Kretov_vse

§ 6.3. ирВ‰ВО ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУТЪЛ

кое натуральное число N, что при всех n > N выполняется неравенство |xn – a| < ε .

Обозначение предела последовательности: lim x n = a или

n→∞

xn → a при n → ∞.

Определение 2. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; последовательность, у которой нет предела, — расходящейся.

Неравенство |xn – a| < ε равносильно неравенствам

– ε < xn – a < ε или a – ε < xn – a < a + ε .

Определение 3. Всякий интервал вида (a – ε , a + ε ), где ε > 0, называется ε -окрестностью точки а на числовой прямой. Определение предела имеет следующий геометрический

смысл: число а является пределом последовательности {xn} ,

если в любой ε -окрестности точки а содержатся почти все элементы хn, то есть вне этой окрестности находится лишь конечное число элементов данной последовательности.

Из определения предела и его геометрического смысла следует, что предел постоянной равен этой постоянной, то

есть lim c = c , и последовательность может иметь только

n→∞

один предел.

Определение 4. Бесконечно малой называется последовательность, предел которой равен нулю.

Если {an} и {bn } — бесконечно малые последовательности, то их сумма, разность и произведение также являются бесконечно малыми последовательностями, если {an} — бесконечно

малая последовательность, а {bn } — ограниченная последова-

тельность, то {anbn} — бесконечно малая последовательность. Для того чтобы число а являлось пределом последовательности {xn} , необходимо и достаточно, чтобы xn = a +αn , где

{αn} — бесконечно малая последовательность.

161

ЙО‡‚‡ VI. З‚В‰ВМЛВ ‚ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ‡М‡ОЛБ

Если {xn} , {yn} — сходящиеся последовательности, то их

Определение 5. Последовательность {xn} называется бес-

конечно большой, если для любого сколь угодно большого числа ε > 0 существует такой номер N, что при всех n > N выполняется неравенство |x| > ε , в этом случае пишут

lim xn = ∞ .

n→∞

Если, начиная с некоторого номера xn принимает только положительные или только отрицательные значения, то пишут

соответственно lim xn = +∞ ; lim xn = −∞ .

n→∞ n→∞

Если {an} — бесконечно малая последовательность и

an ≠ 0 при любом n, то последовательность {bn }, где bn = 1 , an

является бесконечно большой.

Определение 6. Числом е (Неперово число) называется пре-

§ 6.3. ирВ‰ВО ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУТЪЛ

больше: 100n или n!? Начиная с какого n последовательность

больше: 2n или n1000? Начиная с какого n последовательность

nk

cn будет монотонно убывать?

165

§ 6.3. ирВ‰ВО ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУТЪЛ

§ 6.4. èð‰ÂÎ ÙÛÌ͈ËË

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а.

Определение 1 (по Гейне). Число b называется пределом функции f в точке а, если для любой последовательности

x → a .

Это определение предела функции эквивалентно второму определению:

167

§ 6.4. èð‰ÂÎ ÙÛÌ͈ËË

Если предел функции в данной точке а положителен, то и все значения функции в некоторой окрестности этой точки (кроме, быть может, самой точки а) положительны.

Функция, имеющая предел в данной точке, ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Определение 3. Число b называется пределом функции f при х→+ ∞, если для любой положительной бесконечно

большой последовательности {xn} последовательность

{f (xn )} соответствующих значений функции сходится к b.

Обозначение: lim f (x) = b.

x→+∞

На языке эпсилон-дельта определение 3 будет выглядеть следующим образом.

Определение 4. Число b называется пределом функции f при х→+ ∞, если для любого ε > 0 существует такое число M > 0, что для всех значений x > M выполняется неравенство

| f (x) −b |< ε .

Аналогично определяется предел функции f при х→– ∞.

Обозначение: lim f (x) = b.

x→−∞

Определение 5. Функция f имеет в точке а бесконечный предел + ∞(– ∞), если выполнение неравенства 0 < |x–a| δ влечет за собой выполнение неравенства f(x) > M(f(x) < M).

Обозначение: lim f (x) = +∞ ( lim f (x) = −∞).

x→a x→a

Определение 6. Число b называется пределом функции f справа в точке а, если для любого ε >0 существует δ (ε , a)>0