Kretov_vse

§ 2.4. лПВ¯‡ММУВ ФрУЛБ‚В‰ВМЛВ ‚ВНЪУрУ‚

444. Построить векторы a = i + j + 4 k , b i – 2 j и c = 3 i –

– 3 j + 4 k , показать, что они компланарны и найти линейную зависимость между ними.

445.Векторы a , b , c , образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что | a | = 4, | b |= 2, | c |= 3, вычислить a b c .

446.Вектор c перпендикулярен к векторам a и b , угол

между a и b равен 30º. Зная, что | a |= 6, | b |= 3, | c |= 3, вычислить a b c .

447.Доказать тождество ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = 2 a b c .

448.Доказать тождество a b ( c + λa + µ b ), где λ и µ — какие угодно числа.

449.Даны три вектора: a ={1; –1; 3}, b ={–2; 2; 1}, c ={3;

–2; 5}. Вычислить a b c .

450.Установить, компланарны ли векторы a , b , c , если:

452.Доказать, что четыре точки A1(3; 5; 1), A2(2; 4; 7), A3(1; 5; 3) и A4(4; 4; 5) лежат в одной плоскости.

453.Проверить, компланарны ли данные векторы:

а) a = {1; 2; –2}, b = {1; –2; 1}, c = {5; –2; 1}; б) a = j + k , b = j – k , c = i .

454. При каком значении λ векторы a = i + j + λk ,

b= {0; 1; 0} и c = {3; 0; 1} компланарны?

455.Вычислить ( a + b + c ) ( a – b – c ) ( a – b + c ).

456.Вычислить ( a – b ) ( b – c ) ( c – a ).

71

§2.4. лПВ¯‡ММУВ ФрУЛБ‚В‰ВМЛВ ‚ВНЪУрУ‚

469.Найти объем тетраэдра, построенного на векторах OA ,

OB и OC , если эти векторы направлены по биссектрисам координатных углов и длина каждого вектора равна 2.

470.Построить пирамиду с вершинами А(2; 0; 0), В(0; 3; 0), С(0; 0; 6) и D(2; 3; 8), вычислить ее объем и высоту, опущенную на грань АВС.

471.Вычислить объем тетраэдра, вершины которого нахо-

дятся в точках А(2; – 1; 1), В(5; 5; 4), С(3; 2; –1) и D(4; 1; 3).

472.Даны вершины тетраэдра: А(2; 3; 1), В(4; 1; –2), С(6; 3; 7), D(–5; –4; 8). Найти длинуего высоты, опущенной извершины D.

473.Объем тетраэдра V=5, три его вершины находятся в точках А(2; 1; –1), В(3; 0; 1), С(2; –1; 3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Oy.

474.Даны вершины пирамиды А (5; 1; – 4), В(1; 2; – 1), С(3; 3; – 4), S(2; 2; 2). Найти длину высоты, опущенной из вершины S на грань АВС.

475.Даны вершины пирамиды А(– 5; – 4; 8), В(2; 3; 1), С(4; 1; – 2), D(6; 3; 7). Найти длину высоты, опущенной на грань ВСD.

476.Дана пирамида с вершинами в точках А1(1; 2; 3), А2(–2; 4; 1), А3(7; 6; 3), А4(4; – 3; – 1). Найти: а) длину ребер А1А2,

А1А3, А1А4; б) площадь грани А1А2А3; в) угол между ребрами А1А4 и А1А3; г) объем пирамиды; д) длину высоты, опущенной

на грань А1А2А3.

73

É Î ‡ ‚ ‡ I I I

йлзйЗх газЦвзйв ДгЙЦЕкх

§ 3.1. гЛМВИМ˚В ФрУТЪр‡МТЪ‚‡ Л ФУ‰ФрУТЪр‡МТЪ‚‡

Определение 1. Множество L элементов любой природы называется линейным пространством, а его элементы векторами, если:

1) задана операция сложения, согласно которой любым двум элементам x и y из L соответствует элемент из L, назы-

ваемый их суммой и обозначаемый x + y ;

2) задана операция умножения на число, по которой каждому элементу x из L и числу ά соответствует элемент из L, называемый произведением x на ά и обозначаемый ά x ;

3) для любых x , y , z из L и любых чисел ά и β выпол-

нены следующие аксиомы:

а) x + y = y + x ;

б) ( x + y ) + z = x + ( y + z );

в) существует такой элемент 0 L, что x + 0 = x для любого x L;

г) для любого элемента x L существует элемент – x L

такой, что x + (– x ) = 0 ;

д) существует элемент 1 L такой, что 1 x = x ;

е) α( x + y ) = α x + α y ;

ж) (α+ β) x = α x + β x ; з) α(β x ) = (αβ) x .

Определение 2. Разностью двух векторов x и y линей-

ного пространства называется такой вектор z этого пространства, что y + z = x .

74

§ 3.1. гЛМВИМ˚В ФрУТЪр‡МТЪ‚‡ Л ФУ‰ФрУТЪр‡МcЪ‚‡

Разность обозначается через z = x – y .

В каждом линейном пространстве существует только один нуль-элемент, для каждого элемента линейного пространства существует только один противоположный элемент, для каждого элемента x L выполняется равенство 0 x = 0, для лю-

бого действительного числа λ и 0 L выполняется равенство

λ0 = 0 , из равенства α x = 0 следует одно из двух равенств: α= 0 или x = 0, элемент (– 1) x является противоположным для элемента x .

Определение 3. Вектор v = α x +β y + γ z + … + λu , где x , y , z , …, u L, α, β, γ, …, λ — действительные числа, назы-

выполняется лишь при α= β= γ= … = λ= 0. Если же равенство (3.1.1) может выполняться и в том случае, когда не все числа α, β, γ, …, λ равны нулю, то говорят, что векторы x , y , z , …,

u линейно зависимы.

Определение 5. Базисом линейного пространства L называется множество элементов, взятых в определенном порядке, если:

1)они линейно независимы;

2)любой элемент из L выражается через эти элементы. Определение 6. Количество элементов базиса называется

размерностью линейного пространства.

Определение 7. Коэффициенты разложения вектора линейного пространства по базисным векторам называется координатами вектора в данном базисе.

Пусть в n-мерном линейном пространстве Ln имеются два базиса: e1 , e2 , …, en (старый) и e1 ′, e2 ′, …, en ′ (новый). Формулы, выражающие векторы нового базиса через векторы старого базиса, имеют вид:

75

§ 3.1. гЛМВИМ˚В ФрУТЪр‡МТЪ‚‡ Л ФУ‰ФрУТЪр‡МcЪ‚‡

Если x , y , …,u — какие-нибудь векторы линейного пространства L, то векторы αx +β y +…+λu , где α, β, …, λ — дей-

ствительные числа, образуют подпространство пространства L. Определение 10. Множество всех линейных комбинаций векторов α x + β y + … + λu называется линейной оболочкой

векторов x , y ,…, u и обозначается через L( x , y ,…, u ).

Если L1 — подпространство линейного пространства L, то d(L1) ≤d(L), где d(L1), d(L) соответственно размерности пространства L1 и L.

Пусть в линейном пространстве L имеются два подпро-

странства L1 и L2.

Определение 11. Пересечением подпространств L1 и L2 называется множество L3, все члены одновременно принадлежащие L1 и L2. Обозначается: L3 = L1 ∩L2.

Определение 12. Суммой подпространств L1 и L2 называется множество L4 всех элементов вида x + y , где

x L1, а y L2.

Обозначается: L4 = L1 + L2.

Замечание 2. L3 и L4 являются подпространствами пространства L.

Замечание 3. d(E1) + d(E2) = d(E3) + d(E4).

Рассмотрим однородную линейную систему уравнений

Определение 13. Совокупность линейно независимых решений u1 , u2 , …, uk системы уравнений (3.1.5) называется

фундаментальной системой решений, если любое решение системы уравнений (3.1.5) может быть представлено в виде

линейной комбинации векторов u1 , u2 , …, uk .

77

§3.1. гЛМВИМ˚В ФрУТЪр‡МТЪ‚‡ Л ФУ‰ФрУТЪр‡МcЪ‚‡

485.Рассматривается линейное пространство многочленов

не выше второй степени. Доказать, что векторы p1 = 1 + 2t + 3t2, p2 = 2 + 3t + 4t2 и p3 = 3 + 5t + 7t2 линейно зависимы.

486.Доказать, что три некомпланарных вектора a , b и c линейно независимы.

487.Доказать, что любые четыре вектора a , b , c и d линейно зависимы.

488. Дан вектор x = e1 + e2 + e3 + e4 . Разложить этот вектор по новому базису e1 ′, e2 ′, e3 ′, e4 ′, если e1 ′= e2 + e3 + e4 , e2 ′= e1 +

+e3 + e4 , e3′= e1 + e2 + e4 , e4 ′= e1 + e2 + e3 .

489.Данвектор x =8 e1 +6 e2 +4 e3 –18 e4 . Разложитьэтотвек-

торпоновомубазису, связанномусостарымбазисомуравнениями e1 ′=–3 e1 + e2 + e3 + e4 , e2 ′=2 e1 –4 e2 + e3 + e4 , e3′= e1 +3 e2 –5 e3 +

+e4 , e4 ′= e1 + e2 + 4 e3 – 6 e4 .

490.Даны зависимости e1 =a e2 , e2 ′=b e3 , e3 ′=c e4 , e4 ′=d e5 , e5 ′= f e1 . Написать формулы, связывающие старые координа-

ты {ξ1; ξ2; ξ3; ξ4; ξ5} вектора x с новыми координатами {ξ1; ξ2; ξ3; ξ4; ξ5} этого же вектора.

491. Возможны ли зависимости e1 ′= e2 – e3 , e2 ′= e3 – e1 ,

e3 ′= e1 – e2 между старым базисом e1 , e2 , e3 и новым базисом

e1 ′, e2 ′, e3 ′?

492.Может ли подпространство линейного пространства L состоять из одного элемента?

493.Дано линейное пространство, состоящее из всех геометрических векторов. Является ли подпространством этого пространства множество векторов с началом в начале координат и расположенных в I октанте?

494.Дано линейное пространство L многочленов не выше пятой степени. Доказать, что множество L1 многочленов вида

a0t + a1 и множество L2 многочленов b0t4 + b1t2 + b2 являются

79