Kretov_vse
.pdf§ 8.5. àÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌË Ëðð‡ˆËÓ̇θÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ
а) ∫ |
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dx |
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= 2arctg |
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x |
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+C |
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( |
1− x2 |
=1+ yx); |
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1− x |
2 |
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+ 1− x |
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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б) ∫ |
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dx |
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= −2arctg |
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1− x |
+C |
( |
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1− x2 |
= (1+ x) y); |
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1− x |
2 |
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1+ x |
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в) ∫ |
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dx |
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= 2arctg |
1+ x |
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+C |
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( |
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1− x2 |
= (1− x) y). |
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1− x |
2 |
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|
1− x |
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Вычислить интегралы: |
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2326. ∫ |
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dx |
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. 2327. ∫ |
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|
|
dx |
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. |
2328. ∫ |
|
dx |
|
. |
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x |
2 |
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4x |
2 |
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3 |
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1+ x − x |
2 |
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+ 2x −1 |
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+ 4x − |
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2329. ∫ |
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dx |
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. |
2330. ∫ |
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3 |
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x |
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|
dx. |
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2x |
2 |
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3 |
x |
2 |
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|
|
x |
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−6x +5 |
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− |
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|||||||||||||
2331. ∫ |
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3 |
|
x |
|
|
|
dx. |
2332. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
2333. ∫ |
|
3 1+ 4 x |
dx. |
|||||||||||||||
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x( x + |
3 |
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x ax +b |
2 |
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|
x) |
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|
x |
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1− |
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1 |
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||
2334. ∫ |
|
dx |
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. |
2335. ∫ |
|
3 |
x |
|
dx. |
|
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||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||
4 |
1+ x |
4 |
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|
|
x |
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|||||||||||||||||
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§ 8.6. аМЪВ„рЛрУ‚‡МЛВ ЪрЛ„УМУПВЪрЛ˜ВТНЛı ЩЫМНˆЛИ |
|
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Интегралы |
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|
вида |
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|
∫sin ax sin bxdx; |
∫cosax cosbxdx; |
∫sin ax cosbxdx находятся с помощью формул: sinα sin β = 12 (cos(α − β) −cos(α + β));
261
§ 8.6. аМЪВ„рЛрУ‚‡МЛВ ЪрЛ„УМУПВЪрЛ˜ВТНЛı ЩЫМНˆЛИ
2339. |
∫sin2 xdx. |
|
|
|
|
2340. ∫cos3 3xdx. |
|
|
|
2341. ∫sin3 2xdx. |
|
|
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||||||||||||||||||||||||
2342. |
∫cos5 xdx. |
|
|
2343. ∫ctg3 xdx. 2344. ∫ |
|
|
dx |
|
. 2345. |
∫ |
dx |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
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sin x |
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cosx |
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∫ |
cosx +sin x |
dx. |
2347. ∫ |
sin3 xdx |
|
|
|
2348. ∫ |
|
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|
|
|
dx |
|
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|||||||||||||||||||
2346. |
sin 2x |
|
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|
cos4 x . |
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|
. |
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||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
sin xcos3 x |
|
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||||||||||||||||||||||||||||
2349. |
∫cosxcos3xdx. |
2350. ∫sin x sin 3xdx. |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2351. |
∫sin 2xcos4xdx. |
2352. ∫cos2x sin 4xdx. |
|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
2353. |
∫cosxcos3xcos5xdx. 2354. ∫sin x sin 2x sin 3xdx. |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
2355. |
∫sin2 xcos2 3xdx. |
|
|
2356. ∫cos4 x sin2 xdx. |
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|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||
2357. |
∫cos2 x sin4 xdx. |
2358. ∫sin6 xdx. |
|
|
|
2359. ∫cos6 xdx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2360. |
∫sin x −cosxdx. |
2361. ∫ |
|
1+sin xdx. |
2362. ∫ |
dx |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin x +cosx |
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|
|
tgx |
|
|
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|||||||||
2363. |
∫1sin+tgx2xdx. |
|
|
|
2364. ∫ |
|
|
dx |
|
. |
2365. ∫sincos23 xxdx. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 +3cos |
2 x |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
2367. ∫ |
dx |
|
|
|
2368. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||||||||||||||
2366. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||
sin3 x |
|
|
|
|
|
sin6 x |
|
|
|
sin3 xcos3 x |
|||||||||||||||||||||||||||
2369. |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
. |
2370. ∫tg5 xdx. |
|
|
|
2371. ∫ |
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
sin |
4 |
xcos |
4 |
x |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2372. |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
. 2373. ∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
. 2374. ∫ |
|
|
|
dx |
. |
|
||||||||||||||
sin x +cosx |
|
acosx +bsin x |
|
5 −3cosx |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2375. |
∫ |
dx |
. 2376. ∫ |
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||
5 + 4sin x |
1+sin |
2 x |
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
263
§ 8.7. àÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌË ð‡ÁÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ
|
|
|
xcosx −sin x |
|
|
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|
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1+tgx |
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|
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|
|
arc sin x |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
2405. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
dx. |
|
|
2406. ∫sin 2xdx. |
|
|
|
2407. ∫ |
|
|
1+ x |
dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2408. ∫ |
|
xarc sin x |
dx. |
|
2409. ∫e |
cos2x |
sin 2xdx. |
|
2410. ∫ |
ln cosxdx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2411. |
|
(x |
|
|
+ |
3x |
|
+ x |
+1)dx. |
|
|
|
2413. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
4 |
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2412. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
− ∫ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2414. ∫ |
5x8 +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
x |
4 |
+ 5 x + 3 |
x + |
|
|
2 |
dx |
|
|
|
|
− 5 dx. |
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∫ |
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
( x −1)3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
2415. |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
2416. |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
dx. |
|
|
|
2417. |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 x4 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
)dx. |
|
|
|
2419. ∫4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
4−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2418. |
(2 |
|
|
+ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 + |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∫ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
e−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2420. |
|
e |
|
|
2 |
− |
|
|
2 dx. |
|
2421. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
1 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
x4 |
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2422. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2423. |
|
e |
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
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1+ x |
2 |
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cos |
2 |
x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||
2424. |
∫(sin x +5cosx)dx. |
|
2425. ∫ |
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cos2x |
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|
dx. |
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cos2 x sin2 x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2426. ∫ |
|
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|
dx |
|
|
|
. 2427. ∫ |
|
3tg2 x + 4 |
dx. 2428. ∫ |
|
3 −2ctg2 x |
|
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin2 x cos2 x |
|
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2429. |
∫ |
1−sin3 x |
dx. |
2430. ∫tg |
2 |
xdx. |
|
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|
2431. |
∫ctg |
2 |
xdx. |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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sin2 x |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2432. |
∫ |
sin |
2 |
|
|
x |
|
dx. |
|
2433. |
∫ |
cos |
2 |
|
x |
|
dx. |
|
2434. |
|
∫ |
|
|
|
|
|
x |
|
−cos |
x 2 |
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
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|
2 |
|
2 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
sin |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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265 |
§ 8.7. àÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌË ð‡ÁÌ˚ı ÙÛÌ͈ËÈ
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tgx |
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||||||
2472. |
∫esin xcosxdx. |
|
|
2473. ∫ |
e |
dx. |
2474. ∫5 |
x3 −8x2dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cos2 x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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2 x |
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1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||
2475. |
∫4 1−6x5 x4dx. |
2476. ∫ |
|
|
dx. |
|
|
|
2477. ∫ |
3x dx |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2478. |
∫ |
3x +5 |
dx. |
|
|
2479. ∫ |
|
|
5x −6 |
|
|
dx. 2480. ∫ |
|
2 −4x |
dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4x +1 |
|
|
|
|
1−3x |
|
|
|
7x −1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
earctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
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||||||
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|
|
x2 |
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
1−3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2481. |
∫ |
|
|
dx. |
|
2482. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
2483. ∫4 |
|
dx. |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1+ x2 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2484. |
∫ |
arccosx |
dx. |
|
2485. ∫e |
−tgx |
sec |
2 |
xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
1− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∫ |
arc sin x + x |
dx. |
2487. ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
2488. ∫ |
|
dx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2486. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1− x2 |
|
x2 −16 |
x2 + 4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4289. |
∫ |
dx |
|
. |
|
|
|
2490. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
. |
|
2491. ∫ |
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
4 − x |
2 |
|
|
|
4 + x |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
dx |
|
2493. ∫ |
|
dx |
|
. 2494. ∫ |
|
|
|
dx |
|
2495. ∫ |
|
|
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2492. |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 −5 |
|
x2 +3 |
|
2 − x2 |
4x2 +5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
dx |
|
|
|
. |
|
2497. ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|
|
2498. ∫ |
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2496. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25 −4x2 |
|
|
|
3 + 2x2 |
|
|
9x2 −1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2499. |
∫ |
dx |
. |
|
|
2500. ∫ |
dx |
. |
|
2501. ∫ |
|
|
dx |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 −3x2 |
|
3 −5x2 |
|
|
|
9x2 −5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
xdx |
|
|
|
|
|
2503. ∫ |
|
|
|
x3dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2504. ∫ |
|
exdx |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2502. |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||
2 − x |
4 |
|
|
|
|
|
|
x |
8 |
|
|
|
− |
3 |
|
|
|
|
|
5 −e |
2 x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
sin 2xdx |
|
|
|
|
|
|
|
2x −3 |
|
|
|
|
|
2507. ∫ |
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2505. |
∫ |
|
. |
2506. ∫ x2 −4dx. |
|
|
|
dx. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 −cos2 2x |
|
x2 +1 |
|
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267