Kretov_vse

É Î ‡ ‚ ‡ X

СаооЦкЦзсаДгъзйЦ алуалгЦзаЦ омздсав зЦлдйгъдап зЦбДЗалаехп иЦкЦеЦззхп

§ 10.1. иУМflЪЛВ ЩЫМНˆЛЛ. гЛМЛЛ Л ФУ‚ВрıМУТЪЛ ЫрУ‚Мfl

Определение 1. Пусть каждой точке М из множества точек {M} евклидова пространства Rm по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число u из числового множества U. Тогда говорят, что на множестве {M} задана функция u = f(M).

Множество {M} называется областью определения функции f и обозначается D(f). Множество U называется областью изменения функции f и обозначается E(f).

Всякая функция нескольких переменных становится функцией меньшего числа переменных, если часть переменных зафиксировать.

В дальнейшем будем рассматривать функции двух пере-

менных z =f(x; y) или z =z(x; y).

Определение 2. Множество точек пространства R3 с коорди-

натами (x; y; z)=(x; y; f(x; y)) при всех (x; y), (x; y) D( f ) назы-

вается графиком функции z =f(x; y).

Определение 3. Линией уровня функции z=f(x; y) называется множество всех точек плоскости Oxy, в которых функция z принимает постоянное значение, то есть f(x; y) = с, где с — постоянная.

Определение 4. Поверхностью уровня функции трех переменных u =f(x; y; z) называется множество всех точек пространства Oxyz, в которых функция u принимает постоянное значение, то есть f(x; y; z) =c, где с — постоянная.

331

ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı

§ 10.1. иУМflЪЛВ ЩЫМНˆЛЛ. гЛМЛЛ Л ФУ‚ВрıМУТЪЛ ЫрУ‚Мfl

точках окружности x2 + y2 = R2 .

3214. Даны функции f (x; y) = x2 − y2 , g(x) = cos x,

ϕ(x) = sin x. Найти: а) f (g(x);ϕ(x)); б) g( f (x; y)).

Найти области определения следующих функций:

3227. z = cos(x2 + y2 ).

3228. u(x; y; z) = arccos 2x + arcsin 2y + arctgz.

333

§10.2. ирВ‰ВО ЩЫМНˆЛЛ ‚ ЪУ˜НВ. зВФрВр˚‚МУТЪ¸ ЩЫМНˆЛЛ ‚ ЪУ˜НВ Л М‡ ПМУКВТЪ‚В

Под ε -окрестностью точки А обычно понимают открытый шар с центром в точке А радиуса ε . ε -окрестность без точ-

Это определение равносильно следующему.

Определение 2. Число b = lim f (M ), если для любого чис-

M →A

ла ε > 0 существует такое число δ(ε, A) > 0, что для любых точек M {M} из δ -окрестности точки А, то есть удовлетворяющих неравенству 0 < ρ(M , A) < δ, выполняется неравенство | f (M ) − b |< ε.

Обозначение предела функции в точке А:

xm →am

Для функции двух переменных введенное понятие предела называется двойным пределом. Для таких функций существу-

При вычислении двойных пределов используют теоремы о пределах для функции одной переменной.

335

ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı

Теорема. Пусть f (M ) и g(M ) определены в некото-

рой проколотой окрестности точки М0 и lim f (M ) = A,

M →M 0

lim g(M ) = B, где A и B конечны. Тогда:

M →M 0

1) lim ( f (M ) ± g(M )) = A ± B;

M→M 0

2)lim f (M ) ± g(M ) = A B;

M→M 0

§10.2. ирВ‰ВО ЩЫМНˆЛЛ ‚ ЪУ˜НВ. зВФрВр˚‚МУТЪ¸ ЩЫМНˆЛЛ ‚ ЪУ˜НВ Л М‡ ПМУКВТЪ‚В

Бесконечно малые функции нескольких переменных обладают теми же свойствами, что и бесконечно малые функции одной переменной.

Определение 5. Функция u = f (M ) называется непрерывной

вточке М0, если онаудовлетворяет следующим трем условиям:

1)f (M ) определена в некоторой окрестности точки М0;

Определение 6. Функция u = f (M ) называется непрерыв-

ной на множестве точек {M}, если она непрерывна в любой точке этого множества.

Определение 7. Полным приращением функции u = f (M ) в точке А в области ее определения называется функция

Определение 9. Частным приращением функции u = f (M )

в точке А по переменной xk в области ее определения называется функция

ЙО‡‚‡ X. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ МВТНУО¸НЛı МВБ‡‚ЛТЛП˚ı ФВрВПВММ˚ı

Определение 10. Функция u = f (M ), определенная в ок-

рестности точки А, называется непрерывной в ней по переменной xk, если

2) Пусть f (M ) и g(M ) — две функции, определенные в

некоторой окрестности точки А и непрерывны в этой точке. Тогда в этой точке непрерывны также и функции f (M ) ± g(M ),

3)Пусть f (M ) определена в некоторой окрестности точкиМ0

инепрерывна в точке М0, при этом значения f (M ) попадают

в некоторую окрестность точки P0, причем f (M 0 ) = P0 . Пусть g(P) определена в окрестности точки P0 и непрерывна в этой точке. Тогда сложная функция g( f (M )) =ϕ(M ) непрерывна в

точке М0.

4) Если функция u = f (M ) определена и непрерывна на

замкнутом ограниченном множестве {M} точек пространства Rm, то функция u = f (M ) :

а) ограничена на {M}, то есть существует число C > 0 такое, что для любых M {M}, | f (M ) |< C;

б) достигает на множестве {M} своих точных верхней и нижней граней;

в) принимает все промежуточные значения между своими минимальным и максимальным значениями;

г) равномерна непрерывна на множестве {M}, то есть для любого ε > 0 существует δ(ε) > 0 такое, что для любых

338