Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4614 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Балтийский федеральный университет им. И.Канта
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Kretov_vse

.pdf
Скачиваний:
118
Добавлен:
23.03.2016
Размер:
3.26 Mб
Скачать
☆

§ 7.7. аТТОВ‰У‚‡МЛВ ЩЫМНˆЛИ Л ФУТЪрУВМЛВ „р‡ЩЛНУ‚

По результатам исследования функции можно построить математически грамотный эскиз ее графика.

Если исследуемая функция четная, то есть такая, что f(х)=f(х), достаточно исследовать функцию и построить ее график для положительных значений аргумента из области определения функции. При отрицательных значениях аргумента график функции строится на том основании, что график четной функции симметричен относительно оси ординат. Если функция у= f(х) — нечетная, то есть такая, что f(– х) = – f(х), то ее достаточно исследовать при положительных значениях аргумента. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Иногда порядок исследования функции целесообразно выбирать исходя из конкретных особенностей данной функции.

бДСДзаь

Найти промежутки возрастания и убывания функций:

2009.

y = x2 +8x + 7.

2010. y = 3

+ 2x − x2 .

2011.

y = x3 −3x +5.

2012. y = 6 −3x2

− x3.

2013. y = ln x.

2014.

y = ex .

2015.

y = x4 − 2x2 .

2016.

y = 4x2 − x4 −3.

Найти наибольшие и наименьшие значения функций в

промежутке [– 2; 2]:

 

 

 

 

 

 

2017.

y = −x2 .

 

2018.

y = −x3.

 

 

Найти наибольшие и наименьшие значения функций:

2019.

y =

 

x2

.

2020.

y =

 

1

 

.

 

1

+ x2

 

 

1

+ x

2

 

241

ЙО‡‚‡ VII. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛЛ У‰МУИ МВБ‡‚ЛТЛПУИ ФВрВПВММУИ

Исследовать на экстремум функции:

2021.

y = (x +1)2 (x − 2).

2022.

y = x3 + 6x2 + 9x + 2.

 

 

 

2023.

y =

(x

2

−

3)

2

.

 

 

 

 

2024.

y =

(1− x2 )2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

x

+ e−

x

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

x

−e−

x

 

 

 

 

 

 

2025.

y =

(e

a

 

a

).

 

2026.

y =

(e

a

a

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2027.

y = x ln x.

 

 

 

 

 

 

2028. y =

ln x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти точки перегиба графиков функций:

 

 

 

 

 

 

2029.

y =

 

3

x4 − x3 + 2.

 

2030.

y = x3 +

x4

.

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти асимптоты линий:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2031. y =

6

 

 

.

 

 

 

 

 

 

2032. y =

8

 

 

.

 

 

 

2033. y =

x2

− 4x + 9

.

 

 

x +

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 − 25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

2034. y =

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

.

2035. y =

 

x4

 

.

 

 

 

 

2036. y = ln

 

x −5

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 − 4x + 3

 

 

 

x3 +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 5

 

 

 

Исследовать функции и построить их графики:

2037.

1)

y = x3

+ 3x2 ;

2) y = x3 −12x ;

 

3) y = x3 − 2x2 +1; 4) y = x3 −3x2 − x +3.

2038.

1)

y = x3

−3x2 ;

2) y = x3 − 6x2 + 9x + 3 ;

 

3) y = x3 +6x2 + 9x +1; 4) y = x3 +3x2 +3x + 4.

2039.

1)

y = (x2 −1)(x2 − 4) ; 2) y = 8x2 − x4 −7.

242

§ 7.7. аТТОВ‰У‚‡МЛВ ЩЫМНˆЛИ Л ФУТЪрУВМЛВ „р‡ЩЛНУ‚

2040.

1)

y = x4 − 4x2 + 5 ;

2) y = (x2 −1)(x2 −9).

 

 

 

2041.

1)

y = ln

 

x − 2

 

2)

y = ln

 

 

x − a

 

 

a> 0.

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

x + 2

 

x + a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2042.

1)

y = x4 − 2x2 ;

2)

y2 = x2 + y4 .

 

 

 

 

2043.

y

=

x

 

+

4

 

.

2044.

y =

 

1

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

1

+ x2

 

 

 

 

 

 

 

2045.

а)

y = 2x4 − x2 +1 ;

б)

y = x5 − x3 −2x ;

 

 

 

 

в) y = 36x(x −1)3 ;

 

г) y = (x2 −1)3.

 

 

 

2046.а) y =

1

 

 

; б) y =

 

 

1

 

 

 

; в) y = x +

x

 

;

 

x(x −

1)

(x − 2)(x2 −1)

3x −1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) y =

 

 

x3

 

; д) y =

 

x3

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 −

 

2(x +

1)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2047. y2 = x3 +1.

 

 

2048. y2 = x(x −1)2 .

2050. y2 =

1

x2

−

2

.

2051. y = x ln x.

 

 

3

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

x

2

2053. y = ln(e +

 

).

 

2054. y = xe−

 

.

 

 

4

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

2049. y2 = x2 − x4 .

1+ x

2052. y = ln 1− x .

1

2055. y = x2ex .

2056. y = x3e−4 x . 2057. y = sin x + cosx. 2058. y = sin x + 12 sin 2x.

2059. y = sin x sin 2x.

2060. y = cos x cos 2x.

2061. y = x + sin x.

2062. y =

sin x

.

2063. y = x − 2arc tg x.

2064. y = sin

1

.

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

2065. y = 2 | x | −x2 .

2066. y = 3 x2

− x.

2067. y = ln sin x.

2068. y = cosx − ln cosx. 2069. y = x3

−3x. 2070. y =

x3

− x2

−3x.

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

243

ЙО‡‚‡ VII. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛЛ У‰МУИ МВБ‡‚ЛТЛПУИ ФВрВПВММУИ

2071. y = x3

+6x2 +9x.2072. y =

x3

 

+ x2 . 2073. y =1+ 2x2 −

x4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

x4

3

 

 

 

x4

 

 

 

 

x3

 

x4

 

 

2

 

 

2074. y =

 

+ x

.

2075. y =

 

 

 

 

−

 

 

. 2076. y =

 

−2x

 

.

 

4

4

 

 

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2077. y = 3x5 −5x3.

2078. y =

x5

 

− x4 + x3. 2079. y = (x2 −1)3.

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2080. y = 32x2 (x2 −1)3. 2081. y = x + 2

−x. 2082. y = x

1− x.

 

 

2083. y =

6 x

.

 

 

x + 2

2085. y =

x2 −1 − x2 +1.

2087. y =1− 3 (x − 4)2 .

2089. y =1 + 3 (x −1)2 .

2084. y = x2 +1 + x2 −1.

2086. y = 3 x −1.

 

 

 

2088. y = 2x −33

x2 .

2

 

2

.

2090. y = (x − 2)

3

 

−(x + 2)

3

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2091. y = (x − 2)

3

 

+(x + 2)

3

. 2092. y = x

3

(1− x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

.

 

 

 

 

 

x

.

 

 

 

 

x

.

 

 

2093. y = x(x −1)

3

2094. y =

 

 

 

 

2095. y =

 

 

 

 

− x2

 

x2 − 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2096. y =

 

 

x

.

 

 

 

2097. y =

 

2x −1

.

2098. y =

3 − 2x

.

 

 

 

x2

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x −1)2

 

 

(x − 2)2

 

 

2099. y =

 

x −1

. 2100. y =

 

x

 

. 2101. y =

 

x2

.

 

 

(x

− 2)(x −5)

 

 

 

 

 

(x −1)(4

− x)

 

x2

−1

 

2102. y =

2105. y =

(x +1)2 . x2 + 2x

x2 − x +1 . 3x − x −3

2103. y =

2106.

(x −1)2

.

 

2104. y =

(x −3)2

.

x2 +1

 

x2

− 4x +5

 

 

 

 

 

 

−

x

 

2107. y = (x +1)e−x .

y = xe

 

2 .

244

§ 7.7. аТТОВ‰У‚‡МЛВ ЩЫМНˆЛИ Л ФУТЪрУВМЛВ „р‡ЩЛНУ‚

2108. y = x2e−x .

2109. y = (x + 4)2 e

−

x

 

 

−

x2

 

 

 

 

2 .

2110. y = xe

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3−x2

. 2112. y = (1− x)ex .

 

 

 

2113. y = (x − 2)2 ex .

2111. y = xe

2

 

 

 

3

 

x

 

3

 

−x

 

 

 

 

ex

 

 

 

 

ex

 

 

2114. y = x

e

 

.

2115. y = x

e

 

. 2116. y =

. 2117. y =

 

 

 

.

 

 

x

−

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

2118. y =

2121. y =

2124. y =

2127. y =

2130. y =

2133. y =

ex .

4(1− x)

ex +e−x ex −e−x .

x2e−x2 .

x ln2 x.

x2 ln x.

x . ln | x |

ex

2119. y = (1− x)2 .

ex −e−x

2122. y = ex +e−x .

2125. y = x ln x.

2128. y = x2 ln2 x.

2131. y = 1 + ln x . x

ln x 2134. y = − x2 .

2136. y =

 

ln2

x

.

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

2139. y =

x

+

2 .

 

 

2

 

x

 

2142. y =

 

 

x3

 

.

1+ x2

 

 

2145. y = x + arctgx.

2137. y = lnxx .

2140. y = 2x + x12 .

x3

2143. y = (x −1)2 .

(x +1)3

2146. y = (x −1)2 .

2120. y =

e−x

.

x2

−3

 

 

2

2123. y = ex (x +3) .

2126. y = x − ln x.

2129. y = lnxx .

2132. y = lnxx .

ln(x −1) 2135. y = (x −1)2 .

 

 

 

2

e−x .

 

2138. y = x

3

 

2141. y =

 

 

 

x3

 

.

 

1

− x2

 

 

 

 

2144. y =

 

(x −2)2

.

 

2(x

−1)

 

 

 

x4

2147. y = (1+ x)3 .

245

ЙО‡‚‡ VII. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛЛ У‰МУИ МВБ‡‚ЛТЛПУИ ФВрВПВММУИ

2148. y =

x

 

+ arcctgx.

2149. y = x − arctg2x.

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2150. y = x − 2arctgx.

1

.

2

.

2151. y = (x + 2)e

x

2152. y =1+ xe

x

1

− x. 2154. y = 3 x2 (1− x).

2155. y = 3 x(1+ x2 ).

2153. y = e

x

2156. y = 3

x(3 − x)2 .

2157. y = x − 2tgx.

2158. y = x + sin 2x.

2159. y = 3

x(2 − x2 ).

 

 

 

 

 

 

246

É Î ‡ ‚ ‡ V I I I

зЦйикЦСЦгЦззхв азнЦЙкДг

§ 8.1. зВФУТрВ‰ТЪ‚ВММУВ ЛМЪВ„рЛрУ‚‡МЛВ

Определение 1. Функция F(x), определенная на интервале (a, b), называется первообразной данной функции f(x) на этом интервале, если F '(x) = f (x) для всех x (a,b) .

Определение 2. Неопределенным интегралом от непрерывной функции f(x) называется общее выражение для всех пер-

вообразных функций f(x) и обозначается ∫ f (x)dx = F(x) +c, где

 

 

F '(x) = f (x) .

(8.1.1)

Свойства неопределенного интеграла:

 

1.

 

 

 

∫

f (x)dx ' = f (x); d ∫ f (x)dx = f (x)dx.

 

2.

∫df (x) = f (x) +c.

 

3.

∫cf (x)dx = c∫ f (x)dx.

 

4.

∫[ f1 (x) + f2 (x) − f3 (x)]dx = ∫ f1 (x)dx +

 

+ ∫ f2 (x)dx − ∫ f3 (x)dx.

Таблица основных интегралов:

xk +1

1. ∫xk dx = k +1 +c (k ≠ −1).

2. ∫dxx = ln | x | +c.

247

ЙО‡‚‡ VIII. зВУФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

3. ∫axdx = ax +c. ln a

4.∫exdx = ex +c.

5.∫cosxdx = sin x +c.

6.∫sin xdx = −cosx +c.

7.∫cosdx2 x = tgx +c.

8.∫sindx2 x = −ctgx +c.

9.∫sh x dx = ch x +c.

10.∫ch x dx = sh x +c.

11.∫chdx2 x = thx + c.

12.∫ shdx2 x = −cthx + c.

13.∫ x2 dx+ a2 = 1a arctg ax +c = − 1a arcctg ax +c.

14.∫ x2 dx−a2 = 21a ln xx +−aa +c.

15.

∫

 

dx

 

 

= arc sin

x

+c = −arccos

x

+c.

a

2

2

a

a

 

 

 

− x

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

dx

 

 

 

 

 

16.

 

 

= ln

x +

x2 + a

+c.

 

 

2

 

 

 

 

 

x

+ a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

248

§ 8.1. зВФУТрВ‰ТЪ‚ВММУВ ЛМЪВ„рЛрУ‚‡МЛВ

бДСДзаь

Вычислить следующие интегралы:

2160.

∫(2x +1)dx.

 

 

 

 

 

 

2161.

∫(3x2 + 2x −1)dx.

 

 

2162.

∫

(x

4

−3x

2

+ x −5)dx. 2163.

∫

 

 

x +

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx.

 

 

 

 

∫

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2164.

 

 

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

dx.

 

 

 

 

2165.

 

 

 

 

+ x

 

x +

2 dx.

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

3

x

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

∫x

2

(x

2

+1)dx.

 

 

 

2166.

 

 

x x

−

 

 

 

+

 

 

 

dx.2167.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2168.

∫(x3 +1)2 dx.

 

 

 

 

 

2169.

∫

x3 +3x −1

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2170.

∫

x2 −3x + 4

dx.

 

 

 

 

2171.

∫

(x −1)3

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2172.

∫

(

 

x + 2)3

dx.

 

 

 

 

 

2173.

∫(2ex − 3

x2 )dx.

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫(cosx + 25 x3 )dx.

 

 

2174.

∫(ax −2sin x)dx.

 

 

 

 

2175.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

2176.

∫

−sin x

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx. 2177. ∫

 

4cosx −

 

 

 

dx.

 

 

 

4 −4x

2

 

 

−9x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

2178.

∫

 

2x

+

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

∫

 

 

−x

 

 

x2 + 2

 

2180.

10

 

+

 

 

 

 

 

dx.

 

 

1+ x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

−x

 

2179. ∫

 

 

−3

dx.

2 −2x

2

 

 

 

 

2181. ∫2(1x2+−x32 ) dx.

249

ЙО‡‚‡ VIII. зВУФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О

 

∫

x2

 

2183. ∫

 

 

x2

 

 

 

2184. ∫

x2 + 2

dx.

2182.

 

 

 

dx.

 

 

 

dx.

 

 

3(1+ x2 )

 

 

x2 −1

 

x2 −1

2185.

∫

3

 

dx.

 

2186. ∫

2

dx.

 

2187. ∫

x2

 

dx.

2 + 2x2

 

3 −3x2

 

a + ax

2

 

∫

x2 −1

 

2189. ∫

3x4 +3x2 +1

 

 

 

 

 

 

 

 

2188.

 

dx.

 

x2 +1

 

dx.

 

 

 

 

 

 

b −bx2

 

 

 

 

 

 

 

 

2190.

∫

−2x4 + 4x2 −1

dx.

2191. ∫

−3x4 +3x2 −1

dx.

 

 

 

1− x2

 

 

 

x2 −1

 

 

 

 

 

2192.

∫

2x4

−5x2 +3

dx.

2193. ∫

 

x5 − x +1

dx.

 

 

 

 

x2 −1

 

 

x2 +1

 

 

 

 

2194.

2196.

2198.

∫x5 − x +3 dx.

x2 −1

∫sin2 2x dx.

dx

∫sin2 x cos2 x.

2195. ∫cos2 2x dx.

cos2x 2197. ∫cos2 x sin2 x dx.

2199. ∫tg2 xdx. 2200. ∫ctg2 xdx.

§ 8.2. б‡ПВМ‡ ФВрВПВММУИ

Если F(x) = ∫ f (x)dx ; F '(x) = f (x), то F(x) = ∫ f (u)du,

где u =ϕ(x) — любая дифференцируемая функция, то есть

∫ f (u)du = ∫ f [ϕ(x)]ϕ '(x)dx.

(8.2.1)

Простейшие преобразование дифференциала:

1.dx = d(x +c), c = const .

2.dx = 1a d(ax), a ≠ 0, a = const .

250

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности