Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4614 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Балтийский федеральный университет им. И.Канта
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Kretov_vse

.pdf
Скачиваний:
118
Добавлен:
23.03.2016
Размер:
3.26 Mб
Скачать
☆

§ 6.1. îÛÌ͈ËË Ë Ëı „ð‡ÙËÍË

2) гиперболический косинус у = ch x, где

ch x = ex + e−x ;

2

3) гиперболический тангенс у = th x, где

th x =

sh x

=

ex − e−x

;

ch x

ex + e−x

 

 

 

4) гиперболический котангенс у = cth x, где

cth x =

ch x

=

ex + e−x

.

sh x

ex −e−x

 

 

 

бДСДзаь

(6.1.4)

(6.1.5)

(6.1.6)

Найти области определения функций, заданных следующими формулами:

872. у = 3х + 2;

873. у = х3 + 5х + 6; 874. у =

3x −1

;

5x −6

875. у =

x − 2 + 2 − x ;

876. у =

3x −1 +

 

1

 

;

 

5 − x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

877. у =

2 −3x + lg x;

878. y =

x2 −5x +6

;

 

 

879. y =

1

 

;

880. y =

4 − x

2

;

881. y = sin 3x;

 

 

x2 −

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

882. y = x + cos 2x;

883. y = tg x;

 

 

884. y = ctg

x

;

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

885. y = arc sin x;

886. y=arccos(x+2);

887. y =arc tg (2x +1);

888. y=log2log3log4x;

889. y = log2 (– x);

 

890. y = log1/3 | x | ;

 

891. y = log5 (2x – 1);

892. y = log7 (4x – x2); 893. y =

 

 

1

 

;

log5

(1−

3x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

151

ЙО‡‚‡ VI. З‚В‰ВМЛВ ‚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ‡М‡ОЛБ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x−3

;

896. y = arc sin

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

894. y = 3

x

;

 

 

 

 

 

 

895. y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x +3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

897. y =

 

 

 

 

sin x

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 −5x + 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

898.

f (x) = x

2

+ x −2, найти f

(0),

f

(1),

f (– 2), f

1

 

,

 

 

 

 

 

 

f (– x),

f

 

(x + 1),

 

f (x + ∆x);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

899. f (x) = arc cos(lg x), найти

f

 

 

,

 

f (1), f (10).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Указать, какие из данных функций четные и какиенечетные:

 

900. y = cos x + x sin x;

901. y = x 2−x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

903. y =

2x sin2 x −3x3 ;

 

 

 

 

 

 

 

902. y = (x −2)

3

+(x −2)

3

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

−3

x

;

 

 

 

905. y =

x

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

904. y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

906. y = 5log2 (x +1) ;

907. y = x 4−x2

;

 

 

 

 

 

 

 

908. y = log2

2 − x

;

 

 

909. y =

3x

+3−x ;

 

 

 

 

 

 

 

2 + x

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−3−x

 

 

 

 

 

 

 

910. y = 5−x 2 ;

 

 

 

 

 

 

911. y = x2 − x ;

 

912. y = x3 + x2 .

 

 

 

 

913. Пусть f(x) — некоторая функция,

 

определенная

на

всей оси ОХ. Показать, что функция ϕ(x) = f (x) + f (−x) четна, а функция ψ (x) = f (x) − f (−x) нечетна.

Найти наименьший период каждой из следующих функций:

914. y = sin 4x ;

915. y = tg

x

;

916. y = sin x +cos2x ;

2

 

 

 

 

152

 

 

 

 

§ 6.1. îÛÌ͈ËË Ë Ëı „ð‡ÙËÍË

917. y = cos2 3x ; 918. y = sin 3x +sin 2x ; 919. y = | sin x | ;

920. y = sin(3x +1) ; 921. y = sin4 x + cos4 x ;

922. y = sin2

x

;

 

 

3

 

923. y = cos 2x .

Найти промежутки, где функции монотонны (строго монотонны):

924. y = 2x −4 ;

925. y = x2 ;

926. y = x2 + 2x +5 ;

927. y = 2x ;

928. y = x3 ;

929. y =| x | ;

930. y =| x | −x ;

931. y = sin x ;

932. y = arcsin x ;

933. y = arctgx ;

934. y = E(x) ;

935. y = arc sin(sin x) .

Следующие функции исследовать на четность:

936. y = x6 − 2x4 + 4 ; 937. y = x4 − 2 ;

938. y = x5 − x ;

939. y = 2x3 +3 ;

940. y = 2x ;

941. y = sin x ;

942. y = sin(x −1) ;

943. y = sin 2x ;

944. y = cos(x +1) ;

945. y = cos5x ;

946. y = x3 − 2 ;

947. y = x +sin x ;

948. y = 1− x2 ;

949. y = tg(x − 2) .

 

950. Показать, что функция y = loga (x + x2 +1) нечетная.

Каждую из нижеследующих функций представить в виде суммы четной и нечетной функций:

951. y = x4 + 2x3 + x2 − 4 ;

952. y = sin x + cosx −tgx ;

953. y = (1+ x)6 ;

954. y = sin x + x3 + x −1;

955. y = sin(x +α) .

 

 

153

ЙО‡‚‡ VI. З‚В‰ВМЛВ ‚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ‡М‡ОЛБ

956. Доказать, что произведение (сумма) двух четных функций есть четная функция; произведение (сумма) двух нечетных функций — четная (нечетная) функция; произведение четной и нечетной функции — нечетная функция.

Какие из нижеследующих функций будут периодическими. Для периодических функций указать период.

957. y = sin2 x ;

 

958. y = sin x2 ;

959. y = xcosx ;

960. y = cos2x ;

 

961. y = sinπx ;

962. y = sin

1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

963. y =1+ cos

π

x ;

964. y = 4;

965. y = sin(x +1) ;

 

 

 

2

 

 

 

 

 

966. y = cos(x − 2) ;

967. y = E(x);

968. y ={x} = x − E(x) ;

x

 

 

 

 

 

 

969. y =

 

(a

> 0) ;

970. y = arc sin(sin x) ;

 

a

 

 

 

 

 

 

971. y = arc tg(tg x) .

972. Доказать, что функция Дирихле χ(x) = 1 для х — рационального,

0 для х — иррационального числа

имеет своим периодом любое рациональное число r, r ≠ 0 . 973. Привести пример функции с периодом:

а) 12 ; б) 2; в) 5; г) a > 0 .

§ 6.2. иУТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУТЪЛ Л Лı Т‚УИТЪ‚‡

Определение 1. Числовая последовательность — функция натурального аргумента. Числовую последовательность при-

нято обозначать {xn}, где n N.

Определение 2. Числа х1, х2, …, xn,… называются членами последовательности, xn — общий член последовательности.

154

§ 6.2. иУТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУТЪЛ Л Лı Т‚УИТЪ‚‡

Определение 3. Формулы, позволяющие выразить n-й член последовательности через предыдущие члены, называются рекуррентными.

Определение 4. Последовательность, все члены которой равны одному и тому же числу, называется постоянной.

Определение 5. Пусть {xn} и {yn} — две произвольные последовательности. Суммой, разностью и произведением по-

следовательностей

{xn} , {yn}

называются

соответственно

последовательности

{xn + yn} ,

{xn − yn} ,

{xn yn}. Если

yn ≠ 0, n N, то частным от деления последовательностей

 

 

 

 

{xn } на {yn }

называется последовательность

 

xn

 

. Произ-

 

 

yn

 

ведением последовательности {xn } на число с называется последовательность {c xn } .

Определение 6. Последовательность {xn } называется неубывающей (невозрастающей), если для любого n, xn ≤ xn+1 (соответственно xn ≥ xn+1 ), n = 1,2,….

Невозрастающие и неубывающие последовательности объединяются общим термином — «монотонные последовательности».

Определение 7. Последовательность {xn } называется возрастающей (убывающей), если для любого n, xn < xn+1 (соответственно xn > xn+1 ), n = 1,2,….

Возрастающие и убывающие последовательности объединяются общим названием — «строго монотонные последовательности».

Определение 8. Последовательность {xn } называется ограниченной сверху (ограниченной снизу), если существует такое

155

ЙО‡‚‡ VI. З‚В‰ВМЛВ ‚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ‡М‡ОЛБ

число М, что все члены последовательности меньше (соответственно больше), чем М.

Определение 9. Последовательность, ограниченная сверху и снизу одновременно, называется ограниченной.

Определение 9 равносильно следующему: последовательность {xn } ограничена, если существует такое число М> 0,

что для всех n справедливо неравенство | xn | < M . Определение 10. Последовательность {xn } называется не-

ограниченной, если для любого M > 0 найдется такой ее член xn , что | xn | > M .

бДСДзаь

974. Написать первые пять членов последовательностей, общий член которых имеет следующий вид:

а) an =

(−1)n +1

;

 

б) an =

n!

;

 

 

 

n2

 

nn +1

 

 

 

в) an =

1 3 5...(2n −1)

;

 

 

 

n(n+1)

2

 

 

 

 

 

г) an = (−1)

2

(n

+1) ;

 

2 4 6...2n

 

 

 

 

 

 

д) an = sin

nπ

;

 

 

е) an

= cos

nπ

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

ж) an = n sin nπ

+ n2cos nπ .

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

975. По заданным первым числам последовательностей подобрать одну из формул общего члена:

а)

 

1

 

, 3

,

5

 

,

7

,

9

 

, …;

2

2

2

4

4

2

 

2

 

 

 

 

б)

 

 

1 2,

 

2 3,

 

 

 

3 4,

 

4 5, …;

в)

 

1

,

 

1

,

1

,

1

 

 

, …;

 

 

 

21

31

41

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

156

§ 6.2. иУТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУТЪЛ Л Лı Т‚УИТЪ‚‡

г)

 

 

 

 

3

 

 

 

, −

 

 

5

 

 

,

 

 

7

 

 

 

, −

 

 

9

 

, …;

2

2

 

2

 

3

2

2

4

2

 

 

5

2

 

5

2

6

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

6 2

 

9

3

 

 

 

12 4

 

 

 

 

 

д)

 

 

 

 

, −

 

 

,

 

 

 

 

 

,

 

−

 

 

 

 

, …;

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

10

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1 2

1

 

 

3

 

 

 

 

 

1

 

 

4

е)

 

 

 

,

−

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

, −

 

 

 

 

 

 

, …;

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2 1 2

3

 

 

1 2 3 4

ж)

2

,

2 4

, 2 4 6 ,

2 4 6 8 , …;

 

 

 

 

 

1 1 3 1 3 5 1 3 5 7

 

 

 

 

 

 

976. Доказать, что последовательности, общий член кото-

рых имеет указанный ниже вид, монотонно возрастают:

а) an

= n3 + 2n

;

 

 

б) a =

 

n2

 

;

 

 

 

 

 

 

n2 +

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

1

 

в) a

 

=

n

4

+3n

2

+1

;

г) an =

3 − arc sin

 

;

 

 

 

n

 

 

 

 

n4 +3n2 +6

n2

+ 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

д) an

 

 

 

 

n

4

 

 

 

 

 

 

 

1+

1

n

 

= lg

 

 

 

 

+1 ;

 

е) a

 

=

.

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

 

+8

 

 

 

 

n

 

 

 

 

977. Найти наибольшие члены последовательностей,

имеющих общий член an , если:

 

 

 

 

 

 

а) a

=

 

 

 

n

 

 

 

;

б) an =

(

39 )n

 

в) a = sin nπ ;

n3

+1000

 

n

 

 

 

 

n!

 

;

 

 

 

n

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) an

=

 

π2n

 

;

 

д) an =

(

126 )n

.

 

 

 

 

 

(2n +

1)!

 

 

(2n)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

978. Обозначим через an

 

сторону правильного n-угольни-

ка, вписанного в окружность радиуса R,

через

pn его пери-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

157

ЙО‡‚‡ VI. З‚В‰ВМЛВ ‚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ‡М‡ОЛБ

метр, через sn площадь. Через bn , Pn , Sn обозначим соответст-

вующие величины для правильного описанного n-угольника. Какие из нижеследующих последовательностей монотонно возрастают, а какие монотонно убывают?

а) a4 , a8 , a16 ,..., a2n+1 ,... ;

б) b3 , b6 , b12 , …, b3 2n−1 , …; в) p5 , p15 , p45 , …, p5 3n−1 , …;

г) P7 , P35 , P175 , …, P7 5n−1 , …;

д) s3 , s9 , s27 , …, s3n , …;

е) S4 , S20 , S100 , …, S4 5n−1 , …

979.Обозначим через hn длину апофемы правильного впи-

санного п-угольника. Доказать, что последовательность {h3 6n−1 } монотонно возрастает.

980.Обозначим через Rn расстояние от центра окружности

до вершины правильного описанного п-угольника. Доказать, что последовательность {R5 8n−1 } монотонно убывает.

981. Ниже приведены некоторые последовательности и свойства Р. Определить, в каких случаях эти свойства имеют место почти для всех членов последовательности, в каких они выполняются лишь для конечного числа членов, а когда и данное свойство и обратное ему верны для бесконечного числа членов последовательности:

а) an = n(n +1); Р — свойство быть четным числом;

б) an = n +3; Р — свойство быть точным квадратом;

в) an = pn , где pn обозначает п-е простое число; Р — свойство быть нечетным;

г) an = pn ; Р — свойство an < n;

158

§ 6.2. иУТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУТЪЛ Л Лı Т‚УИТЪ‚‡

д) an =1+ 5n ; Р — свойство an < 2; е) an =1+ (−n1)n ; Р — свойство an <1;

ж) an = 1000n 1+ (−1)n ; Р — свойство | an |<1;

з) an = 1n ; Р — свойство an < 0, 000001;

и) an = (−n1)n ; Р — свойство an < 0, 000001;

к) an = nn +−11; Р — свойство 1 − an < 0, 001;

л) a

=

n −(−1)n

; Р — свойство

 

1 − a

 

 

< 0, 0001.

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n +(−1)n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

982. Последовательность {an} задается рекуррентным со-

отношением an+1 = 3an −2an−1, п = 2,3,… Выразить an через a1, a2 , и п.

983.Найти формулу общего члена рекуррентной последовательности {an}, если an = 3an−1 +1, и а1 = 2.

984.Доказать, что последовательность {an}, заданная ре-

куррентным соотношением an+1 = 2 + a2n , a1 > 2, монотонно

2an

убывает и ограничена снизу.

985. Пусть an+1 −2an + an−1 =1. Выразить ап через а1, а2 и п.

159

ЙО‡‚‡ VI. З‚В‰ВМЛВ ‚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ‡М‡ОЛБ

 

 

 

 

 

 

x

 

= x

 

 

+ 2 y

 

 

sin2 α,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

986. Пусть

 

n

 

n−1

 

 

n−1

 

2

 

и х1

= 0, у1 = cos α. Най-

 

 

 

 

 

 

y

n

= y

n−1

+ 2x

 

 

cos α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ти выражение для хп и уп через п и α.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

987. Пусть

xn

=αxn−1 + β yn−1,

(αδ − βγ ≠ 0).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

n

= γ x

−1

+δ y

n

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти выражение для хп и уп через х1, у1, и п.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

988. Пусть x

 

=

αxn−1 + β

. Найти выражение хп через х1 и п.

 

 

 

 

 

 

n

 

γ x

−1

+δ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

2anbn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

989. Пусть a

 

 

=

an +bn

,

 

b

=

, причем a1 > b1 > 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n+1

 

 

 

2

 

 

 

n+1

 

an +bn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выразить an и bn через a1, b1 и n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

x

 

y

 

 

=

x

+

 

 

 

990. Пусть 0 < x < 1. Положим

=

 

 

,

2

 

1

,

…,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

y2n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yn

=

x

+

 

, … Доказать, что последовательность {yn}

мо-

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нотонно возрастает и ограничена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

991. Пусть a0 и b0 — данные положительные числа, a0 > b0

и

пусть

последовательности

 

a0 , a1,..., an ,...,

 

задаются

сле-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b , b ,..., b ,....

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

an−1 +bn−1

 

дующими рекуррентными соотношениями:

 

an =

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

bn

= an−1bn−1 .

Доказать,

что последовательность

{an} моно-

тонноубывает, апоследовательность {bn }

монотонновозрастает.

§ 6.3. ирВ‰ВО ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУТЪЛ

Определение 1. Число а называется пределом последовательности {xn} , если для любого числа ε > 0 существует та-

160

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности