Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Балтийский федеральный университет им. И.Канта

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Kretov_vse

.pdf

Скачиваний:

118

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

3.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 5030 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

§ 9.2. çÂÒÓ·ÒÚ‚ÂÌÌ˚Â ËÌÚÂ„ð‡Î˚

Исследовать на сходимость интегралы:

xdx

2853. ∫

2854. ∫

2855. ∫

1− x

0 ln x

(x −1)(2 − x)

2856. ∫

. 2857. ∫

2858.

∫

(b − x)

−a

x −a

Доказать равенства:

2859. ∫1

= 0.

2860. a∫+1

= 0.

−1

a−1

x −a

2861. Доказать, что интеграл ∫0

сходится, если s <1,

(sin x)s

и расходится, если s ≥1.

sin x

2862. Доказать, чтоинтеграл ∫0

dx сходится, если

p < 2.

x p

2863. Доказать, что если интеграл ∫x ϕ(x)dx

остается огра-

∞

ниченным при

x → ∞, то

интеграл

∫a ϕx(αx)dx

сходится для

всякого α > 0.

Доказать, что следующие интегралы сходятся условно:

2864.	∞∫cosxdx.		2865.	∞∫	sin x	dx.	2866.	∞∫sin2 xdx.

	1	x		0	x			0

291

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

2867. Пусть ϕ(x) ≥ 0, limϕ(x) = 0, ϕ '(x) ≤ 0, ϕ '(x) не-

x→∞

прерывна для a ≤ x < ∞. Доказать, что ∞∫ϕ '(x)dx сходится аб-

солютно.

2868. Пусть ϕ(x) ≥ 0, limϕ(x) = 0, ϕ '(x) ≤ 0, ϕ '(x) не-

x→∞

прерывна

для

a ≤ x < ∞.

Доказать,

что

интегралы

∞∫ϕ(x)costxdx и

∞∫ϕ(x)sin txdx,

где t > 0, сходятся.

∞ sin tx

2869. Доказать,

что

интеграл

∫0

сходится,

если

0 < s < 2, и абсолютно сходится, если 1 < s < 2.

∞

1−costx

dx сходится абсо-

2870. Доказать, что интеграл ∫

лютно, если 1 < s < 3.

∞ sin x(1−cosx)

dx сходится,

2871. Доказать, что интеграл ∫

если 0 < s < 4, и абсолютно сходится, если 1 < s < 4.

Вычислить:

2872.

+∞∫ e−xdx. 2873.

+∞∫

dxα . 2874.

+∞∫

. 2875.

+∞∫ arctgxdx.

−4x

2876.

+∞∫

1+ln x

dx. 2877.

+∞∫ sin xdx. 2878. ∫0

xexdx.

2879. ∫1

dxα .

−∞

292

					§ 9.2. çÂÒÓ·ÒÚ‚ÂÌÌ˚Â ËÌÚÂ„ð‡Î˚
					π
2880. ∫3	dx		. 2881. ∫1 ln xdx. 2882. ∫1 ln2 xdx. 2883. ∫4 ctgxdx.
2880. ∫3	9 − x	2	. 2881. ∫1 ln xdx. 2882. ∫1 ln2 xdx. 2883. ∫4 ctgxdx.
0	9 − x	0		0	0

2884. ∫2			dx	. 2885. ∫3		dx		. 2886.	∫6	dx
2884. ∫2		3		. 2885. ∫3			2	. 2886.	∫6		2
	0		1− x		0 (x −3)				2	3 (4 − x)
2888.	+∞∫		dxα . 2889.		+∞∫ e−x sin xdx.
	0		x		0

. 2887. ∫2	dx	.

0	sin x

§ 9.3. З˚˜ЛТОВМЛВ ФОУ˘‡‰Л ФОУТНУИ ЩЛ„Ыр˚

Площадь криволинейной трапеции (рис. 9.1), ограниченной сверху графиком функции y=f(x)≥0, слева и справа — соответственно прямыми х=a, x=b, снизу — осью Ох, вычисляется по формуле:

S = ∫b	f (x)dx .	(9.3.1)
a

Рис. 9.1

Рис. 9.2

293

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

Если функция задана параметрическими уравнениями x=φ(t), y=φ(t) (t1 ≤t ≤t2), то

t2
S = ∫ψ (t) ϕ '(t)dt .	(9.3.2)
t1

Площадь криволинейной фигуры (рис. 9.2), ограниченной сверху и снизу соответственно линиями y1 =f1(x), y2 =f2(x), слева и справа — прямыми х=a, x=b, определяется по формуле:

	b	1	2	]
S =	∫[				(9.3.3)
		f (x) − f		(x) dx .

Площадь сектора (рис. 9.3), ограниченного дугой АB линии, заданной уравнением r = r(φ) в полярных координатах, и двумя полярными радиусами ОА и ОВ, для которых

соответственно φ1 =α, φ2 =β, вычисляется по формуле:

	1	β
S =		∫r 2 dϕ.	(9.3.4)
	2
Рис. 9.3		α

		бДСДзаь
2890.	Найти площадь	фигуры,	ограниченной	параболой
у=х2, осью х-ов и прямыми x=a и x= b, b >a.
2891.	Найти площадь	фигуры,	ограниченной	параболой
у=6x– x2 и осью х-ов.
2892.	Найти площадь	фигуры,	ограниченной	параболой
у=– x2 +7х– 10 и осью х-ов.
2893.	Найти площадь фигуры, ограниченной дугой сину-
соиды от х= 0 до х=π и осью х-ов.
2894.	Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой
ху=a, осью х-ов и прямыми х=а и x =b, b >a.
294

§ 9.3. З˚˜ЛТОВМЛВ ФОУ˘‡‰Л ФОУТНУИ ЩЛ„Ыр˚

2895. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y=lnx, осью х-ов и прямой x=a, a >1.

2896. Найти площадь фигуры, ограниченной цепной линией

y = a (e

+e−

) , осью х-ов и прямыми х=0, х=а.

2897. Найти площадь эллипса

=1 и, в частности,

круга радиуса а.

2898. Найти площадь, ограниченную гиперболой

−

и прямой х=с, c>a.

2899. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой

x2	−	y2	=1, осью х-ов и прямой y=с, c>0.
a2		b2

2900. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = 41a x2 и прямой y=b, b >0.

y2	2901.	Найти	площадь	фигуры,	ограниченной	параболой
y2	=2px и прямой x– 2y– 1 = 0.
	2902.	Найти площадь фигуры,			ограниченной параболами
y2	=2px и x2 =2py.
	2903.	Найти	площадь	фигуры,	ограниченной	параболой

x2 =4ay и кривой y =			8a3
					(a >0).
			x2 + 4a2
2904.	Найти	площадь		фигуры, ограниченной кругом
x2 + y2 = 4px и параболой y2 =2px.
2905.	Найти площадь фигуры, ограниченной кубической
параболой y =x3 и прямой y= 2x.
2906.	Найти	площадь		фигуры, ограниченной параболой
y=x2 – 3x и прямой y+ 3x– 4 = 0.
2907.	Найти площадь фигуры, ограниченной параболами
y = x2 – x и y2 =2x.
				295

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

2908. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y2 =x, гиперболой xy=8 и отрезком прямой, соединяющим точку (8; 1)

гиперболы с точкой (8; −	8) параболы.
2909. Найти площадь	фигуры, ограниченной кривой

y = x 1 x , осью х-ов и прямой x= 1.

2910. Найти					площадь	фигуры,	ограниченной	кривой
y =		1	, и прямыми х= – 1, x= 1.
y =	3	x2	, и прямыми х= – 1, x= 1.
	3	x2
2911. Найти					площадь	фигуры,	ограниченной	кривой
y =		8a3		и ее асимптотой.
y =	x2 +		4a2	и ее асимптотой.
	x2 +		4a2

2912. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой y=x2lnx и осью х-ов.

2913. Найти площадь S фигуры, ограниченной гиперболой x2 – y2 = 1, положительной частью оси х-ов и радиусомвектором, соединяющим начало координат с точкой M(x; y), лежащей на этой гиперболе. Доказать, что координаты точ-

ки М выражаются через S по формулам: x =			e2S +e−2S	,
ки М выражаются через S по формулам: x =			2	,
			2
y =	e2S −e−2S	.
y =	2	.
	2

2914. Найти площадь фигуры, ограниченной одним витком спирали Архимеда r(θ) = aθ.

2915. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой r = a cos2θ.

2916. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой r = a(cosθ +1).

2917. Найти площадь фигуры, ограниченной улиткой Пас-

каля r = 2a(2 +cosθ).

296

§ 9.3. З˚˜ЛТОВМЛВ ФОУ˘‡‰Л ФОУТНУИ ЩЛ„Ыр˚

2918. Найти площадь фигуры, ограниченной подэрой эллипса (x2 + y2 )2 −a2 x2 −b2 y2 = 0. Указание. Перейти к по-

лярным координатам.

2919. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой (x2 +y2)2 = (x2 – y2) a2. Указание. Перейтикполярнымкоординатам.

2920.	Найти площадь эллипса: x =a cost, y=b sin t.
2921.	Найти площадь фигуры, ограниченной осью х-ов и
одной дугой циклоиды: x =a (1 – sint), y=a (1 – cost).
2922.	Найти	площадь	фигуры, ограниченной астроидой:
x=a cos3 t, y=a sin3 t.
2923.	Найти	площадь	фигуры, ограниченной кривой:

x = c2	cos3t ,	y = c2	sin3 t .
a		b

2924. Найти площадь фигуры, ограниченной трактрисой:

		1+cost
x = a	−cost +ln		, y=a sin t и осью х-ов.
		sin t

Вычислить площади фигур, ограниченных линиями:

2925. y = 1x , x = 1, x = e, y = 0; 2926. y = x2, y = 1;

2927. y = x2, y = 2 – x2;

2928. y = x2 –1, x = 2, y = 0, где х ≥0; 2929. у = sin3x, y = 0, где 0 ≤ x ≤ π3 ;

2930. у = sinx, y = sin3x, где 0 ≤ x ≤ π2 ; 2931. y = x2, y = x;

2932. у = arc sin 2x, x = 0, y = −π2 ;

2933. у = sin 2x, y = 1, x = π2 , π4 ≤ x ≤ π2 ;

297

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

2934. x2 – y2 = 1, x = 2; 2935. y = x3, y = – 1, x = 0;

2936. y =	1	(e	x	+e−	x
			2		2	) , x = 1, x = – 1, y = 0;
	2

2937. y = x(3 – x), y = x – 3; 2938. y = 3x – x2, y = x2 – x; 2939. xy = 5, x +y = 6; 2940. xy = – 2, y = x – 3;

2941. xy = 4, x = 4, y = 4, x = 0, y = 0;

2942.	кардиоидой ρ = a(1 + cos φ);
2943.	ρ = a cos 2φ; 2944. ρ = a sin 2φ;
2945.	ρ = 2 + sin 2φ; 2946. ρ=aeφ, где 0 ≤φ≤2π;
2947.	ρ = a sin 3φ; 2948. ρ = a cos 3φ;
2949.	одной	аркой		циклоиды x=a(t – sint), y=a(1 – cost),
0 ≤t ≤2π и осью Ох;
2950.	ρ = a cos 4φ; 2951. ρ = a sin 4φ;
2952.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
у= х3 и прямыми х = 1, х = 3.
2953.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
у= lnx, прямой х = е и осью Ох.
2954.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной парабо-
	2	1	2
лами у = x + 1,		y = 2 x		+1 и прямыми х = 1, х = 2.

2955. Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой ху=4 и прямой x + y – 5 = 0.

2956. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = х2 + 4х и прямой у = х + 4.

2957. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой у= хlnx и осью Ох.

2958. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами у = x2, y = 12 x2 и прямой у = 3х.

2959. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой

у5 = х5 (3 – x) и осью Ох.

2960. Вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя ветвями кривой (у – х)2 = 5х5 и прямой х = 4.

298

			§ 9.3. З˚˜ЛТОВМЛВ ФОУ˘‡‰Л ФОУТНУИ ЩЛ„Ыр˚
2961.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
x + y = a и прямой х + у = а.
2962.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной парабо-
лой у2 = 4aх + 4a2 и прямой у = 2a – х.
2963.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной замкну-
той кривой у2 = (1 –х2)3.
2964.	Вычислить площадь петли кривой 4(у2 – х2) + x3 = 0.
2965.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью Ох
и одной аркой циклоиды x=a (t – sin t), y=a (1 – cost) (a >0).
2966.	Вычислить площадь одной петли кривой r = a cos 2Θ.
2967.	Вычислить площадь одной петли кривой r = a sin 2Θ.
2968.	Найти площадь одного витка архимедовой спирали
r =aΘ.
2969.	Вычислить площадь, ограниченную улиткой Паскаля
r =a cos Θ+b.
2970.	Вычислить площадь, ограниченную замкнутой кри-
вой r =a cos 3Θ.
2971.	Найти	площадь,	ограниченную	замкнутой	кривой
r=a cos5 Θ, a >0.
2972.	Найти	площадь,	ограниченную	замкнутой	кривой

r = a cos4Θ , a >0. Указание. Кривая проходит через полюс

(как точку возврата), образуя четыре петли, симметрично расположенные относительно осей Ох и Оу. Полная площадь фигуры равна восьмикратной площади части ее, соответствую-

щей изменению Θ от 0 до π8 .

Переходя к полярным координатам по формулам х=rcosΘ, y=r sin Θ, вычислить площади, ограниченные кривыми:

2973. (х2 + у2)2 = 2a2xy. 2974. (х2 + у2 – ax)2 = a2(x2 + y2). 2975. (х2 + у2)2 = ax3, a >0. 2976. (х2 + у2)3 = a2x4.

2977. (х2 + у2)3 = 4a2xy(x2 –y2). 2978. (х2 + у2)3 = a2 (3x2 + y2)2. 2979. Вычислить площадь части фигуры, ограниченной кар-

диоидой r=а(1–cosΘ), лежащей внутри окружности r=acosΘ.

299

ЙО‡‚‡ IX. йФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

2980. Вычислить площадь части фигуры, ограниченной замкнутой кривой r=2–cosΘ, лежащей внеокружности r=cosΘ.

СУФУОМЛЪВО¸М˚В Б‡‰‡МЛﬂ

2981. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у= – х2 + 4х– 3 и касательными к ней в точках М(0; – 3), N(3; 0).

2982. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой х2у2 = 4(х– 1) и прямой, проходящей через ее точки перегиба.

2983. Вычислить площадь петли строфоиды y2 = x2 aa +− xx .

2984. Вычислить площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой x=a cost, y=b sin t cos2 t. Указание. Кривая симметрична относительно обеих осей координат и дважды проходит через начало координат, образуя две петли. Поэтому достаточно вычислить четвертую часть искомой площади, отве-

чающей изменению t от 0 до π2 , и результат умножить на 4.

2985. Вычислить площадь петли x= t2 – 1, y=t3 – t. Указание. Кривая симметрична относительно оси Оx, дважды пересекая ее в начале координат при t = ± 1. Петля расположена во второй и третьей четвертях.

§ 9.4. З˚˜ЛТОВМЛВ ‰ОЛМ˚ ‰Ы„Л ФОУТНУИ НрЛ‚УИ

Длина дуги кривой y=f(x) (a≤x≤b) вычисляется по формуле:

l = ∫b 1+[ f '(x)]2 dx .

Длина дуги кривой, заданной параметрически y =ϕ2 (t) (t1 ≤ t ≤ t2), определяется формулой:

300

(9.4.1)

x =ϕ1 (t),

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 5030 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.02.2015178.79 Кб157Kopia_testy_dlya_farmy_studentam_s_otvetami.docx
#
20.11.2018110.59 Кб6Kosti_tulovishcha-449.doc
#
16.11.2019112.64 Кб10KP.doc
#
24.09.2019614.91 Кб6Kratky_konspekt_lektsy_pravo.doc
#
23.03.20161.05 Mб123Kretov1.pdf
#
23.03.20163.26 Mб118Kretov_vse.pdf
#
23.03.2016543.23 Кб147kuharenko_v_a_praktikum_po_stilistike_angliiskogo_yazyka.doc
#
25.08.2019126.74 Кб11Kultura_kontrolnaya_dopolnennoe.docx
#
22.09.2019416.92 Кб7Kumleva_T_Samaya_Sovremennaya_Fraze.docx
#
20.11.2019162.82 Кб4kursOS.doc
#
27.10.2018335.87 Кб15Kuznecov.doc