высшая математика

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(0) = 1 , y

′(0) = 0 ,

= 0 , y′ (0) = 1 .

Любое решение уравнения (1) будет линейной комбинацией ре-

шений y1(x) и y2(x).

условия имеют вид y(0) = A,

В частности, если начальные

условия имеют вид y(0) = A,

y′(0) = B , то, очевидно,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

5.88 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 4141

Практически удобно поступать следующим образом. Определим по указанной выше схеме два решения y1(x) и y2(x), причем для y1(x) выберем c0 = 1, c1 = 0, а для y2(x) выберем c0 = 0, c1 = 1, что равносильно следующим начальным условиям:

y = Ay1(x) + By2(x).
Справедливо следующее утверждение: если ряды
p(x ) = ∑∞	ck x k и q(x ) = ∑∞	bk x k
k = 0	k = 0

сходятся при | x | < R, то построенный указанным выше способом степенный ряд (3) будет также сходиться при этих значениях x и являться решением уравнения (1). Например, если p(x) и q(x) – многочлены от x , то ряд (3) будет сходиться при любом значении х.

20. Примеры.
Пример 1. Найти общее решение уравнения
y′′ − x 2 y = 0 .	(6)

Решение. Ищем решение уравнения (6) в виде ряда (3). Имеем:

y = ∑∞	ck x k , y′ = ∑∞	kc k x k − 1 , y′′ = ∑∞	ck k (k − 1)x k − 2 .
k = 0	k = 1	k = 2

Подставляя найденные выражения в уравнение (6), имеем:

∑∞

ck + 2 (k +

2)(k +

1)x k −

∑∞

ck x k + 2 ≡ 0 ,

(7)

k = 0

которое верно, если:

x 0

c2 2 1 = 0 ,

x 1

c 3 2 =

0 ,

= c =

0 ,

x 2

c4 4 3 − c0

= 0 ,

c4 =

3 4

4 5

x 3

c5 5 4 − c1 = 0 .

−

− − − − −

−

− −

С учетом с2 = с3 = 0 тождество (7) запишем так:

∑∞	ck + 4 (k + 4)(k + 3)x k + 2 −∑ ∞	ck x k + 2 ≡ 0 .
k = 0	k = 0

401

Отсюда:

ck + 4 =

Из (8) получаем:

+ 4)(k +

c4 k =

c4 k + 1 =

4k (4k

− 1) ...

8 7 4 3

4k (4k − 1)

... 9 8 5 4

c4 k +

2 = c4 k + 3 =

0 ,

k = 1, 2, ... .

В результате общее решение уравнения (6) имеет вид

∞

4 k

∞

4 k + 1

y = c0 ∑

c1 ∑

(4k + 1)4k

... 9 8 5 4

k = 0 4k (4k − 1)

... 8 7 4 3

k = 0

где c0 и c1 – произвольные постоянные.

Пример 2.

Найти решение уравнения

(8)

y′′ − x y′ − 2y = 0

(9)

в виде степенного ряда.

Решение. Найдем вначале решения y1(x) и y2(x). Ищем y1(x) в виде ряда:

			y1 (x ) = ∑∞		ck x k .
Тогда:				k =	0
Тогда:
y1′(x ) = ∑∞		kck x k − 1 , y1′′(x ) = ∑∞				k (k − 1)ck x k − 2 .
	k =	1			k =	2
Подставляем y1(x),			y1′(x ) ,	y1′′(x ) в (9),			получаем:
∑∞	(k − 1)kc k x k − 2 − ∑∞			kc k x k −		2 ∑∞	ck x k = 0 .	(10)
k = 2			k = 1			k = 0

Приводя в (10) подобные члены и приравнивая к нулю коэффициенты при всех степенях х, получаем соотношения, из которых найдем коэффициенты c0, c1, ... , cn, ... .

Положим для определенности, что y1(0) = 1, y1′(0) = 0 . Тогда находим, что

	c0 = 1, c1 = 0.				(11)
Итак, имеем:
x 0	2c2 − 2c0 = 0 , и из (11) c2 = 1,
x 1	3 2c3 − 1 c1 − 2c1 = 0 ,	и из (11) c3 = 0,

x 2	4 3c4 − 2c2 − 2c2 = 0 ,	c4 =	1	,


x 3	5 4c5 − 3c3 − 2c3 = 0 ,	3
		c5 = 0,

402

x 4		6 5c6 − 4c4 − 2c4 = 0 ,	c6 =			c4			=	1		,
						c4				1
							5				3 5
							5				3 5
−	− − − − − − − − − − − − − − − − .
−	− − − − − − − − − − − − − − − − .
Значит,			1					1
		y1 (x ) = 1+ x 2 +	1	x 4	+			1		x 6 +		... .	(12)
		y1 (x ) = 1+ x 2 +	3	x 4	+		15			x 6 +		... .	(12)
			3				15

Аналогично ищем y2(x) в виде ряда:

y2 (x ) = ∑∞

ak x k

(13)

k =

с начальными условиями y

(0) = 0,

y′

(0) =

1 .

Получаем

a0 = 0, a1 = 1.

(14)

Подставляя (13) в (9), найдем:

∑∞

k (k − 1)ak x k − 2 − ∑∞

(k + 2)ak x k = 0 .

k = 0

k = 1

Приравнивая к нулю коэффициенты при всех степенях х, имеем:

x 0

2a2 = 0

a2 = 0,

x 1

3 2a3 −

3a1 =

и из (14)

a3 =

x 2

4 3a4 − 4a2 = 0

a4 = 0,

x 3

5 4a5 − 5a3 = 0

x 4

6 5a6 − 6a4 = 0

a6 = 0,

x 5

7 6a7 − 7a5 = 0

−

− − − − − − − − − − − − − − − −

Очевидно, что

a2 k =

0 ,

a2 k +

1 =

k = 1,

3, ... .

2 4 6 ...

(2k )

Итак,

2 k

∞

y2 (x ) =

x +

... =

x ∑

= xe

(15)

2 4

2 4 6

k = 0

Общее решение уравнения (9) будет иметь вид

y = Ay1(x) + By2(x),

где y1(x) и y2(x) задаются формулами (12) и (15) соответственно, а А и В – произвольные постоянные, причем y(0) = A, y′(0) = B .

403

30. Приближенное решение задачи Коши. Найти при-

ближенное решение задачи Коши:

y′′ =	x +	y	2	, y(0) = 0,	′	= 1
					y (0)

в виде многочлена.

Найдем первые пять отличных от нуля коэффициентов ряда, являющегося приближенным решением. Для этого воспользуемся рядом Маклорена

∞	y ( k ) (0)		k
y(x ) = ∑		x		,	(16)
y(x ) = ∑	k!	x		,	(16)
k = 0	k!

в котором нужно найти первых пять отличных от нуля производных. Последовательно подставляя в исходное уравнение начальные

условия и дифференцируя его, получаем:

y′′(0) =

x +

y 2

= 0 , y′′′(0) =

2yy′

1 ,

y ( 4) (0) =

2 y′2 +

2yy′′

0 = 2 ,

′′2

′

′′′

(5)

(0) =

6y′y′′ + 2yy′′′

0 ,

(6)

(0) =

+ 2yy

(4)

= 8 ,

0 =

+ 8y y

(7)

(0) =

′′

′′′

′

(4)

+ 2yy

(5)

20 .

20y y

10y y

Таким образом, получаем приближенное решение:

y(x ) ≈

x +

2x 4

8x 6

20x

! Задания для самостоятельной работы

1. Найти три первых члена разложения в степенной ряд решения дифференциальных уравнений для заданных начальных условий:

а)	y′ = 1− xy , y(0) = 0;			б) y′ =	sin xy , y(0) = 1;
в)	y′′ −	sin x y′ =	0 , y(0) = 0, y′(0) = 1 ;
г)	xy′′ +	y sin x =	x , y(π	) = 1,	y′(π	) = 0 .
2.	Проинтегрировать при помощи рядов следующие дифферен-
циальные уравнения:
а)	y′′ +	y = 0 , y(0) = 1,		y′(0) =	0 ;	б) y′ −	2xy =	0 , y(0) = 1;
в)	y′′ +	x y′ + y =	0 ; г) y′′ − xy '+ y −			1 = 0 ,	y(0) =	y′(0) = 0 .

404

	ОГЛАВЛЕНИЕ
	ПРЕДИСЛОВИЕ ...................................................................................	3
ЧАСТЬ I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ .....		4
Лекция 1.	Предмет математики. Простейшие математические модели
	в экономике ..........................................................................................	4
Лекция 2.	Прямоугольная система координат на плоскости.
	Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости ........	9
Лекция 3. Полярная система координат. Множества точек
	на плоскости и их уравнения ..........................................................	15
Лекция 4. Прямая на плоскости .......................................................................		21
Лекция 5.	Расположение двух прямых на плоскости ...................................	26
Лекция 6.	Векторы ..............................................................................................	31
Лекция 7.	Матрицы и определители ...............................................................	39
Лекция 8.	Действия над матрицами ................................................................	45
Лекция 9.	Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса ..........	51
Лекция 10.	Метод полного исключения. Нахождение базисных
	и опорных решений систем линейных уравнений .......................	57
Лекция 11.	Системы векторов ............................................................................	63
Лекция 12.	Векторное и смешанное произведения векторов ...............................	69
Лекция 13.	Простейшие задачи аналитической геометрии
	в пространстве. Плоскость в пространстве .................................	74
Лекция 14.	Прямая в пространстве ...................................................................	79
Лекция 15.	Линейные операторы ......................................................................	85
Лекция 16.	Квадратичные формы. Классификация кривых
	второго порядка ...............................................................................	91
Лекция 17.	Кривые второго порядка ................................................................	97
Лекция 18. Сфера, цилиндрические поверхности и конус
	второго порядка .............................................................................	103
Лекция 19.	Поверхности вращения. Общее уравнение поверхности
	второго порядка .............................................................................	108
Лекция 20. Системы линейных неравенств ....................................................		114
ЧАСТЬ II. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
	И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ......................................	120
Лекция 21. Числовые последовательности.
	Предел числовой последовательности ......................................	120

405

Лекция 22.			Предельный переход в неравенствах.
			Монотонные последовательности ..............................................	126
Лекция	23	. Понятие функции ...........................................................................		132
Лекция	24	. Предел функции ..............................................................................		141
Лекция	25	. Непрерывные функции ..................................................................		151
Лекция	26	. Функции, непрерывные на отрезке.
			Эквивалентные функции ...............................................................	158
Лекция	27	. Понятие производной. Правила дифференцирования ........		164
Лекция	28	. Таблица производных основных элементарных функций.
			Производная сложной функции ..................................................	171
Лекция	29	. Логарифмическое дифференцирование. Производная
			неявной функции. Производные высших порядков.
			Приложение производной в экономике ....................................	177
Лекция	30.		Дифференциал функции. Теоремы о среднем .........................	183
Лекция	31.		Правило Лопиталя. Формула Тейлора ......................................	189
Лекция	32	. Исследование поведения функций
			с помощью производной ..............................................................	196
Лекция	33.		Выпуклость, точки перегиба и асимптоты. Построение
			графиков функций ..........................................................................	202
Лекция	34.		Первообразная и неопределенный интеграл ............................	208
Лекция	35	. Методы интегрирования. Интегрирование простейших
			рациональных дробей ...................................................................	214
Лекция	36.		Интегрирование рациональных, иррациональных и
			трансцендентных функций ...........................................................	220
Лекция	37.		Определенный иинтеграл ..............................................................	227
Лекция	38	. Условия существования определенного интеграла.
			Нахождение определенного интеграла ......................................	235
Лекция	39.		Приложения определенного интеграла
			в геометрии и экономике ...............................................................	242
Лекция	40.		Приближенное вычисление определенных интегралов.
			Несобственные интегралы ............................................................	252
ЧАСТЬ III. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
			ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ
			УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ ...................................................................	259
Лекция	41.		Функции многих переменных, частные производные ............	259
Лекция	42.		Полный дифференциал ..................................................................	265
Лекция 43.			Безусловный экстремум функции многих переменных ...................	270
Лекция 44.			Условный экстремум функции многих переменных ........................	275

406

Лекция 45.			Метод наименьших квадратов .........................................................	281
Лекция 46.			Двойные интегралы ...........................................................................	287
Лекция 47.			Общее дифференциальное уравнение первого порядка. Составление
			дифференциальныхуравнений...........................................................	293
Лекция 48.			Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка ..	299
Лекция 49.			Комплексные числа и комплексная экспонента...............................	305
Лекция 50.			Линейные дифференциальные уравнения высших
			порядков ...........................................................................................	311
Лекция	51	. Линейные однородные дифференциальные уравнения
			n-го порядка с постоянными коэффициентами ........................	318
Лекция	52	. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
			с постоянными коэффициентами ................................................	323
Лекция	53	. Линейные системы дифференциальных уравнений
			второго порядка с постоянными коэффициентами ..................	328
Лекция	54	. Устойчивость нулевого решения динамических систем
			второго порядка .............................................................................	334
Лекция	55	. Фазовая плоскость ..........................................................................		340
Лекция 56. Числовые ряды ................................................................................				347
Лекция	57	. Функциональные ряды. Степенные ряды ..................................		355
Лекция	58	. Разложение функций в степенные ряды. Приближение
			функций с помощью рядов ...........................................................	363
Лекция	59	. Конечные разности и обыкновенные разностные
			уравнения. ........................................................................................	371
Лекция 60.			Линейные разностные уравнения с постоянными
			коэффициентами .............................................................................	379
ЧАСТЬ IV. ДОПОЛНЕНИЕ ..............................................................................				387
Лекция 20*. Блочные матрицы. Неотрицательные матрицы ......................				387
Лекция 46*. Однородные функции. Теоремы о неявных функциях .............				394
Лекция 59*. Интегрирование дифференциальных уравнений
			с помощью рядов ............................................................................	400

407

Учебное издание

Минюк Степан Андреевич Ровба Евгений Алексеевич

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Учебное пособие для студентов экономических специальностей

высших учебных заведений

Редактор Н. П. Дудко Компьютерная верстка С. Л. Гончаров

Сдано в набор 09.04.99. Подписано в печать ??.??.2002. Формат 60× 84/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная.

Гарнитура Times. Усл.печ.л. 22,8. Уч.-изд.л. 20,8.

Тираж 300 экз. Заказ 108.

Гродненский государственный университет имени Янки Купалы.

ЛВ №96 от 02.12.97 г.

Ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно. Отпечатано на технике издательского отдела Гродненского государственного университета имени Янки Купалы.

ЛП №111 от 29.12.97 г.

Ул. Ожешко, 22, 230023, г. Гродно.

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 / 4141

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.11.2018253.44 Кб9второй курсач(разработка)(Кристина)2.doc
#
13.09.201940.04 Кб6Вуліца Замкавая.docx
#
18.02.2016147.97 Кб2вучэбная праграма 2012.doc
#
19.02.201612.77 Mб65Высшая матем. Учебник.pdf
#
22.09.2019956.93 Кб18Высшая математика (1).doc
#
18.02.20165.88 Mб72высшая математика.pdf
#
18.02.2016192.33 Кб16Вычеты аналитических функций..pdf
#
18.02.2016190.98 Кб4гістарычная навука Бел. раб. праграма 2012.doc
#
14.04.2019380.93 Кб13Гісторыя Беларус(шпоры).doc
#
12.11.2019311.93 Кб3Гісторыя беларускага сялянства. Т.2..docx
#
15.04.2019130.2 Кб4гістрыя вся.docx