Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский федеральный университет им. И.Канта

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kretov_vse

.pdf

Скачиваний:

118

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

3.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 5020 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

§ 6.5. зВФрВр˚‚МУТЪ¸ ЩЫМНˆЛЛ

цию расстояния этого сечения от плоскости Р. Будет ли эта функция непрерывной? Построить график этой функции.

2) Выразить площадь горизонтального сечения тела, образованного этими цилиндрами, как функцию расстояния сечения от плоскости Р. Будет ли эта функция непрерывной? Построить график этой функции.

В задачах 1352—1355 требуется так определить функцию у(х) в точке х = 0, чтобы она стала в этой точке непрерывной:

1352.

y =

sin x

1353.

y =

5x2 −3x

1354.

y =

1+ x −1

1355.

y =

sin2 x

−cosx

1356. Возможно ли доопределить функции:

а) ϕ(x) = x sin

;

б) ϕ(x) = arctg

1 ;

в) λ(x) = tg

− x

в точке х = 0 так, чтобы они стали непрерывными в этой точке?

1357.	Используя свойства непрерывных функций, дока-
зать, что	уравнение x5 −3x −1 = 0 имеет по крайней	мере
один действительный корень, заключенный между 1 и 2.
1358.	Доказать, что всякий многочлен нечетной степени
имеет по крайней мере один действительный корень.
1359.	Построить график функции f (x) = x sin π .	Какое
	x

значение должно иметь f(0), чтобы функция f(x) была везде непрерывной?

1360. Доказать, что функция y =	1	имеет в точке х = 0
1360. Доказать, что функция y =	1	имеет в точке х = 0
	1
	1+ 2x

разрыв первого рода. Построить схематично график этой функции в окрестности точки х = 0.

191

ЙО‡‚‡ VI. З‚В‰ВМЛВ ‚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ‡М‡ОЛБ

1361.Исследовать характер разрыва функции y = 2−21−x в

точке х= 1. Можно ли так определить у при х= 1, чтобы функция стала непрерывной при х= 1?

1362. Исследовать характер разрыва функции y = 21x −1 в

2x +1

точке х= 0.

1363. Функция f(x) определена следующим образом:

	1		1
−		+
−	\|x\|	+	x		x ≠ 0 è f (0)=0.
f (x) = (x +1)2	\|x\|		x	при	x ≠ 0 è f (0)=0.

Доказать, что в интервале −2 ≤ x ≤ 2 функция f(x) принимает все без исключения значения, содержащиеся между f ( −2) è f (2) , и что она все же разрывна (в какой точке?).

Построить ее график.		1
1364. Исследовать непрерывность функции y =		1	.
1364. Исследовать непрерывность функции y =	1	+ 2tgx	.
	1	+ 2tgx

Выяснить характер ее графика.

1365. Функция определена так: если х — рациональное число, то f(x) = 0; если х — иррациональное число, то f(х) = х. При каком значении х эта функция непрерывна?

1366. Исследовать непрерывность и построить график функции: а) y = x −[x]; б) y = x−1| x | ; в) y = (−1)[x]. (Функция

[x] равна наибольшему целому числу, не превосходящему х.) 1367. Используя свойства непрерывных функций, убедить-

ся в том, что уравнение x5 −3x =1 имеет по меньшей мере один корень, заключенный между 1 и 2.

192

É Î ‡ ‚ ‡ V I I

СаооЦкЦзсаДгъзйЦ алуалгЦзаЦ омздсаа йСзйв зЦбДЗалаейв иЦкЦеЦззйв

§ 7.1. èÓËÁ‚Ó‰Ì‡ﬂ ÙÛÌÍˆËË

Определение 1. Производной функции у= f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

f '(x) = lim				f (x +∆x) − f (x)		(7.1.1)
				∆x
		∆x→0
или
	dy	= lim	f (x +∆x) − f (x)		.	(7.1.2)
	dx
		∆x→0		∆x

Если х меняется, то предел (7.1.1) будет также меняться (для некоторых х он может и не существовать), следовательно, производная данной функции есть некоторая функция.

Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой. Операция нахождения производной назы-

вается дифференцированием.

Геометрический смысл производной. Производная фун-

кции у= f(x) при х= х0 равна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке М0(х0; f(хо)), то есть

f '(x0 ) = tgα ,

(7.1.3)

где α − угол между осью Ох прямоугольной декартовой системы координат и касательной к графику функции у= f(x) в

точке М0(х0; f(хо)).

193

ЙО‡‚‡ VII. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛЛ У‰МУИ МВБ‡‚ЛТЛПУИ ФВрВПВММУИ

Механический смысл производной. Для функции s = f(t),

меняющейся со временем t, производная f '(t0 ) есть скорость изменения функции в момент t0, то есть

f (t0 ) =ϑ(t0 ),

(7.1.4)

где ϑ(t0 ) — скорость изменения s в момент t = t0.

Скорость протекания физических, химических, биологических и других процессов выражается с помощью производной.

Если u, v, w — дифференцируемые функции от х, а с — постоянная величина, то имеют место следующие основные правила дифференцирования:

c ' = 0 ;

(u −v + w) ' = u '−v '+ w ' ;	(7.1.5)
(uv) ' = u 'v +uv ' ;	(7.1.6)
(cv) ' = cv ' ;	(7.1.7)

u	'	=	u '	;

			c
c

u	'	=	u 'v −uv '		(v ≠ 0) .	(7.1.8)
			v	2
v

Производные степенных итригонометрических функций.

Основные формулы:

(xα ) ' =αxα −1 ;							(7.1.9)
( x) ' =			1			;	(7.1.10)
( x) ' =					x	;	(7.1.10)
		2			x
1	'	= −	1			;	(7.1.11)

				x	2
x				x

194

								§ 7.1. ирУЛБ‚У‰М‡ﬂ ЩЫМНˆЛЛ
xx ' =1 ;								(7.1.12)
(sin x) ' = cosx ;								(7.1.13)
(cosx) ' = −sin x ;								(7.1.14)
(tgx) ' =			1		;			(7.1.15)
(tgx) ' =	cos2 x				;			(7.1.15)
	cos2 x
(ctg)'= −			1			;		(7.1.16)
(ctg)'= −		sin 2		x		;		(7.1.16)
		sin 2		x
(shx) ' = chx ;								(7.1.17)
(chx) ' = shx ;								(7.1.18)
(thx) ' =			1	;				(7.1.19)
(thx) ' =		ch2 x		;				(7.1.19)
		ch2 x
(cthx) ' = −			1				.	(7.1.20)
(cthx) ' = −			sh2 x				.	(7.1.20)
			sh2 x

Производная сложной функции.

Если у=f(z) и z=φ(x) — дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции y = f [ϕ(x)]

существует и равна произведению производной данной функции у по промежуточному аргументу z на производную промежуточного аргумента z по независимой переменной х:

yx ' = yz ' zx ' или	dy	=	dy	dz .	(7.1.21)
	dx		dz	dx

В частности, имеют место формулы:

(zα ) ' =αzα−1 z ' ; ( z ) ' =	1	z ' ;
	z
2

195

ЙО‡‚‡ VII. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛЛ У‰МУИ МВБ‡‚ЛТЛПУИ ФВрВПВММУИ

(sin z) ' = cosz z ' ;

(cos z) ' = −sin z z ' ;

(tgz) ' =

z ' ;

(ctgz) ' = −

z ';

cos2 z

sin2

(shz) ' = chz z '; (chz) ' = shz z ' ;

(thz) ' =

z ' ;

(cthz) ' = −

z ' .

ch2 z

sh2 z

Производные

показательных

логарифмических

функций.

Основные формулы:

(ax ) ' = ax ln a ;

(7.1.22)

(ex ) ' = ex ;

(7.1.23)

(loga x) ' =

loga e =

;

(7.1.24)

x ln a

(ln x) ' =

(7.1.25)

Если z = z(х) — дифференцируемая функция от х, то фор-

мулы примут вид:

(az ) ' = az ln a z ' ;

(7.1.26)

(ez ) ' = ez z ' ;

(7.1.27)

(loga z) ' =

z '

;

(7.1.28)

z ln a

(ln z) ' =

z '

(7.1.29)

196

§ 7.1. ирУЛБ‚У‰М‡ﬂ ЩЫМНˆЛЛ

Производные обратных тригонометрических функций.

Основные формулы:

(arc sin x) ' =

;

(7.1.30)

1− x2

(arccosx) ' = −

;

(7.1.31)

1− x2

(arctgx) ' =

;

(7.1.32)

+ x2

(arcctgx) ' = −

(7.1.33)

1+ x2

Для сложных функций:

(arc sin z) ' =

z '

;

(7.1.34)

1− z2

(arccosz) ' = −

z '

;

(7.1.35)

1− z2

(arctgz) ' =

z '

;

(7.1.36)

+ z2

(arcctgz) ' = −

z '

(7.1.37)

1+ z2

Производная неявной функции.

Функция у от аргумента х называется неявной, если она задана уравнением:

F(x, y) = 0,

(7.1.38)

не разрешенным относительно зависимой переменной.

197

ЙО‡‚‡ VII. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛЛ У‰МУИ МВБ‡‚ЛТЛПУИ ФВрВПВММУИ

Чтобы найти производную y ' от неявной функции, нужно

продифференцировать по х обе части уравнения (7.1.38), рассматривая у как функцию х. Из полученного уравнения находится искомая производная y ' .

Производные высших порядков.

Производной второго порядка или второй производной

функции у= f(x) называется производная от ее производной y ' = f '(x) и обозначается символами:

y '' = ( y ') ' , f '' =[ f '(x)]' , или d 2 y = dy ' . dx2 dx

Механический смысл второй производной. Если x=f(t) —

закон прямолинейного движения точки, то x '' = f ''(t) есть ус-

корение этого движения в данный момент времени t. Аналогично определяются и обозначаются производные

третьего, четвертого и других порядков:

y ''' = ( y '') ' =[ f ''(x)]' , y	IV	= ( y ''') ',..., y	(n)		(n−1)	' .
y ''' = ( y '') ' =[ f ''(x)]' , y		= ( y ''') ',..., y		= y		' .

Производная функции, заданной параметрически x = φ1(t); y = φ2(t),

находится по формуле:

yx ' =	yt	'	=	ϕ2	'(t)	,	(7.1.39)
	xt	'		ϕ1	'(t)

если ϕ1 '(t) ≠ 0.

Производная функции y= uv, где u, v — дифференцируемые функции от х, находится с помощью предварительного логарифмирования.

бДСДзаь

Найти производные функций:

1368. 1) y = 5x2 ; 2) y = 14 x4 − x3 + 32 x2 − x.

198

§ 7.1. ирУЛБ‚У‰М‡ﬂ ЩЫМНˆЛЛ

1369.

1) y =

; 2) y = ax5 +bx3 +cx + d.

1370.

1) y =

; 2) y =

−

2x2

3x3

5x5

1371.

1) y =

; 2) y =

−

1372.

1) y = 5 10x4 ; 2) y = 44 x3

−33 x2 + 2 x.

1373.

1) y =

; 2) y =

−

5x3

3 x

1374.

1) y = sin x −cosx ; 2) y = x +ctgx.

1375.

1) y = x sin x ; 2) y = sin x −cosx.

1376.

1) y = x2cosx ; 2) y = 5 + 4x − 4 sin xcosx.

1377.

1) y =

−

sin xcosx ; 2) y = 2xcosx +(x2 −2)sin x.

1378.

1) y =

; 2) y = sec x ; 3) y = cscx.

ctgx

1379.

1) y =

2 − x

; 2) y =

ax −b

2 + x

ax +b

1380.

1) y =

−2

; 2) y =

x2 −a2

x2 +1

x2 + a2

1381.

1) y =

; 2) y =

4x −5

1+ 2x2

2 −3x + 2

1382.

1) y =

x sin x + cosx

; 2) y =

x −cosx

x + cosx

1383.

1) s = at2 +bt + c ; 2) x = a sin t.

199

ЙО‡‚‡ VII. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛЛ У‰МУИ МВБ‡‚ЛТЛПУИ ФВрВПВММУИ

1384.	1) y = t −		1	; 2) y = v2 + 2v −3.
1384.	1) y = t −			; 2) y = v2 + 2v −3.
			t
1385.	1) x = by + c ; 2) x = y sin y + cosy									; 3) y =				sin t −tcost						.
1385.	1) x = by + c ; 2) x = y sin y + cosy									; 3) y =				t sin t + cost						.
														t sin t + cost
1386.	f (x) = x2 −5x +6. Найти f '(0),										f '(1) , f				'(4) ,			f '(−2).
1387.	r(ϕ) = sin ϕ + cosϕ.					Найти				r '(0), r '						π			−	π	,
1387.	r(ϕ) = sin ϕ + cosϕ.					Найти				r '(0), r '						, r '			−	2	,
																2				2
π
r '	.
4
1388.	s(t) = t3 −t2 + 4. Найти s '(0), s '(1) , s '(2) , s '(−2).
1389.	y = cos4x.				1390.	y = sin		x	.				1391. y = sin2 x.
1389.	y = cos4x.				1390.	y = sin		4	.				1391. y = sin2 x.
								4
1392.	y = cos3 x.				1393.	y = sin4 x +cos4 x.
1394.	y = (3x2 −5)3.				1395.	y =		1					.
1394.	y = (3x2 −5)3.				1395.	y =	(ax +b)2						.
							(ax +b)2
1396.	y =	x4 + 2x +3.				1397.		y = 3 (4x −5)2 .
1398.	y =	ax2 +b2 .				1399.		y =					b2 + ax.
1400.	y =(x2 +a2 )2.					1401.		y =(a2 −cx2 )3.
1402.	y =	2x +sin 4x.				1403.		y = 3 1+cos2 x.
1404.	y =	1			.	1405.		y =					1				.
1404.	y =	(1+sin 2x)3			.	1405.		y =				(x +cos3x)2					.
1406.	y = cos2 x.				1407.	y = ctgx +				2 ctg3 x +						1 ctg5 x.
										3						5
200

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 5020 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.2015178.79 Кб154Kopia_testy_dlya_farmy_studentam_s_otvetami.docx
#
20.11.2018110.59 Кб6Kosti_tulovishcha-449.doc
#
16.11.2019112.64 Кб10KP.doc
#
24.09.2019614.91 Кб6Kratky_konspekt_lektsy_pravo.doc
#
23.03.20161.05 Mб123Kretov1.pdf
#
23.03.20163.26 Mб118Kretov_vse.pdf
#
23.03.2016543.23 Кб145kuharenko_v_a_praktikum_po_stilistike_angliiskogo_yazyka.doc
#
25.08.2019126.74 Кб11Kultura_kontrolnaya_dopolnennoe.docx
#
22.09.2019416.92 Кб5Kumleva_T_Samaya_Sovremennaya_Fraze.docx
#
20.11.2019162.82 Кб4kursOS.doc
#
27.10.2018335.87 Кб15Kuznecov.doc