высшая математика

Для разных последовательностей точек получили разные пределы. Значит, данная функция не имеет предела в точке О(0; 0).

Так же, как и в случае функции одной переменной, предел суммы, частного и произведения функций нескольких переменных равен сумме, частному и произведению пределов, если пределы существуют (в случае частного предел знаменателя не равен 0).

Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке M0(x0; y0), если выполняется равенство:

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области D, называется непрерывной в D.

Если в точке M0(x0; y0) не выполняется условие непрерывности, то такая точка M0 называется точкой разрыва функции z = f (x, y). Точки разрыва могут образовывать некоторую линию разрыва.

Решение. В любой окрестности каждой из точек М(х; у) окружности x2 + y2 = 4 данная функция неопределена, т.к. знаменатель дроби обращается в нуль в точках указанной окружности. Поэтому для всех таких точек условие (2) выполняться не может. Во всех остальных точках плоскости Oxy условие (2) выполняется, и, значит, в них указанная функция z непрерывна.

Частной производной первого порядка функции n переменных по одной из этих переменных в точке M0 называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной при стремлении последнего к нулю:

2 6 1

Более упрощенно, например, для функции двух переменных z = f (x, y) частной производной по аргументу х называется производная этой функции по х при постоянном у. Аналогично, частной производной функции z = f (x, y) по аргументу у называется производная этой функции по у при постоянном х. Поэтому для вычисления частных производных не нужно каких-то новых правил и таблиц. Обозначения:

z = f (x, y) называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Пример 5. Пусть z = 2x2y + 3xy2 + x3 – производственная функция, где х – затраты живого труда, у – затраты овеществленного труда. Найти Ex(z) и Ey(z) в точке (1; 1).

Решение. Приближенный процентный прирост функции z, соответствующий приращению независимой переменной х на 1%,

E x (z) = xz ∂∂ xz ,

а приближенный процентный прирост функции z, соответствующий

= y ∂ z

приращению независимой переменной у на 1%, – E y (z) z ∂ y . Найдем частные производные по х и у:

С увеличением затрат живого труда на 1% объем производства увеличится на 1,67%, а с увеличением затрат овеществленного труда на 1% объем производства увеличится на 1,33%.

2 6 2

!Задания для самостоятельной работы

1.Вычислить частные значения функций:

2 6 3

2 6 4

Лекция 42

Полный дифференциал

Рассмотрен полный дифференциал функции многих переменных и его применение для приближенного вычисления значений функции, приведена формула Тейлора для функции нескольких переменных.

1°. Понятие полного дифференциала и некоторые его применения.

Полным приращением функции нескольких переменных называется изменение функции при заданных приращениях всех переменных. В частности, полным приращением функции z = f(x, y) в точке M0(x0; y0) является разность

Согласно Л.41, частные производные выражаются через частные приращения так:

∆ x f (x0 , y0 ) = f x′(x0 , y0 )∆x + o(∆x ) ,

∆ y f (x 0 + ∆x, y0 ) = f y′(x 0 + ∆ x, y0 )∆ y + o(∆y ) .

Если частная производная по x непрерывна в окрестности точки М0, то

f y′(x0 + ∆x, y0 ) = f y′(x0 , y0 ) + o(1) ,

где есть БМФ ( lim o(1) = 0 п р и ∆x→ 0 ).

Учитывая приведенные выше соотношения из (1′ ), получаем

∆ z = f x′(x 0 , y0 )∆ x + f y′(x 0 , y0 )∆y + o(∆ x ) + o(∆ y) + o(1)∆y .

Полным дифференциалом dz дифференцируемой в точке M0(x0; y0) функции z = f (x, y) называется главная линейная относительно ∆x и ∆y часть полного приращения этой функции в точке М0, т.е.

dz M 0 = df (x0 , y0 ) = f x′(x0 , y0 )∆x + f y′(x0 , y0 )∆y .

Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. dx = ∆x, dy = ∆ y.

Полный дифференциал функции z = f (x, y) находится по формуле:

2 6 5

Аналогично определяется и вычисляется полный дифференциал функции любого числа переменных.

Используя понятие полного дифференциала, запишем уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z = f (x, y) в точке

M0(x0 ; y0).

Напомним следующие определения.

1.Касательной плоскостью к поверхности z = f (x, y) в точке

M0(x0 ; y0) называется такая плоскость, которая содержит множество всех касательных прямых в этой точке.

2.Нормалью к этой поверхности в точке М0 называется прямая, ортогональная соответствующей касательной плоскости.

Следовательно, уравнение касательной плоскости:

Пример 2. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к сфере с R = 1 в точке М0(0; 0; 1).

2 6 6

Решение. Из уравнения сферы x2 + y2 + z2 = 1 имеем:

2y0 + 2z0 z′y = 0 z′y = 0 .

Значит, уравнение касательной плоскости

0 x + 0 y – (z – 1) = 0 z = 1.

Уравнение нормали

20. Применение полного дифференциала для приближенного вычисления значений функций. При доста-

точно малых ∆ x и ∆y для дифференцируемой функции z = f (x, y) име-

Формула (3) применяется для приближенного вычисления значения функции z = f (x, y) в точке col(x + ∆x; y + ∆y) по известным значениям

Пример 3. Вычислить приближенное значение (1,02)3, 04.

Решение. Искомое число будем рассматривать как значение функции z(x, y) = xy = ey ln x при х = 1 + 0,02, у = 3 + 0,04. Значение функции в точке (1; 3) равно z(1,3) = e3 ln1 = 1. Найдем значение частных

непрерывна и достаточное число раз дифференцируема в области D.

2 6 7

Найдем эквивалентную приращению этой функции в точке

2 6 8

!Задания для самостоятельной работы

1.Найти полные дифференциалы функций: