высшая математика

Рис. 3 Рис. 4

наты и, обратно, каждой паре чисел (х; y) соответствует, и при этом только одна точка М на плоскости Oxy такая, что ее абсцисса равна х, а

ордината – y. Значит, прямоугольная система координат на плоскости устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек плоскости и множеством упорядоченных пар чисел, которое дает возможность при решении геометрических задач применять алгебраические методы.

Оси координат разбивают плоскость на четыре части, их называют четвертями, квадрантами или координатными углами и нумеруют римскими цифрами I, II, III, IV так, как показано на рис. 4. На рис. 4 также указаны знаки координат точек в зависимости от их расположения в той или иной четверти.

Рассмотрим простейшие задачи на применение прямоугольных координат на плоскости.

30. Расстояние между двумя точками.

Теорема 1.

Для любых двух точек M1(x1; y1) и M2(x2; y2) плоскости, расстояние d между ними выражается формулой:

Доказательство. Опустим из точек M2 и M1 перпендикуляры M2A и M1B соответственно на оси Ox и Oy и обозначим через К точку пересечения прямых M2A и M1B (рис. 5).

1 1

Пример 1. Найти расстояние d между точками М1(–1; 2) и

М2(4; 3).

Решение. По формуле (2) находим

d = (4 − (− 1))2 + (3− 2) 2 = 26 .

40. Площадь треугольника.

Теорема 2.

Для любых трех точек А(х1; у1), В(х2; у2) и С(х3; у3), не лежащих на одной прямой, площадь S треугольника АВС выражается формулой:

Доказательство. Площадь треугольника АВС, изображенного на рис. 6, можно найти так:

где SADEC, SBCEF, SABFD – площади соответствующих трапеций. Так как

1 2

то, подставив выражения для этих площадей в равенство (4), получим

Для любого другого расположения треугольника АВС формула (3) доказывается аналогично.

Пример 2. Даны точки А (1;1), В (6;4) и С (8;2). Найти площадь S треугольника АВС.

Решение. По формуле (3)

50. Деление отрезка в данном отношении.

Пусть на плоскости дан произвольный отрезок M1M2 и пусть М – любая точка этого отрезка, отличная от точки M2 (рис. 7).

Определяемое равенством чис-

1 3

Лекция 3

Полярная система координат. Множества точек на плоскости и их уравнения

Даны определения полярной системы координат и уравнения линии, приведены примеры на нахождение множества точек.

10. Рассмотрим полярную систему координат. Эта система координат состоит из некоторой точки О, называемой полюсом, и исходящего из нее луча ОЕ, называемого полярной осью. Задается также единица масштаба для измерения длин отрезков.

Пусть задана полярная система координат и пусть М – любая точка плоскости. Обозначим через ρ расстояние от точки М до точки О, а через ϕ – угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для совмещения с лучом ОМ (рис. 1).

Полярными координатами точки М называются числа ρ и ϕ .

Число ρ считают первой координатой и называют полярным радиу-

моугольными координатами, считая, что начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью. Пусть точка М имеет прямоугольные

1 5

Формулы (1) выражают прямоугольные координаты через полярные, а выражение полярных координат через прямоугольные следует из формул:

Формула tg ϕ = xy определяет два значения полярного угла ϕ , т.к. ϕ

изменяется в пределах от 0 до 2π . Из этих двух значений угла ϕ выбирают то, при котором удовлетворяются равенства (1).

Пример 1. Даны прямоугольные координаты точки (2; 2). Найти ее полярные координаты, считая, что полюс совмещен с началом прямоугольной системы координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс.

связывающее переменные величины х и y. Равенство вида (3) назовем

уравнением с двумя переменными х, y, если это равенство справедли-

во не для всех пар чисел х и y. Примеры уравнений: 3x + 2y = 0, sin x + cos y – 2 = 0.

Если (3) справедливо для всех допустимых пар чисел х и y, то оно называется тождеством. Примеры тождеств:

(x + y) (x – y) – x2 + y2 = 0, (x + y)3 –x3 – 3x2y – 3xy2 – y3 = 0.

Уравнение (3) назовем уравнением множества точек (х; y), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и y любой точки множества и не удовлетворяют координаты никакой точки, не принадлежащей этому множеству.

Важным понятием аналитической геометрии является понятие уравнения линии. Пусть на плоскости заданы прямоугольная система координат и некоторая линия L (рис. 3).

Уравнение (3) называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты

1 6

х и y любой точки, лежащей на линии L, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.

Если (3) является уравнением линии L, то говорят, что уравнение (3) определяет или задает линию L.

Линия L может определяться не только уравнением вида (3), но и уравнением вида

содержащим полярные координаты.

Примеры определения линий уравнениями:

1) х – у = 0. Записав это уравнение в виде у = х, заключаем, что множество точек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению, представляет собой биссектрисы I и III координатных углов

(рис. 4);

2)х2 – у2 = 0. Запишем уравнение в виде (х – у)(х + у) = 0. Заключаем, что множество точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, – это две прямые, содержащие биссектрисы четырех координатных углов (рис. 5);

3)х2 + у2 = 0. Множество точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, состоит из одной точки (0; 0). Здесь уравнение определяет вырожденную линию;

4)х2 + у2 + 2 = 0. Так как при любых х и y числа х2 и у2 неотрицательны, то х2 + у2 + 2 > 0. Нет ни одной точки, координаты которой удовлетворяют данному уравнению, т.е. данное уравнение определяет «пустое» множество точек;

5) ρ = a cos ϕ , где a > 0 – постоянная, переменные ϕ и ρ – поляр-

ные координаты. Обозначим через М точку с полярными координатами (ρ; ϕ ), через А – точку с полярными координатами (а; 0) (рис. 6). Если

1 7

М – точка с полярными координатами (ρ ;ϕ ). Если ϕ = 0, то ρ = 0. Таким образом, при увеличении угла ϕ точка M(ρ ; ϕ ), начавшая свое движение в полюсе, движется вокруг него, одновременно удаляясь от полюса. Множество точек, полярные координаты которых удовлетворяют уравнению ϕ = aϕ , называется спиралью Архимеда (рис. 7). При этом предполагается, что ϕ может принимать любые неотрицательные значения.

Если точка М совершает один полный оборот вокруг полюса, то ϕ возрастает на 2π , а ρ – на 2aπ , т.е. спираль рассекает любую прямую, проходящую через полюс, на равные отрезки (не считая отрезка, содержащего полюс), которые имеют длину 2aπ .

Рассмотрим теперь обратную задачу: для заданного какими-то его свойствами множества точек, т.е. для заданной линии L, найти ее уравнение.

Пример 2. Вывести уравнение (в заданной прямоугольной системе координат) множества точек, каждая из которых отстоит от точки О (0; 0) на расстояние R, т.е. вывести уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат (рис. 8).

1 8

Уравнение (5) и есть уравнение окружности с центром в начале координат.

Приведем еще несколько примеров на нахождение множеств точек по уравнениям и неравенствам, связывающим их координаты.

Пример 3. Найти множество точек (х; y), координаты которых

удовлетворяют уравнению x − y = 1.

Решение. Так как искомое множество точек симметрично относительно координатных осей Oy и Ox, то можно все свести к случаю

Пример 4. Показать, что уравнение х2 + 2х + у2 = 0 задает на плоскости некоторую окружность. Найти ее центр и радиус.

Решение. Представим данное уравнение в виде

(х2 + 2х + 1) + у2 = 1 или (x + 1)2 + y2 = 1.

Теперь ясно, что это уравнение окружности с центром в точке С(–1;0) и радиусом 1.

1 9

! Задания для самостоятельной работы

1. Найти множество точек (х; y), координаты которых удовлетво-

3.На плоскости даны точки А и В. Найти множество точек М, удаленных от А вдвое дальше, чем от В.

4.Установить, при каких значениях параметра а система

не имеет решений, имеет единственное решение, имеет бесчисленное множество решений.

2 0