Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский федеральный университет им. И.Канта

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kretov_vse

.pdf

Скачиваний:

118

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

3.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 5018 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

§ 6.4. èðÂ‰ÂÎ ÙÛÌÍˆËË

Если	β(x) β1 (x) ,		х→а и существуют пределы
limα(x) β(x) и lim		α(x)	, то
x→a	x→a	β(x)

limα(x) β(x) = limα(x) β1 (x),
x→a				x→a					(6.4.3)
lim	α(x)			= lim		α(x)		.

	β(x)
x→a				x→a		β	(x)
					1
Первый замечательный предел:
lim			sin(α(x))				=1.		(6.4.4)

α ( x)→0			α(x)
Второй замечательный предел:
				1	A( x)
lim		1+					= e.		(6.4.5)
				A(x)
A( x)→∞
Следствия из второго замечательного предела:
lim		ln(1+α(x)) =1,							(6.4.6)
α ( x)→0 α(x)
	lim		eα( x) −1 =1.						(6.4.7)
α ( x)→0				α(x)

бДСДзаь

1058. f(x) = 2x – 1. Доказать, что lim f (x) = 3. Каково долж-
		x→2
но быть δ , чтобы для 0 < \|x–2\| < δ		имело место \|f(x) – 3\| < 0,01?
1059. ϕ(x) = 3x – 5.	Доказать,	что limϕ(x) = 4.	Каково
		x→3
должно быть δ > 0,	чтобы для	0< \|x – 3\| < δ имело	место
\|ϕ(x) – 4\| < 0,001?
			171

ЙО‡‚‡ VI. З‚В‰ВМЛВ ‚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ‡М‡ОЛБ

1060. ϕ(x) =

−1

. Доказать,

что limϕ(x) =

Каково

x→2

должно

быть

δ ,

чтобы

для

0 < |x – 2| < δ

имело

место

|ϕ(x) −

| < 0,001?

2x при −2 < x <1,

1061. Найти предел функции

при x =1,

f (x) = 1

2x при 1<x<3

в точках x =

; x =1; x =1,001.

1062. Найти

предел функции

при x

≠ 0,

ϕ(x) = x

при x = 0

точках x = −1;

x = −0,001;

x = 0;

x = −0,01.

1063. Существует ли предел функции

f (x) =

3x при

−1 < x ≤1,

вточках x =

;

x =1; x =1,1?

1 < x ≤ 3

2x при

1064. Существует ли предел функции

3x при−1 < x <1,

при

x =1,

в точках x = 0; x =1?

a) f (x) = 2

при

1 < x < 2

при −1 < x < 2,

в точках x = 1; x = 2; x = 3?

б) ϕ(x) =

−3 при 2<x ≤ 4

Можно ли говорить о пределах следующих функций в указанных точках?

1065. ϕ(x) = x! в точках x = 2; x = 0; x = −3.

172

§ 6.4. èðÂ‰ÂÎ ÙÛÌÍˆËË

1066. f (x) = E(x) − x + x в точках x = 2; x = −2; x = 0.
1067. Существуют ли пределы функций:
			1
а) f (x) =	x	;	б) ϕ(x) =	sin x	; в)ψ (x) =	x	в точке х= 0?
						\| x \|
	x		1
				sin x

1068. Доказать, что:

а) lim sin x =1;

б)

lim cosx =1;

x→0

x→

в) lim sin x = sin a;

г)

lim cosx = cosa;

x→a

Найти пределы:

1069.

lim

2(x

+3) −

1070. lim x

−5x

+ 2

− 2

x→4

x→1

1071.

lim

2(sin x −cosx) − x2 .

1072. lim cosx + 4tgx .

x→π

x→0

2 − x −2x4

1073.

lim

3x3 + 2x2 − x

1074. lim

t(t −1)

2(t2 −1)

x→0

t→1

1075.

lim

x2 −25

1076. lim

x2 −5x +6

x −

x2 −12x + 20

x→5

x→2

1077.

lim

2x2

+5x −7

1078. lim

2x3 −2x

2 + x −1

− x −2

x3 − x2 +3x −3

x→−2 3x2

x→1

1079.

lim

2x3 + 2x2 +3x +3

1080. lim

(x + h)3 − x3

+ x2 + x +1

x→−1 x3

h→0

1081.

lim

ym −1

(m — натуральное число)

y −1

y→1

173

ЙО‡‚‡ VI. З‚В‰ВМЛВ ‚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ‡М‡ОЛБ

1082.	lim	x2 −			x	.
1082.	lim	x −		1		.
	x→0	x −		1
	x→0
1084.	lim	x +1 −(x +1)							.
1084.	lim								.
	x→0		x +1 −1
	x→0
1086.	lim	sin 2x		.
1086.	lim			.
	x→0	x
1088.	lim	sin(1+ x)					.
1088.	lim						.
	x→0	1+ x
1090.	lim	sin2 x		.
1090.	lim	x		.
	x→0	x	x
		sin3	x
1092.	lim	sin3	4		.
			4
		x3
	x→0	x3
1094.	lim cos3x −cosx .
	x→0	cosx −1
1096.	lim	1− 2cosx						.
1096.	lim					π		.
	x→π					π
	3	sin x −				3
						3

1083.	lim	5 − x −2					.

	x→1	2 − x −1

1085.	lim	x		.
		sin x
	x→0
1087.	lim	x			.
		sin 3x
	x→0
1089.	lim	sin mx				.

	x→0	sin nx
1091.	lim	tgx	.

	x→0	x

1093. lim 1−cosx .

x→0 5x

1095. lim cos3x −1. x→0 xtg2x

1097. lim 2n sin x .

n→∞ 2n

1098. lim(1− x)tg	π x .	1099. lim tgx −sin x .
x→1	2	x→0	x3

	cos	x	−sin	x			2cosx −1
1100. lim	cos	2	−sin	2	.	1101. lim	2cosx −1	.
x→π		cosx				x→π	1−tg2 x
2						4

x +1 при 0 < x <1,

1102. Доказать, что функция f (x) =

3x + 2 при1 < x < 3

имеет в точке х= 1 правый предел, равный 5, и левый предел, равный 2.

174

при x < 0,

§ 6.4. èðÂ‰ÂÎ ÙÛÌÍˆËË

x2 при −1 < x < 2,

1103. Доказать, что функция ϕ(x) =

2x +1 при 2 ≤ x < 3

имеет в точке х= 2 правый предел, равный 5, и левый предел, равный 4.

1104.

Найти правый и левый пределы функции у= Е(х) в

точках: х= – 2; – 1; 0; 1; 2.

y ={x}

1105.

Найти правый и левый пределы функции

точках: х= 0; + 1; + 2; + 3.

1106.

Найти правый и левый пределы функции

f (x) =

ϕ(x) =

| x | в точке х = 0.

1107.

Найти

правый

левый

пределы

функции

f (x) =

x3 −1

в точке х = 1.

x −1

1108.

Найти

правый

левый

пределы

функции

f (t) =

в точке t = 0.

| sin t |

1109.

Найти правый и левый пределы функции

−

f (x) =

x −1

0 при x = 0, в точках х = 0; х = 1. x при 0<x<1,

2 при 1 ≤ x ≤ 2

175

ЙО‡‚‡ VI. З‚В‰ВМЛВ ‚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ‡М‡ОЛБ

1110. Найти левый предел функции

x sin		1	при −∞< x<0,
		x	в точке х = 0. Существует
f (x) =		1
	sin		при 0< x < −∞
		x

ли правый предел этой функции в точке х = 0?

1111. Доказать, что функция y(x) = cos 2xπ не имеет в точке x = 0 как правого, так и левого предела.

Найти следующие пределы:

		x	b
1112. lim			E	.

x→∞+ a			x
	x		b
1114. lim			E	.

x→0− a			x

	b	x
1113. lim		E	.

x→0+ x		a
	b	x
1115. lim		E	.

x→0− x		a

Следующие примеры решить, руководствуясь одним определением предела функции на бесконечности.

1116. f (x) =	x −1	.	Доказать, что lim f (x) =1. Каково

	x + 2		x→∞

должно быть N>0, чтобы для |x|>N имело место |f(x)–1|<0,001?

1117. ϕ(x) =

x − 2

Доказать, что

lim

ϕ(x) =

Каково

x→∞

должно

быть

N > 0,

чтобы для

|x| > N

имело

место

ϕ(x) − 1

< 0,001?

1118. ψ (x) =

x2 +1 − x. Доказать, что

lim ψ (x) = 0. Ка-

x→+∞

ково должно быть N > 0, чтобы для x > N

имело

место

ψ (x) −0

< 0,001?

176

§ 6.4. èðÂ‰ÂÎ ÙÛÌÍˆËË

1119.

ϕ(x) =

sin x

Доказать,

что

limϕ(x) = 0.

Каково

x→∞

должно

быть N > 0,

чтобы для

|x| > N

имело

место

ϕ(x) −0

< 0,0001?

1120.

Существует ли предел функции f (x) = x sin x

при

х→∞; х→+ ∞; х→– ∞?

f (x) = cosx

1121.

Существует

ли предел

функции

ϕ(x) = sin x при х→∞; х→– ∞; х→+ ∞?

Найти следующие пределы:

−

1122.

lim

−

x→+∞

1124.

lim

2x2

−5x + 4

5x2

−

2x −3

x→∞

1126.

lim

(x −1)3

2x3

3x −1

x→∞

1128.

lim

10x2 +3x +1

− x2 − x

x→∞

1130.

lim

ln2

x→+∞


				1		2
1123.	lim 2 +				−			.
1123.	lim 2 +			1− x	−	x	3	.
	x→−∞			1− x		x
1125.	lim	1−3x	.
1125.	lim		.
	x→∞	2x +3
1127.	lim	10x +5			.
1127.	lim	0, 01x2		−6x	.
	x→∞	0, 01x2		−6x

1129. lim a0 xn + a1xn−1 +... + an . x→∞ b0 xm +b1xm−1 +...+bm

1131. lim ln3 x .

x→+∞ 3 x

1132.	lim		lnα x	(α > 0,		β > 0).		1133. lim	x5	.
1132.	lim		xβ	(α > 0,		β > 0).		1133. lim		.
	x→+∞		xβ					x→+∞ 2x
1134.	lim	10x4 +3x3 +1				.	1135. lim 10x (x6			+ x4 +1).
	x→+∞		(1,1)x					x→−∞
	lim		a xn	+ a xn−1	+... + a			(a >1).
1136.			0	1			n
1136.
	x→+∞			ax

177

ЙО‡‚‡ VI. З‚В‰ВМЛВ ‚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ‡М‡ОЛБ

1137.	lim(	x2 +1 − x2 −1).
	x→∞
1138.	lim (	x2 + x −1 − x2 − x +1).
	x→+∞

		x +1			x
1139.	lim				.
1139.	lim				.
	x→∞	x −1
1141.	lim	(1+tgx)ctgx .
	x→0
		sin x					1

1143.	lim						x−a	.


	x→a	sin a
1145.	lim	e−2 x −1					.
1145.	lim			x			.
	x→0			x
1147.	lim		ln tgx			.
1147.	lim					.
	x→π		cos2x
	4
					1
1149.	lim(1+ an )n (a > 0).
	x→∞

			2x +3 x+1
1140.	lim					.
1140.	lim					.
	x→∞		2x +1
			1
1142.	lim	(cosx)					.
1142.	lim	(cosx)			sin2 x		.
	x→0
1144.	lim (tgx)tg 2 x .
	x→π
	4
1146.	lim ln x −1.
	x→e		x −e
1148.	lim n2 ln cos π .
	n→∞					n
1150.	lim x ln			2a + x				.
1150.	lim x ln							.
	x→∞			a + x

1151. Опираясь только на определение бесконечного пре-

дела, доказать,			что	lim		(−1)E ( x)	= −∞.	Каково должно быть
дела, доказать,			что	lim		x −1	= −∞.	Каково должно быть
				x→1		x −1
δ > 0 ,		чтобы	для	\| x −1\|< δ имело				место неравенство
	(−1)E ( x)	< −1000 ?
	x −1	< −1000 ?
	1152. Опираясь только на определение бесконечного пре-
дела, доказать,			что lim		(−1)E ( x)+1		= +∞.	Каково должно быть
дела, доказать,			что lim			x2 −4	= +∞.	Каково должно быть
				x→2		x2 −4
178

					§ 6.4. èðÂ‰ÂÎ ÙÛÌÍˆËË
δ > 0 ,		чтобы для		\| x − 2 \|< δ имело	место неравенство
	(−1)E ( x)+1
			>10000 ?
	x2 − 4		>10000 ?
	1153. Существует			ли конечный или	бесконечный предел

sin(x −1)
	(x −1)	3	x
функции f (x) =
	0

при x ≠1,	в точках х = 0; х = 1?
при x =1

Найти:

1154.

lim

sin x

1155. lim

| tg(x −1) | .

x→0

x→1

(x −1)2

(x +3)(−1)E ( x)

sin x(−1)E ( x)

1156.

lim

1157. lim

x2 −9

x→3

x→0

1158.

lim

x2 + 2

1159. lim (x5

−3x4 +6x −1).

x→+∞

x→−∞

1160. lim

(a0 xn + a1xn−1 +... + an ), где а0, а1, …, an — дей-

x→∞

ствительные числа, a0

≠ 0, n — натуральное число.

1161. Существует

ли

бесконечный

предел функции

ϕ(x) = x3 sin x и ψ (x) = xtgx при х→+ ∞; х→– ∞?

СУФУОМЛЪВО¸М˚В Б‡‰‡МЛﬂ

Найти пределы:

1162.

lim(x3 +5x2 +6x +1).

1163. lim

x2 −25

x→−1

x→5

x −5

179

ЙО‡‚‡ VI. З‚В‰ВМЛВ ‚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ‡М‡ОЛБ

1164.	lim		x3 + 4x −1			.
1164.	lim	3x2 + x + 2				.
	x→1	3x2 + x + 2
1166.	lim		x2 +3x + 2				.
1166.	lim						.
	x→−2 x2 − x −6
1168.	lim		1+sin x		.
1168.	lim				.
	x→π	1−cos2x
	2
1170.	lim		x4 + 2x2 −3					.
1170.	lim		x2 −3x + 2					.
	x→1		x2 −3x + 2
			9 − x2
1172.	lim			.
1172.	lim			.
	x→3		3x −3
1174.	lim		sin 2x −cos2x −1						.
1174.	lim								.
	x→π		cosx −sin x
	4

1165.	lim		x2 −5x +6				.
1165.	lim		x −3				.
	x→3		x −3
1167.	lim		tg2x		.
1167.	lim				.
	x→π		sin 4x
	2
1169.	lim		sin x −cosx						.
1169.	lim								.
	x→π		cos2x
	4
1171.	lim		x2 +6x +8					.
1171.	lim		x3 +8					.
	x→−2		x3 +8
1173.	lim		x2 − x −2			.
1173.	lim		x3 +1			.
	x→−1		x3 +1
1175.	lim	3x −4		.
1175.	lim			.
	x→∞		x −2

1176.

lim

7x2 +5x +1

1177.

lim

5x3 − 7x

+14x2 +

1 − 2x3

x→∞

1178.

lim

2x −3

1179.

lim

2x3 + 4

2 + 2

x2 +5

x→∞ x

x→∞

1180.

lim

4x2 +1 − x

1181. lim

(x +1)10 (x2 +1)

3x +5

(3x + 2)2 (x +5)5 (x −1)5

x→+∞

x→∞

1182.

lim

(x2 +1)50 .

1183.

lim

x2 +5 + 3 8x3 + 2

x→∞

(x +1)100

x→+∞

5 x5 +3

1184.

lim

x2 +1

1185.

lim

x2 +1

x +1

x→+∞

x→−∞

180

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 5018 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.2015178.79 Кб154Kopia_testy_dlya_farmy_studentam_s_otvetami.docx
#
20.11.2018110.59 Кб6Kosti_tulovishcha-449.doc
#
16.11.2019112.64 Кб10KP.doc
#
24.09.2019614.91 Кб6Kratky_konspekt_lektsy_pravo.doc
#
23.03.20161.05 Mб123Kretov1.pdf
#
23.03.20163.26 Mб118Kretov_vse.pdf
#
23.03.2016543.23 Кб145kuharenko_v_a_praktikum_po_stilistike_angliiskogo_yazyka.doc
#
25.08.2019126.74 Кб11Kultura_kontrolnaya_dopolnennoe.docx
#
22.09.2019416.92 Кб5Kumleva_T_Samaya_Sovremennaya_Fraze.docx
#
20.11.2019162.82 Кб4kursOS.doc
#
27.10.2018335.87 Кб15Kuznecov.doc