиуса r.

3068. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси х-ов тангенсоиды y = tgx от точки x1 = 0

до точки x2 = a	0	< a <	π
			2	.

309

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

3069. Вычислить площадь поверхности, образованной вра-

щением вокруг оси х-ов гиперболы y = 1x от точки x1 =1 до

точки x2 = a (a >1).

3070. Вычислить площадь поверхности, образованной вра-

		a		x		−	x

щением вокруг оси х-ов цепной линии	y =		ea		+e		a	от
		2

точки x1 = 0 до точки x2 = a				(a > 0).
3071. Вычислить площадь поверхности, образованной вра-
щением вокруг оси х-ов дуги параболы y = ax2							от точки x = 0
до точки x2 = b (b > 0).							1

3072. Вычислить	площадь			поверхности эллипсоида, полу-
ченного вращением эллипса		x2		+	y2	=1 (a > b) вокругоси х-ов.
		a2			b2

3073. Вычислить площадь поверхности, образованной вра-
2	2		2
щением астроиды x3 + y3 = a3 вокруг оси х-ов.
3074. Вычислить	площадь				поверхности,		образованной

вращением дуги циклоиды: x = a(t −sin t), y = a(1−cost) во-

круг оси х-ов.

3075. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси х-ов кривой y = e−x от точки x1 = 0 до точки x2 = +∞.

3076. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси х-ов трактрисы:

310

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 5031 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.2015178.79 Кб157Kopia_testy_dlya_farmy_studentam_s_otvetami.docx
#
20.11.2018110.59 Кб6Kosti_tulovishcha-449.doc
#
16.11.2019112.64 Кб10KP.doc
#
24.09.2019614.91 Кб6Kratky_konspekt_lektsy_pravo.doc
#
23.03.20161.05 Mб123Kretov1.pdf
#
23.03.20163.26 Mб118Kretov_vse.pdf
#
23.03.2016543.23 Кб147kuharenko_v_a_praktikum_po_stilistike_angliiskogo_yazyka.doc
#
25.08.2019126.74 Кб11Kultura_kontrolnaya_dopolnennoe.docx
#
22.09.2019416.92 Кб6Kumleva_T_Samaya_Sovremennaya_Fraze.docx
#
20.11.2019162.82 Кб4kursOS.doc
#
27.10.2018335.87 Кб15Kuznecov.doc