высшая математика

Интервалом сходимости является | x – 1| < e—1, или (1 – e—1, 1+ e–1).

Пример 4. Найти интервал сходимости следующих степенных рядов и исследовать сходимость на концах интервала сходимости:

Решение. а) Имеем:

Значит, интервал сходимости есть (–3, 3). Исследуем поведение ряда в граничных точках. Пусть х = 3, имеем

3 6 1

x = ± 1 расходится.

! Задания для самостоятельной работы

1. Найти область сходимости следующих функциональных рядов:

3 6 2

Лекция 58

Разложение функций в степенные ряды. Приближение функций с помощью рядов

Изучаются свойства степенных рядов, ряды Тейлора и Маклорена, разложения функций в степенные ряды. Рассматриваются методы приближенного вычисления значений функций.

1o. Свойства степенных рядов. Пусть дан степенной ряд

ле ряд (1) имеет сумму, обозначим ее через f (x), т.е.

∞

f (x ) = ∑ cn x n , x (− R; R ) .

n= 0

Сумма степенного ряда обладает интересными свойствами, во-

∞

первых, сумма f (x) степенного ряда ∑ cn x n является функцией, непре-

n= 0

рывной на интервале сходимости (–R; R).

Во-вторых, сумма f (x) степенного ряда (1) является функцией,

В этом случае говорят, что степенной ряд можно почленно дифференцировать на интервале сходимости.

Заметим также, что это утверждение можно применять к степенному ряду (2). Это означает, что сумма степенного ряда является функцией, бесконечно дифференцируемой на (–R; R).

Наконец, в-третьих, при любых а, b (–R; R) справедлива формула

т.е. интеграл от суммы степенного ряда по любому отрезку [а; b] (–R; R) может быть вычислен почленным интегрированием ряда (1).

3 6 3

Эти утверждения приводим без доказательства.

Все вышеизложенное справедливо для рядов вида

Если функция f (x) является суммой ряда (4), то говорят, что функция f (x) разлагается в степенной ряд по степеням (х – а). Разложение функции в степенные ряды является одной из важнейших задач курса высшей математики.

2o. Разложение функций в степенные ряды. Пусть функция f (x) разлагается в степенной ряд:

f (x ) = c0 + c1(x − a) + c2 (x − a)2 + ... + cn (x − a)n + ... , x − a < R . (4′)

Тогда ряд ( 4′ ) можно почленно дифференцировать сколь угодно раз на интервале (a – R; a + R):

Ряд (5) называется рядом Тейлора функции f (x) в окрестности точки х = а. Если а = 0, то ряд (5) называется рядом Маклорена.

Из приведенных выше рассуждений следует, что разложение в ряд Тейлора единственно, т.е. если имеются два такие разложения по степеням (х – а) одной и той же функции f (x), то эти разложения имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях х – а, и они равны:

3 6 4

(здесь предполагается, что f (0)(a) = f(a), 0! = 1).

Теперь предположим, что функция f (x) имеет в окрестности точки х = а производные любого порядка, т.е. бесконечно дифференцируема в окрестности точки х = а. Составим ряд Тейлора функции f (x) в окрестности точки х = а:

Спрашивается, при каких условиях этот ряд Тейлора сходится. Будет ли его суммой функция f (x)?

Теорема 1.

Если функция f (x) является бесконечно дифференцируемой на интервале (a – R; a + R) и все ее производные ограничены одной и той же постоянной М на (a – R; a + R), то ряд Тейлора (7) сходится к функции f (x) на (a – R; a + R).

Доказательство. Пусть Sn+1(x) – частичная сумма ряда (7),

формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (см. Л.31), имеем:

3 6 5

условием сходимости числовых рядов).

Тогда из (8) вытекает, что в каждой точке x (a – R; a + R)

Возьмем любое x R и покажем, что

имеем:

3 6 6

в) Аналогично можно показать, что

Формулы (10) и (11) можно рассматривать как новые определения известных тригонометрических функций sin x и cos x.

г) Разложим функцию f (x) = ln (1 + x) в ряд Маклорена. Поступим следующим образом. Очевидно,

xdt

Сдругой стороны, ∫ 1+ t = ln(1+ x ) .0

Следовательно,

Таким образом, разложение (13) функции ln (1 + x) получено с помощью почленного интегрирования степенного ряда (12).

д) С помощью этого метода легко получить ряд Маклорена для функции arctg x. Действительно, полагая в (12) t2 вместо t, имеем:

Проинтегрируем почленно этот ряд в пределах от 0 до х, x (–1; 1):

3 6 7

или

Как следует из предыдущего, степенные ряды являются формой представления функций, причем представление функций степенным рядом во многих случаях весьма удобно в приложениях, в частности, при приближенных вычислениях значений функций.

через элементарные функции. Представим функцию J(x) степенным рядом. Имеем:

Представление функции J(x) степенным рядом (14) эффективно используется для приближенного вычисления J(x). Так, например,

Отсюда J (1) ≈ 1− 31!3 = 1178 , причем абсолютная погрешность в

3 6 8

данном случае меньше 5!51 = 6001 , так как отбрасываемый остаток

5!51 − 7!71 + ... является рядом Лейбница и сумма меньше первого члена.

Пример 1. Вычислить sin 18° с точностью ε= 10–4.

Решение. Воспользуемся разложением (10). Так как 18° = 1π0 , то

где Rn – соответствующий остаток ряда (10). Так как остаток ряда также является знакочередующимся рядом, то по признаку Лейбница

Согласно условию, число n нужно выбрать таким, чтобы выполнялось неравенство

Неравенство (15) справедливо при любом n ≥2, в частности,

sin18° ≈ 0,3090 .

На практике промежуточные вычисления производят с одним дополнительным знаком (в данном случае с точностью до 10–5), чтобы избежать ошибок округления.

3 6 9

! Задания для самостоятельной работы

1. Написать разложения в ряд Маклорена следующих функций и указать интервалы сходимости рядов:

3 7 0