Kretov_vse

§ 1.2. лЛТЪВП˚ ОЛМВИМ˚ı Ыр‡‚МВМЛИ

2x1 − x2 + 3x3 + 2x4 = 4,

216.3x1 + 3x2 + 3x3 + 2x4 = 6,3x1 − x2 − x3 + 2x4 = 6,3x1 − x2 + 3 x3 − x4 = 6.

x1 + x2 + x3 + x4 = 0,

217.x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0,x1 + 3x2 + 6x3 +10x4 = 0,

x1 + 4x2 +10 x3 + 20x4 = 0.

41

§ 1.2. лЛТЪВП˚ ОЛМВИМ˚ı Ыр‡‚МВМЛИ

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7,

228.3x1 + 2x2 + x3 + x4 −3x5 = −2,x2 + 2x3 + 2 x4 + 6x5 = 23,5x1 + 4x2 + 3 x3 + 3x4 − x5 =12.

x1 − 2 x2 + x3 − x4 + x5 = 0,

229.2x1 + x2 − x3 + 2x4 −3x5 = 0,3x1 − 2x2 − x3 + x4 − 2x5 = 0,2x1 −5x2 + x3 − 2x4 + 2x5 = 0.

x1 − 2 x2 + x3 + x4 − x5 = 0,

230.2x1 + x2 − x3 − x4 + x5 = 0,x1 + 7x2 −5x3 −5 x4 + 5x5 = 0,3x1 − x2 − 2 x3 + x4 − x5 = 0.

2x1 + x2 − x3 − x4 + x5 =1,

231. x1 − x2 + x3 + x4 − 2x5 = 0,

3x1 + 3x2 −3x3 −3 x4 + 4x5 = 2,4x1 + 5x2 −5 x3 −5x4 + 7x5 = 3.

2x1 − 2 x2 + x3 − x4 + x5 =1,

232. x1 + 2x2 − x3 + x4 − 2x5 =1,

4x1 −10x2 + 5x3 −5 x4 + 7x5 =1,

2x1 −14x2 + 7 x3 − 75x4 +11x5 = −1.

3x1 + x2 − 2 x3 + x4 − x5 =1,

233. 2x1 − x2 + 7x3 −3x4 + 5x5 = 2,x1 + 3x2 − 2x3 + 5x4 − 7x5 = 3,

3x1 − 2x2 + 7 x3 −5x4 +8x5 =3.

43

É Î ‡ ‚ ‡ I I

щгЦеЦзнх ЗЦднйкзйв ДгЙЦЕкх

§ 2.1. ЗВНЪУр˚. гЛМВИМ˚В УФВр‡ˆЛЛ М‡‰ МЛПЛ. к‡БОУКВМЛВ ‚ВНЪУрУ‚

Определение 1. Вектором называется направленный отрезок. Вектор с началом в точке А и концом в точке В обознача-

ется символом AB (или одной буквой a , b , …). Длина отрезка АВ называется длиной, или модулем вектора AB , a и

обозначается | AB |, | a |.

Определение 2. Вектор, длина которого равна нулю, назы-

вается нулевым вектором и обозначается 0 .

Определение 3. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через ē.

Определение 4. Вектор, точка приложения которого может быть выбрана произвольно, называется свободным.

Определение 5. Векторы a и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных

прямых. Записывают a || b .

Определение 6. Три (и более) вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Определение 7. Два коллинеарных вектора a и b называ-

ются равными ( a = b ), если они сонаправлены и имеют равные длины

Определение 8. Два ненулевых вектора называются противоположными, если они имеют одинаковую длину и противоположные направления.

47

§ 2.1. ЗВНЪУр˚. гЛМВИМ˚В УФВр‡ˆЛЛ М‡‰ МЛПЛ. к‡БОУКВМЛВ ‚ВНЪУрУ‚

таточно, чтобы один из них линейно выражался через другой,

то есть существовало бы такое число λ≠0, чтобы b = λa .

Признак компланарности векторов: для того чтобы три

ненулевых вектора a , b , c были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы один из них являлся линейной комбина-

цией других, например c = λ1 a + λ2 b (λ1, λ2 — числа не равные нулю одновременно).

Определение 13. Осью называется всякая прямая и, на которой указано направление.

Определение 14. Проекцией точки М на ось и называется основание М1 перпендикуляра, опущенного из точки М на данную ось.

Определение 15. Проекцией вектора AB на ось и называ-

ется вектор A1 B1 , где А1 и В1 соответственно проекции точек

А и В на эту ось. Обозначение: A1 B1 = при AB .

Определение 16. Числовой проекцией вектора AB на ось и

называется произведение длины вектора AB на косинус уг-

ла α между вектором AB и направлением оси и. Обозначение:

где ē — единичный вектор, дающий направление оси и. Свойства числовых проекций векторов:

Пусть i , j , k — орты координатных осей прямоугольной системы координат Оxyz.

49