высшая математика

! Задания для самостоятельной работы

1. Доказать сходимость и найти предел последовательности {xn },

131

Лекция 23

Понятие функции

Приводятся определение функции и способы задания функций. Вводятся понятия обратной и сложной функций. Рассматриваются классификация функций и построение графиков функций.

10. При изучении явлений природы, физических, экономических и др. процессов часто встречаются с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что значения одних величин полностью определяют значения других. Например, площадь круга S однозначно определяется значением его радиуса с помощью формулы

S = π r2.

Пусть Х и У – два произвольных множества действительных чисел Х R , У R. Если каждому элементу х из множества Х по некоторому правилу f поставлен в соответствие определенный элемент у из множества У, то говорят, что задана функция f. Для обозначенияf функции f используются такие обозначения : у = f (х), X → Y , f : x → у.

Переменная х называется независимой переменной, или аргументом функции, переменная у – зависимой переменной, или значением функции. Множество Х называют областью определения, или облас-

тью существования функции f. Множество всех значений у, у У

областью определения является множество Х = [–1; 1]. Множеством зна-

132

Графиком функции называется множество всех точек плоскости с координатами (x; f (x) ), т.е. координаты x и y точек г р а ф и к а

связаны соотношением у = f (x). Например, графиком функции у = х2 является парабола. Естественно, что графиком функции не обязательно является «сплошная» кривая. В частности, графиком функции у = n! будет бесконечное множество изолированных точек (нарисуйте!).

20. Способы задания функции. Чтобы задать функцию,

требуется указать правило: как по каждому значению аргумента х находить соответствующее значение функции у = f (x). Существуют три основных способа задания функции: аналитический, табличный и графический.

1) А н а л и т и ч е с к и й с п о с о б . Если зависимость между переменными выражена с помощью формул, то говорят, что функция задана аналитически. Формула, задающая функцию, указывает совокупность действий, которые нужно в определенном порядке произвести, чтобы получить соответствующее значение функции. Рассмотрим, напри-

из полученного числа квадратный корень. Множеством значений является промежуток [0; + ∞ ).

Графиком функции является множество всех точек плоскости с

Данная функция выражена при помощи нескольких формул. Областью определения является вся числовая прямая, множество значений состоит из трех элементов: –1, 0, 1. График см. на рис. 1б. Рассматриваемую функцию обозначают у = sign x.

2) Т а б л и ч н ы й с п о с о б . Предположим, что нас интересует зависимость расхода топлива от скорости движения легкового автомобиля определенной марки. В инструкции к автомобилю имеется следующая таблица:

133

Из таблицы видно, что расход топлива изменяется в зависимости от скорости движения автомобиля и, если каждому значению скорости, записанному в первой строке таблицы, поставить в соответствие число литров топлива, стоящих во второй строке и в этом столбце, то получим функцию, заданную таблично. Областью определения этой функции является множество из 6 чисел, стоящих в первой строке. Множеством значений является также совокупность из 6 чисел второй строки.

С помощью таблицы часто задают функции, значения которых вычислить сложно. Например, широко известны таблицы тригонометрических функций, показательной и логарифмической функций и т.д.

Заметим, что имеются способы перехода от функций, заданных таблично, к функциям, которые заданы аналитически. Безуслов-

но, это можно сделать, как правило, лишь приближенно.

3) Г р а ф и ч е с к и й с п о с о б . В данном случае предполагается, что задан график функции у = f (х) ( см., например, рис. 2).

134

Примерами графического изображения могут быть записи самопишущих приборов ( барографы, осциллографы и т.д.).

30. Понятие обратной и сложной функции. Пусть на множестве Х задана функция f. Обозначим через Y множество значе-

ний функции f на множестве Х, т.е. Y = {f (x) x X }. Возьмем произ-

вольный элемент у Y и поставим ему в соответствие одно или несколько значений переменной х Х таких, что f (х) = у. Таким образом мы определили на множестве Y функцию, которая называется обратной к функции у =f (х) и обозначается х = f –1 (у) или f –1, f –1: у → х. Если каждому у Y соответствует только одно значение х Х такое, что f (х) = у, то говорят, что обратная функция однозначна, если соответствует несколько значений х Х, удовлетворяющих условию f (х) = у, то это соответствие не есть, вообще говоря, функция в обычном смысле. В этом случае говорят, что обратная функция является многозначной. Так, для функции у = 2х существует обратная функция (одно-

значная!) x = 2y , а для функции у = х2 обратная функция является

двузначной: x = ± y .

Предположим, что для функции у = f (х), заданной на отрезке [a; b], существует однозначная обратная функция х = f –1 (y). Пусть множеством значений функции f является отрезок [c; d]. Тогда этот отрезок является областью определения обратной функции f- –1, а отрезок [a; b] – множеством ее значений. Графики функции у = f (х) и ее обратной х = f- –1 (y) будут совпадать, если в первом случае аргумент откладывать вдоль оси Ох, а во втором – вдоль оси Оу (рис. 3).

Если же условиться и в случае функции f, и в случае обратной функции f –1 независимую переменную обозначать через х, а зависимую – через у, то для того, чтобы получить график функции у = f –1 (х) из графика у = f (х), нужно первый график зеркально отобразить относительно биссектрисы I и III четвертей координатной плоскости (рис. 4).

Пусть на некотором мно-

жестве Х задана функция f : х → у с множеством зна-

чений Y, а на множестве Y в

135

свою очередь задана функция g : y → z. Тогда на множестве Х можно определить функцию

ϕ : х → z такую, что z = g (f (x) ). Функция z = ϕ (x)

или z = g (f (x) ) называется сложной функцией, или суперпозицией двух функций y = f (x) и z = g (y). Например, функция

Функция y = e2x+1 также явля-

ется сложной функцией, суперпозицией линейной функции t = 2x + 1 и показательной у = еt.

Функция, заданная уравнением, не разрешенным относительно зависимой переменной, называется неявной. Например, уравнение х2 + у2 = 1 определяет у как неявную функцию от х.

40. Классификация функций производится в зависимости от вида действий, которые необходимо выполнить над значением аргумента, чтобы получить значение функции.

1) Если над значением аргумента и некоторыми постоянными производится конечное число действий сложения, вычитания, умножения и возведения в целую положительную степень , то соответствующая функция называется целой рациональной, или алгебраическим многочленом. Такая функция может быть записана в виде

где n ≥ 0 – целое число, a0, a1,..., an – любые числа, коэффициенты многочлена. Если a0 ≠ 0, то P (x) называют многочленом степени n.

2) Функция R (x), являющаяся отношением двух многочленов (целых рациональных функций), называется дробной рациональной фун-

Множество целых и дробных рациональных функций образует класс рациональных функций.

136

3) Если над аргументом x производятся не только перечисленные выше операции, но и операция извлечения корня, и полученный результат не является рациональной функцией, то говорят, что задана иррацио-

4) Любая функция, не являющаяся рациональной или иррациональной, называется трансцендентной. Простейшими трансцендентными функциями являются:

а) тригонометрические функции: sin x, cos x, tg x, ctg x, sec x, cosec x;

б) обратные тригонометрические функции: arcsin x, arccos x и т.д.; в) показательная функция ах, a > 0, a ≠ 1;

г) логарифмическая функция loga x, a > 0, a ≠ 1.

Функции рациональные, иррациональные, трансцендентные и конечное число их суперпозиций составляют класс элементарных функций. Это те функции, которые и будут изучаться.

50. Построение графиков функций. В настоящем пункте,

предполагая, что графики простейших рациональных и трансцендентных функций известны, рассмотрим построение графиков функций с помощью линейных преобразований.

Пусть задана функция у = f (х) и ее график известен (рис. 5).

ную а (рис. 7).

3) График функции у = k f (х), k > 0 получается из графика функции у = f (х) растяжением в k раз вдоль оси Оу ( при k < 1– сжатием). Если k < 0, то график функции у = k f (х) получается из графика функции у = – k f (х) «зеркальным» отображением относительно оси Ох (рис. 8).

4) График функции у = f (k х), k > 0 получается из графика функции у = f (х) растяжением или сжатием (при k < 1) вдоль оси Ох. При k < 0 нужно «зеркально» отобразить график функции у = f (–k х) относительно оси Оу.

137

симого переменного подставить выражение x1 , то получим:

138

Решение. Очевидно, данная функция определена на промежутке (0, ∞ ). Множеством ее значений является R. С помощью потенцирова-

значений является промежуток (0, + ∞ ).

Пример 4. Представить сложную функцию y = arcsin3x в виде суперпозиции соответствующих функций.

Решение. Данная сложная функция является суперпозицией степенной функции u = 3x и обратной тригонометрической функции y = arcsin u.

Пример 5. Построить график функции

139

5. Построить графики следующих функций:

а) у = х3 – 2; б) у = 1/ (х – 1); в) y = lg (x + 2);

ж) y = |x3 – 3x + 2|; з) y = |1 + ln x|.

6. Построить графики в полярной системе координат: а ) r = 1 (окружность) ; б) r = 1 / sin ϕ (прямая);

140