Kretov_vse
.pdf
§ 9.8. з‡ıУК‰ВМЛВ НУУр‰ЛМ‡Ъ ˆВМЪр‡ ЪflКВТЪЛ
3142. Найти координаты центра тяжести однородного полушара. Радиус шара R.
3143. Найти координаты центра тяжести однородной полусферы. Радиус сферы R.
3144. Найти координаты центра тяжести однородного тела, полученного вращением площадки, ограниченной линиями y = 9 − x2 , y = 0, где x ≥ 0, вокруг оси у.
3145. Найти координаты центра тяжести дуги цепной ли-
нии y = ach ax , −a ≤ x ≤ a.
3146. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной дугой эллипса x = a cost, y = b sint, расположенной в
первой четверти, и осями координат.
3147. Найти площади поверхностей и объемы колец (торов), образованных вращением круга (x −a)2 +( y −b)2 ≤ r2 вокруг осей Ох и Оу ( a ≥ r,b ≥ r ).
3148. Пользуясь теоремой Гульдина, найти координаты центра тяжести четверти круга x2 + y2 ≤ r2 .
3149. Найти координаты центров тяжести полуокружности
y = r2 − x2 и полукруга, ограниченного этой полуокружно-
стью и осью Ох.
3150. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограни-
ченной линиями x = 0, x = π2 , y = 0, y = cosx.
3151. Найти координаты центра тяжести параболического сегмента, ограниченного линиями y = 4 − x2 , y = 0.
3152. Найти координаты центра тяжести дуги астроиды x = a cos3t, y = a sin3 t (в первой четверти).
3153. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями y = 2x − x2 , y = 0.
321
§ 9.9. З˚˜ЛТОВМЛВ р‡·УЪ˚ Л ‰‡‚ОВМЛfl
бДСДзаь
В задачах 3158—3162 вес кубического метра воды считать равным 1000 кГ. При решении этих задач следует опираться на тот факт, что давление жидкости во все стороны одинаково.
3158. Вычислить силу давления воды на прямоугольные ворота шлюза, имеющие 20 м в ширину и 16 м в глубину, если их верхняя грань лежит на поверхности воды.
3159. Вычислить величину давления на прямоугольник, вертикально погруженный в воду, если известно, что основание его равно 5 м, высота 4 м, верхнее основание параллельно свободной поверхности воды и находится на глубине 5 м.
3160. Плотина имеет форму равнобочной трапеции, две горизонтальные стороны которой имеют длину соответственно 200 и 50 м, а высота равна 10 м. Вычислить величину давления на плотину, если верхнее более длинное основание лежит на уровне свободной поверхности воды.
3161. Пластинка, имеющая форму эллипса с осями 2а и 2b (a >b), наполовину погружена вертикально в воду, так что малая ось лежит на поверхности воды. Вычислить величину давления жидкости на пластинку.
3162. Прямоугольная пластинка со сторонами а и b (a >b) погружена в воду под углом α к поверхности воды. Вычислить величину давления на пластинку, если большая сторона ее параллельна поверхности и лежит на глубине h.
3163. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду, наполняющую цилиндрическую цистерну, имеющую радиус 2 м и глубину 5 м.
3164. Котел, имеющий форму полушара радиуса r, наполнен водой. Какую работу необходимо затратить, чтобы выкачать воду из этого котла?
3165. Шар радиуса r погружен в воду. Какую работу необходимо затратить, чтобы извлечь шар из воды, если удельный вес шара и воды равен 1?
323
§ 9.9. З˚˜ЛТОВМЛВ р‡·УЪ˚ Л ‰‡‚ОВМЛfl
3175. Из цилиндрической цистерны выкачивается жидкость. Какую работу надо совершить при этом, если длина цистерны равна а, а диаметр — d?
3176. Цилиндрический баллон диаметром 0,24 м и длиной 0,8 м наполнен газом под давлением 2 кПа. Какую работу надо совершить при сжатии газа до объема, в два раза меньшего?
3177. Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндрическом баке высотой h=4 м и радиусом r=2 м (ρ=900 кг/м3), на стенки бака на каждом метре глубины.
3178. В жидкость с плотностью ρ погружена круглая пластинка диаметром d, касающаяся поверхности жидкости. Найти силу давления жидкости на пластину.
§ 9.10. ирЛ·ОЛКВММУВ ‚˚˜ЛТОВМЛВ УФрВ‰ВОВММ˚ı ЛМЪВ„р‡ОУ‚
Точное вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона — Лейбница не всегда возможно или целесообразно. В этих случаях, а также в случае, когда подынтегральная функция задана табличным способом, определенные интегралы вычисляют приближенно.
К простейшим формулам приближенного вычисления определенных интегралов относятся формулы прямоугольников, формула трапеций, формула парабол (формула Симпсона).
Формулы прямоугольников имеют вид:
b |
n−1 |
∫ f (x)dx ≈h∑yk = h( y0 + y1 + y2 +... + yn−1 ) ; (9.10.1) |
|
a |
k =0 |
b |
n |
∫ f (x)dx ≈h∑yk = h( y1 + y2 +... + yn ) , (9.10.2) |
|
a |
k =1 |
где
h = b −n a ; yk = f (xk ) ; xk = a + kh (k = 0,1,2,…,n). (9.10.3)
325
§ 9.10. ирЛ·ОЛКВММУВ ‚˚˜ЛТОВМЛВ УФрВ‰ВОВММ˚ı ЛМЪВ„р‡ОУ‚
Правая часть формулы (9.10.4) выражает площадь фигуры, состоящей из трапеций высота каждой из которых равна h (рис. 9.6).
Остаточный член Rn приближенной формулы (9.10.4) удовлетворяет неравенству:
| R |≤ |
(b −a)3 M |
|
, |
(9.10.5) |
|
|
|||||||
12n2 |
|
|
|
|
|||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9.6 |
|
|||
где M = max | |
f ''(x) | . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
a≤x≤b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Формула парабол (или формула Симпсона) имеет вид: |
||||||||||||
|
|
|
∫b |
f (x)dx ≈ h [y0 + 4( y1 + y3 +...+ y2n−1 ) + |
|
||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+2( y2 + y4 +...+ y2n−2 ) + y2n ], |
(9.10.6) |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = |
b −a |
; |
x |
= a + kh ; y |
|
= f (x ) (k = 0,1,2,…,2n). (9.10.7) |
|||||||
|
k |
||||||||||||
|
|
|
2n |
k |
|
|
|
|
k |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для остаточного члена Rn формулы (9.10.6) выполняется |
||||||||||||
неравенство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| R |≤ |
(b −a)5 M |
, |
(9.10.8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
180 (2n)4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
где M = max | f IV (x) | .
a≤x≤b
327
§ 9.10. ирЛ·ОЛКВММУВ ‚˚˜ЛТОВМЛВ УФрВ‰ВОВММ˚ı ЛМЪВ„р‡ОУ‚
По формуле трапеций, приняв n =8, вычислить следующие интегралы при указанных значениях параметра р:
3197. ∫1 |
dx |
|
: 1) p = 1; 2) p =2; 3) p =3; 4) p =4; 5) p =5; |
||
|
|||||
0 |
1+ px |
||||
6) p =6; 7) p=7; 8) p =8; 9) p =9; 10) p =10. |
|||||
1 |
dx |
|
|||
3198. ∫0 |
: 1) p =1; 2) p =2; 3) p =3; 4) p=4; 5) p=5; |
||||
x2 + p2 |
|||||
6) p =6; 7) p=7; 8) p =8; 9) p =9; 10) p =10. |
|||||
1 |
dx |
||||
3199. ∫0 |
|||||
|
: 1) p =1; 2) p =2; 3) p =3; 4) p=4; 5) p=5; |
||||
x3 + p |
|||||
6) p =6; 7) p=7; 8) p =8; 9) p =9; 10) p =10.
3200. На сколько частей нужно разбить промежуток интегрирования, чтобы по формуле трапеций с точностью до 0,001
π
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
|
1,2 |
|
вычислить интегралы: 1) ∫dx; |
2) ∫2 cos |
dx; 3) |
∫sin xdx ? |
|||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 x |
0 |
2 |
|
0 |
|
3201. По формуле трапеций с точностью до 0,01 вычислить |
||||||||||
|
3 |
|
dx |
|
2 |
1,2 |
|
|
|
|
интегралы: 1) ∫ |
|
; 2) |
∫dx; |
3) ∫ex dx . |
|
|||||
|
|
|
||||||||
|
0 |
x + 2 |
1 x |
0 |
|
|
|
|||
По формуле парабол, приняв 2n =10, вычислить интегралы |
||||||||||
при указанных значениях параметра р: |
|
|
|
|||||||
3202. ∫1 |
dx |
|
: 1) p =1; 2) p =2; 3) p =3; 4) p=4; 5) p =5; |
|||||||
x + p |
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
6) p =6; 7) p=7; 8) p =8; 9) p =9; 10) p =10.
3203. ∫1 dx : 1) p =1; 2) p =2; 3) p =3; 4) p=4; 5) p =5;
0 1+ px2
6) p =6; 7) p=7; 8) p =8; 9) p =9; 10) p =10.
329
