Kretov_vse
.pdf
§ 6.4. èð‰ÂÎ ÙÛÌ͈ËË
1186. |
lim |
|
3 x3 +1 − 4x2 −1 |
. 1187. |
lim |
(n +1)(n + 2)(n +3) |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x +7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n4 + n2 + |
1 |
||||||||||||||||||
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|||||||||||||||||
1188. |
lim |
|
|
|
x2 −1 − 3 x3 + 2 |
. 1189. |
lim |
|
|
2x2 +3x |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
7x + 4 x4 +1 |
|
|
x3 −2x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x→−∞ |
|
|
|
|
x→+∞ 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
3x |
2 |
+1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x − |
1− x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1190. |
lim |
|
+ 2x−1 |
. |
|
|
1191. |
lim |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→∞ |
4 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1192. |
lim |
|
|
1−tgx − |
1+tgx |
|
. 1193. |
lim |
|
|
x2 + 4x − x . |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ ( |
|
|
|
|
|
) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1194. |
xlim→+∞ ( |
x2 +3x +1 − x2 −3x − 4 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1195. |
xlim→−∞ ( |
x2 + 4 − |
|
x2 −3x +1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1196. |
xlim→+∞ (x − |
x2 + x +1). |
|
|
1197. |
xlim→+∞ (x − x2 −a2 ). |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 + x + x2 |
− |
9 |
−2x + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1198. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→2 x2 −3x + 2 |
|
|
|
−3x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1199. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
. |
|
|
|
1200. |
lim |
|
1+ x + x2 −1 |
|
. |
|
|||||||||
|
|
1+ x − 3 1− x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→0 3 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1201. |
xlim→+∞ ( |
1+ x2 − x). |
|
|
|
|
1202. |
xlim→−∞ ( |
1+ x2 |
− x). |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3 |
|
1+ x2 − 1+ x2 |
|
|
|
lim |
|
|
3 1+ x2 −1 |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
1203. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
1204. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x3 + 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
3x2 +1 −1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
1205. |
lim sin 3x . |
|
|
|
|
|
|
|
1206. |
lim sin 4x . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
sin 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
181
ЙО‡‚‡ VI. З‚В‰ВМЛВ ‚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ‡М‡ОЛБ
1207. lim sin10x . x→π sin 9x
1209. |
lim |
sin2 2x |
. |
|
x2 |
|
|||
|
x→0 |
|
|
|
1211. |
lim tgx −sin x . |
|||
|
x→0 |
x3 |
|
|
1213. |
lim |
arctg(2x −1) |
. |
|
|
||||
|
x→1 |
4x2 −1 |
||
|
2 |
|
|
|
1208. |
lim |
sin x |
. |
|
|
||
|
|||||||
|
x→∞ |
|
|
x |
|||
1210. |
lim |
1−cos2x . |
|||||
|
x→0 |
|
|
x sin x |
|||
1212. |
lim |
|
|
sin 7x |
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
x→0 |
|
|
x +1 −1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1214. lim |
|
|
1+sin x − 1−sin x |
. |
|||
|
|
|
|||||
|
x→0 |
|
|
|
2x |
||
|
arc sin(x + 2) . |
|
|
|
|
− |
1 |
|
1215. lim |
1216. lim sin(x −3) |
+ 4 |
|
( x−3)2 |
. |
|||
x→−2 |
x2 + 2x |
x→3 |
|
x2 −9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1217. |
lim |
|
sin2 3x |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1+ x sin x −cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1218. |
lim |
cos(α + x) −cos(α − x) |
. |
1219. lim |
|
2x sin x |
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
sec 2x −1 |
|||||||||
1220. |
lim |
sin(x +b) +sin(x −b) |
. |
1221. lim |
|
1−cos10x |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
1−cos15x |
|||||||||||
1222. |
lim x ctgx. |
|
|
|
1223. lim 3n sin |
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
3n |
|
|
|
|
|
|
||||||
1224. |
lim |
|
cosmx −cosnx |
. |
1225. |
lim |
cosx − 3 cosx |
. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1226. |
lim |
|
3 |
1+ 2x −1 |
. |
|
1227. |
lim |
|
|
4 1+ x −1 |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
5 1 |
+ 2x − |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
1228. |
lim |
7 |
x −1 |
. |
|
|
|
1229. |
lim |
|
sin3 3x |
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
8 |
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 1 |
−3x2 −1 |
|
|
|
|||||||||||||
182 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 6.4. èð‰ÂÎ ÙÛÌ͈ËË
1230. |
lim |
3 1+ 2x − 7 1−3x |
. |
|||||||||||||
|
|
8 |
1+ x −1 |
|
||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1232. |
lim |
( 5 x −1) (2x−1 −1) |
. |
|||||||||||||
|
|
cos(x −1) − |
1 |
|
||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|||||||||||
1234. |
lim |
1+ 3 |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→−1 1+ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1236. |
lim |
x6 −1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x10 − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1238. |
lim ln x −1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→e |
x −e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1240. |
lim |
ln tgx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→π |
cos2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1242. |
lim n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|||
|
ln cos |
. |
|
|
||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
1244. |
lim |
ln(tgx) |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→π |
1−ctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1246. |
lim |
4x |
−64 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1248. |
lim |
4x −10x |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
3x − |
7x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1250. |
lim x ln |
4 + x |
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
2 + x |
|
|
|
|
|||||||
1231. |
lim |
|
3 cosx −1 |
. |
||
|
5 cos2x −1 |
|||||
|
x→0 |
|
|
|||
|
|
4 |
|
|
|
|
1233. |
lim |
|
x5 |
−1 |
. |
|
|
3 |
|
||||
|
x→1 |
|
x2 |
−1 |
|
|
1235. |
lim |
|
|
1+ x + x2 −1 |
. |
||||||
|
|
|
|
3x |
|
|
|||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1237. |
lim |
|
|
3 cosx −1 |
. |
|
|||||
|
|
sin2 |
3x |
|
|
||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
lg |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1239. |
lim |
|
10 |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||||||
|
x→10 |
|
|
x −10 |
|
|
|
||||
1241. |
lim |
ln cosαx |
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
ln cosβx |
|
|
|
|||||
1243. |
lim |
ln(log2 x) |
. |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||
|
x→2 |
|
|
x − 2 |
|
|
|
||||
1245. |
lim |
1 |
|
|
|
|
|
||||
an − |
1 n. |
|
|||||||||
|
an→∞>0 |
|
|
|
|
|
|
||||
1247. |
lim |
|
3x −2x |
|
|
|
|||||
|
|
x |
. |
|
|
|
|
||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1249. |
lim |
|
|
e4 x |
|
−e3x |
. |
||||
|
sin 4x −sin 3x |
||||||||||
|
x→0 |
|
|
||||||||
1251. |
lim |
|
|
e−2 x −1 |
|
. |
|
|
|||
|
arc sin x |
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
||||||
183
ЙО‡‚‡ VI. З‚В‰ВМЛВ ‚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ‡М‡ОЛБ
|
|
|
7 |
x |
|
−1 |
|
|
|||
1252. |
lim |
2 |
|
. |
|||||||
ln(1+ |
3x) |
||||||||||
|
x→0 |
|
|
||||||||
1254. lim |
|
lg(1+10x) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→0 log7 (1+5x) |
||||||||||
1256. |
lim |
2x −1 |
. |
|
|
||||||
3x − |
1 |
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
||||||
1258. |
lim |
3tgx −3sin x |
. |
||||||||
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
x 3 |
|
|
|||||
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
1253. lim x[ln(2x +5) −ln(2x +1)]. |
|||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
. |
1255. |
lim |
e3x −1 |
. |
|
|
e5x −1 |
|
|
||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
1257. |
lim |
4x −1 |
|
. |
|
|
arccosx |
|||||
|
|
x→0 |
|
|||
|
1259. |
lim |
4x−2 −1 |
. |
|
|
|
3x−2 −1 |
|
||||
|
|
x→2 |
|
|
||
1260. |
lim |
|
|
5x −55 |
. |
|||||||||
arctg(x −5) |
||||||||||||||
|
x→5 |
|
||||||||||||
1262. |
lim |
ln(1+ x) |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
ln(1−2x) |
|
|||||||||||
1264. |
lim |
ln(ln x) |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→e |
2x −2e |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1266. |
lim x ln |
3x −1 |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
3x −6 |
|
||||||||
|
|
2x +3 |
x+1 |
|
||||||||||
1268. |
lim |
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→∞ |
2x +1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
cosx |
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
||||||||
1270. |
lim |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→0 |
cos3x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
α |
|
|
n |
|
|||||
1272. |
lim cos |
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
n |
|
||||||||
1261. |
lim |
|
5 x −1 |
|
. |
|
|||
|
ex−1 −1 |
|
|||||||
|
x→1 |
|
|
|
|||||
1263. |
lim ln(1+sin x) . |
||||||||
|
x→0 |
|
|
2sin 3x −1 |
|||||
1265. |
lim |
log3 x −1 |
. |
||||||
|
|
|
|||||||
|
x→3 |
|
|
x −3 |
|
|
|||
|
|
x +1 |
x |
||||||
1267. |
lim |
|
|
|
. |
||||
|
|||||||||
|
x→∞ |
x −1 |
|
||||||
|
|
2 |
−1 |
2 x2 |
|||
1269. |
lim |
x |
|
. |
|||
|
x |
2 |
|
||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x n |
|||
1271. |
lim cos |
|
|
. |
|||
|
|
||||||
|
n→∞ |
|
|
n |
|||
1273. |
lim(tgx)tg 2 x . |
||||||
|
x→π |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
184
|
|
§ 6.4. èð‰ÂÎ ÙÛÌ͈ËË |
1274. lim(cosx)ctg 2 x . |
1275. lim(sin 2x)tg 2 2 x . |
|
x→0 |
x→ |
π |
|
4 |
|
|
sin x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x−2 |
. |
||
1276. lim |
|
|||
x→2 |
sin 2 |
|
|
|
1278. |
lim n[ln n −ln(n +2)]. |
|||||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim(1+sin2 x) |
|
|
1 |
. |
|||||||||||
1280. |
ln cosx |
|||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1282. |
lim(2 − x) |
|
sin( x−1) |
. |
||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π x |
|
|
|
|
|
|||
1284. |
lim(2 − x)sec 2 . |
|
|
|||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
ctg |
π x |
|
|
|||||||
1286. |
lim |
2 − |
|
|
5 |
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1288. |
lim |
|
|
|
cos7x −1 |
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→0 3 1+3x2 −1 |
|
|
|||||||||||||
1290. |
lim |
x +sin x |
. |
|
|
|
|
1291. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
3 + 2x |
|
|
|
|
|
|
|||||
1292. |
lim |
|
|
|
x3 −1 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
sin(x −1) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1294. |
lim |
|
|
x2 + x −2 |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
x2 + |
|
2x |
|
|
|
|
|||||||
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1296. |
lim |
3 −10n |
. |
|
|
|
||||||||||
4 +10n+1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
n→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1277. |
lim n[ln(n + 4) −ln n]. |
|||||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1279. |
lim(e3x + x)x . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1281. |
lim(2x +sin 3x)ctg3x . |
|
|
|||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim(cos4x + 2x2 ) |
1 |
|
|
|
|||||||||
1283. |
x2 |
. |
|
|
||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
1285. |
lim(ex2 cosx) |
x2 |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1287. |
lim |
3 + x cosec x |
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→∞ |
|
7 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1289. |
lim 1+ x sin x −cos2x . |
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
sin2 x |
|
|
|
|
|
|||||
xlim→−∞ ( |
x2 +3x − |
x2 −3x ). |
|
|
||||||||||
|
|
|
1−2x |
+ |
|
−x2 |
|
|||||||
1293. |
lim |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
. |
|||
3 1+ |
8x3 |
|
|
|||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1295. |
lim |
|
1−5n |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n→+∞ 1+5n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
−1) |
|
||||
1297. |
lim |
sin 4x (3 1+3x2 |
. |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
x→0 |
|
|
x ln(cos3x) |
|
|
||||||||
185
ЙО‡‚‡ VI. З‚В‰ВМЛВ ‚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ‡М‡ОЛБ
1298. lim |
23x − 2 |
. |
1299. lim |
2x log |
|
3 |
+ x |
. |
|
x→ |
1 |
6x −1 |
|
x→∞ |
|
2 4 |
+ x |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1300. lim
x→1
1302. lim
x→0
1304. lim
x→2
1306. lim
x→0
1308. lim
x→0
1310. lim
x→π2
arc sin(1− x) |
|
|
7 |
x2 |
|
|
|
. |
1301. lim cos |
|
. |
1− x |
2 |
x |
|||
|
|
x→∞ |
|
||
sin 3x −sin 2x |
. |
|
1303. lim |
(x2 |
−5x +6)sin(x −2) |
. |
||||||||||||||
sin 5x −sin 4x |
|
|
|
|
x2 −4x + 4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
α |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
. |
|
|
|
1305. lim(1+sin x) |
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|||||||||||
xβ |
− 2β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7 1+sin x −1+tgx |
. 1307. lim |
tg2x −sin 2x |
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
3 1 |
+ x3 −1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
||||||
4x −2x |
. |
1309. |
lim |
cos(3x −9) −cos(2x −6) |
. |
|
|
|||||||||||||
|
|
x |
|
x2 −6x +10 −1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
sin x −1 |
|
|
. |
1311. lim |
cos3x −cosx |
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
log3 (3 + x2 ) −1 |
|
||||||||||
|
x2 −π x + |
|
+1 −1 |
|
|
x→0 |
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1312. lim |
x +13 − 2 x +1 |
. |
|
||
x→3 |
log3 x −1 |
|
|
|
|
1314. |
lim |
|
|
4x −16 |
. |
|
|
|
5 |
3 − x −1 |
|
|
|||||
|
x→2 |
|
|
|
||||
1316. |
lim |
|
|
|
x −3 − |
2x −7 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→4 |
|
|
x2 −3x −4 |
|
|
||
1318. |
lim |
|
|
x + 3 x + 5 x |
. |
|
||
|
|
|
x +1 |
|
||||
|
x→+∞ 3 x + 2 3 |
|
|
|||||
1313. lim log4 cos(x −1) .
x→1 5 2 + x2 − 2x −1
1315. |
lim |
|
|
x2 +1 +5sin x |
. |
||
|
|
x +1 |
|||||
|
x→−∞ |
|
|||||
1317. |
lim |
|
|
|
3 x −2 |
. |
|
|
x2 |
−7x −8 |
|
||||
|
x→8 |
|
|
||||
186
§ 6.4. èð‰ÂÎ ÙÛÌ͈ËË
1319. lim |
log3 (1+3x) + log3 (1+3x) |
|
x2 |
||
x→0 |
1320. |
lim sin x −sin 5 . |
|
|
|||||
|
x→5 |
x − |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1322. |
lim |
cosπ x |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
x→1 |
ctg7π x |
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1324. |
lim |
2x −8 |
. |
|
|
|
|
|
sin π x |
|
|
|
|
||||
|
x→3 |
|
|
|
|
|
||
1326. |
lim |
|
3 x −1 − |
3 3x −5 |
. |
|
||
|
sin π x |
|
||||||
|
x→2 |
|
|
|||||
1328. |
lim |
sin 5x +sin 6x +sin 7x |
. |
|||||
|
||||||||
|
x→π |
sin 9x −sin 4x |
||||||
.
|
|
|
|
tg π x |
|
|
|
|
|
||
1321. |
lim |
7 |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→7 |
x −7 |
|
|
|
|
|
||||
1323. |
lim |
3 sin x −cosx |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x→π |
36x2 −π 2 |
|
|
|||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1325. |
lim |
2cosx −1 |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
x→π |
3x − π |
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1327. |
lim |
|
3 2x +3x − 2 |
. |
|
||||||
|
ctg π x |
|
|
|
|
||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
sin π x |
|
|
|
|
|
||
1329. |
lim |
|
3 |
|
|
|
. |
|
|||
|
log3 (2x − |
17) |
|
||||||||
|
x→9 |
|
|
||||||||
§ 6.5. зВФрВр˚‚МУТЪ¸ ЩЫМНˆЛЛ
Определение 1. Функция у= f(x) называется непрерывной в
точке х= х0, если lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Определение 2. Приращением переменной величины х называется разность между новым значением этой величины х1 и
ее прежним значением x : x = x1 − x .
Определение 3. Функция y = f(x) называется непрерывной в данной точке х= х0, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:
187
ЙО‡‚‡ VI. З‚В‰ВМЛВ ‚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ‡М‡ОЛБ
lim ∆y = lim |
[ f (x0 +∆x) − f (x0 )] = 0 . |
(6.5.1) |
|
∆x→0 |
∆x→0 |
|
|
Определение 4. Функция называется непрерывной в данном промежутке, если она непрерывна в каждой точке данного промежутка.
Сумма конечного числа функций, непрерывных в некотором промежутке, и их произведение есть непрерывная функция в том же промежутке. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция, непрерывная во всех точках, в которых делитель отличен от нуля.
Если y = f (z), z =ϕ(x) — непрерывные функции своих аргументов, то сложная функция y = f [ϕ(x)] является не-
прерывной функцией независимой переменной х. Определение 5. Функция f(x) непрерывна в точке х= х0 то-
гда и только тогда, когда она непрерывна слева и справа в этой точке, то есть
|
lim |
f (x) = |
lim |
f (x) = f (x0 ) . |
(6.5.2) |
|
x→x0 −0 |
x→x0 +0 |
|
|
|
Определение 6. Если в точке х0 существуют конечные од- |
|||||
носторонние |
пределы, но |
lim |
f (x) ≠ lim f (x), |
или же |
|
|
|
|
x→x0 −0 |
x→x0 +0 |
|
lim f (x) = |
lim |
f (x), а значение функции f(x0) не совпада- |
|||
x→x0 −0 |
x→x0 +0 |
|
|
|
|
ет с односторонними пределами, то х0 называется точкой разрыва первого рода.
Определение 7. Если в точке х0 существует конечный пре-
дел lim f (x), а функция f в точке х0 не определена или
x→x0
lim f (x) ≠ f (x0 ) , тох0 называетсяточкойустранимогоразрыва.
x→x0
Определение 8. Если в точке х0 не существует хотя бы один из односторонних пределов, то х0 называется точкой разрыва второго рода.
Все простейшие элементарные функции (c, xα, ax, loga x, sin x, cos x, arc sin x, arc cos x, arc tg x,arc ctg x) непрерывны в ка-
ждой точке своих областей определения.
188
§ 6.5. зВФрВр˚‚МУТЪ¸ ЩЫМНˆЛЛ
Пусть |
функция |
f |
определена |
и |
непрерывна |
на |
отрезке |
|
[a;b] |
и принимает на его концах разные знаки. Тогда найдет- |
|||||||
ся хотя бы одна точка x0 (a;b) , что |
f (x0 ) = 0. |
|
|
|||||
Пусть |
функция |
f |
определена |
и |
непрерывна |
на |
отрезке |
|
[a;b] |
. Тогда для любого числа С, заключенного между числа- |
|||||||
ми f(a) и f(b), найдется такая точка x0 [a;b], что |
f (x0 ) = C. |
|||||||
Пусть |
функция |
f |
определена |
и |
непрерывна |
на |
отрезке |
|
[a;b] |
. Тогда эта функция ограничена на этом отрезке. |
|
||||||
Пусть |
функция |
f |
определена |
и |
непрерывна |
на |
отрезке |
|
[a;b] |
. Тогда эта функция принимает на отрезке |
[a;b] свои |
||||||
наибольшие и наименьшие значения, то есть |
существуют та- |
кие точки x1, x2 [a;b], что для любой точки x [a;b] спра- |
|
ведливы неравенства |
|
f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) . |
(6.5.3) |
бДСДзаь
Исходя из определения, доказать непрерывность функций: 1330. у = х2+х – 2 для всех x (−∞, +∞) .
1331. у = х3– 2х +4 для всех x (−∞, +∞) .
1332. y = x1+1 для всех x (−∞, +∞) , кроме х = – 1.
1333. y = sin(3x + 2) для всех x (−∞, +∞) . 1334. y = cos(ax +b) для всех x (−∞, +∞) .
В задачах 1335—1350 исследовать функции на непрерывность, непрерывность справа и слева, установить род точек разрыва:
1335. y = E(x). 1336. y ={x} = x − E(x).
189
ЙО‡‚‡ VI. З‚В‰ВМЛВ ‚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ‡М‡ОЛБ
1337.
1339.
1342.
1344.
1345.
y = E(x) + E(−x). |
1338. |
|
y = |
| x | |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y = x + |
1 |
. |
|
1340. |
y = |
1 |
|
. |
|
1341. y = |
1 |
. |
|||
|
x |
|
x2 |
|
|
x2 −1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
y = e |
x |
. |
|
|
|
|
1343. |
y = tg |
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
2 − x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x2 |
при −∞< x<1, |
|
|
|
|
|
|
|||||
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2x −1 при 1 ≤ x < ∞. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
π |
x при −∞< x<1, |
|
|
|
|
|
|
|||||
cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x −1 при 1 ≤ x < ∞. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
при x < 0, |
− |
x |
|||
|
при1 ≤ x < 2, |
|
|
1346. y = x |
1347. y = 1 |
||
|
при 2 ≤ x ≤ 3. |
|
|
3 |
x |
||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1x при x<0,
при 0 ≤ x <1, при 1 ≤ x ≤ 2,
при 2< x ≤ 3.
x для рационального x,
1348. y(x) =
0 для иррационального x.
1349. y = lim(xn +3) при 0 ≤ x ≤1.
n→∞
1350. y = lim xn + x при 0 ≤ x ≤1.
n→∞
1351. На горизонтальной плоскости Р стоят один на другом три цилиндра, радиусы основания и высоты которых соответственно равны: нижнего 3 и 2, среднего 2 и 3 и верхнего
1и 1 м.
1)Выразить объем части тела, заключенного между плоскостью Р и плоскостью горизонтального сечения, как функ-
190