Kretov_vse

§5.4. ирflП‡fl Л ФОУТНУТЪ¸ ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В

842.Найти координаты точки пересечения прямой

x 2−1 = y 1+ 2 = z −1 2 с плоскостью 3x –y +2z+5 = 0.

843. Найти координаты проекции точки М(2; 2; – 2) на плоскость 3x –y +z–13 = 0.

лежит в плоскости 2x –y +Cz+D = 0?

846. Составить уравнение плоскости, проходящей через пря-

847.Найти уравнение плоскости, проходящей через ось Ох

иобразующей с плоскостью 2 x+y–z+2=0 угол, равный 45º.

848.Найти уравнение плоскости, проходящей через пря-

равный 3.

849. При каких значениях р и В прямая x 3−1 = y−+42 = z −p 3

перпендикулярнаплоскости6x+Вy–3z+1=0?

850. При каком значении А плоскость Аx – 2y +4z+5 =0 па-

y − z = 0,

раллельна прямой ?

x + y = 0

851. Каково уравнение прямой, проходящей через точку О(0; 0; 0) перпендикулярно к плоскости x +y +z+1 =0?

141

ЙО‡‚‡ V. ДМ‡ОЛЪЛ˜ВТН‡fl „ВУПВЪрЛfl ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В

на плоскость, заданную уравнением 2x – 3y +z– 4 =0.

§ 5.5. иУ‚ВрıМУТЪЛ ‚ЪУрУ„У ФУрfl‰Н‡

Если в евклидовом пространстве R3 ввести прямоугольную систему координат Oxyz, то каждая поверхность определяется некоторым уравнением

где (x; y; z) — координаты любой точки поверхности.

Если F(x; y; z) — многочлен не выше второй степени относительно совокупности переменных x; y; z, то уравнение F(x; y; z)=0 называется уравнением второго порядка, а поверхность, изображаемая этим уравнением, называется поверхностью второго порядка.

иУ‚ВрıМУТЪЛ ‚ЪУрУ„У ФУрfl‰Н‡ Л Лı Н‡МУМЛ˜ВТНЛВ Ыр‡‚МВМЛfl

142

§ 5.5. иУ‚ВрıМУТЪЛ ‚ЪУрУ„У ФУрfl‰Н‡

858.Составить уравнение сферы, проходящей через четы-

ре точки: A(1; – 2; – 1), B(4; 1; 11), C(– 8; –2; 2), D(– 5; 10; –1).

859.Составить уравнение сферы, проходящей через четы-

ре точки: O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), B(1; 1; 0), C(1; 0; –1).

860.Составить уравнение сферы, если:

а) точки A(3; – 2; 6) и B(5; 2; – 2) являются концами одного из ее диаметров;

б) имеет центр в точке М0(5; 0; 3) и проходит через точку А(4; 1; –1);

в) имеет центр в точке М0(2; 1; 3) и касается плоскости z=6; г) имеет центр в точке М0(5; 2; –1) и касается плоскости

2x –y +3z+23 =0;

д) она симметрична сфере (x −1)2 +( y −3)2 +(z + 4)2 = 46

относительно плоскости 3x + y – 2z = 0;

е) она проходит через точки A(1; – 6; – 2), B(4; – 3; 2),

ипрямой x4 = −y3 = z +4 2 .

862.При каких значениях параметра p плоскость 2x–2y–z=p касается сферы x2 +y2 +z2 =81?

863.Установить, при каких m плоскость y +mz =1 пересекает двуполостный гиперболоид x2 +y2 – z2 =– 1:

а) по эллипсу; б) по гиперболе.

864.Установить, при каких m плоскость my +z=2 пересе-

а) по эллипсу; б) по параболе.

865. Установить тип заданных поверхностей и построитьих:

145

§ 5.5. иУ‚ВрıМУТЪЛ ‚ЪУрУ„У ФУрfl‰Н‡

из его касательных плоскостей: 10x –2y – z–21 =0. Найти уравнения каждой из тех двух прямых, по которой плоскость касается с параболоидом.

871. Доказать, что плоскость 4x – 5y –10z–20 =0 пересекает

нейным образующим. Составить уравнения этих образующих.

147

É Î ‡ ‚ ‡ V I

ЗЗЦСЦзаЦ З еДнЦеДнауЦлдав ДзДгаб

§ 6.1. îÛÌ͈ËË Ë Ëı „ð‡ÙËÍË

Пусть имеется два множества X и Y.

Определение 1. Функцией f множества X в множество Y называется закон, по которому каждому элементу x X ставится в соответствие один или много элементов y Y.

Если каждому элементу x X ставится в соответствие лишь один элемент y Y, то функция f называется однозначной, при этом пишут y = f(x). Переменная х при этом называется независимой переменной (или аргументом), а переменная у — зависимой.

Множество Х называется областью определения данной функции и обозначается D(f), а множество всех чисел у, соответствующих различным числам x X, — областью значений этой функции и обозначается Е(f).

Пусть задана прямоугольная система координат Оху и функция y = f(x).

Определение 2. Графиком функции f(x) называется множество всех точек плоскости с координатами (х; f(x)), где х D(f).

График функции y = f(x) можно построить с помощью сдвигов и растяжений:

1)график функции y = f(x) + а получается из графика функции y = f(x) сдвигом вдоль оси Оу на |a| единиц (вверх, если

а> 0, и вниз, если a < 0);

2)график функции y = f(x – b) получается из графика функции y = f(x) сдвигом вдоль оси Ох на |b| единиц (вправо, если b > 0, и влево, если b < 0);

3)график функции y = kf(x) получается из графика функции y = f(x) растяжением вдоль оси Оу в k раз;

148

§ 6.1. îÛÌ͈ËË Ë Ëı „ð‡ÙËÍË

4)график функции y = f(mx) получается из графика функции y = f(x) сжатием по оси Ох в m раз;

5)график функции y = – f(x) получается из графика функции y = f(x) симметричным отражением относительно оси Ох;

6)график функции y = f(– x) получается из графика функции y = f(x) симметричным отражением относительно оси Оу.

Определение 3. Функция f называется четной, если множе-

ство D(f) симметрично относительно нуля и для любого

х D(f) имеет место f(– x) = f(x).

График четной функции симметричен относительно оси Оу. Определение 4. Функция f называется нечетной, если множество D(f) симметрично относительно нуля и для любого

х D(f) имеет место f(– x) = – f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.

Определение 5. Функция f называется периодической, если существует такое число Т ≠ 0, что для любого х D(f) выполня-

ютсяусловия: а) х–Т D(f), х+Т D(f); б) f(x–Т)=f(x+Т)=f(x).

Под периодом функции обычно понимают наименьший из ее положительных периодов.

Определение 6. Пусть область значений функции y = f(x) содержится в области определения функции d(y). Тогда функция z = d(f(x)), х D(f) называется сложной функцией.

Определение 7. Функция f называется неубывающей (невозрастающей) на множестве Х D(f), если для любых значений х1, х2 Х таких, что х1 < х2, справедливо неравенство f(x1) ≤ f(x2) (соответственно, f(x1) ≥ f(x2)).

Функция f называется монотонной, если она невозрастающая или неубывающая.

Определение 8. Функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве Х D(f), если для любых значений х1, х2 Х таких, что х1 < х2, справедливо неравенство f(x1) < f(x2) (соответственно, f(x1) > f(x2)).

Функция называется строго монотонной, если она возрастающая или убывающая.

149