высшая математика

Лекция 50

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Рассмотрены основные свойства решений однородных и неоднородных линейных дифференциальных уравнений высших порядков.

10. Основные определения. Линейным дифференциаль-

3 11

эквивалентно α 1 = α 2 = α 3 = 0, т.к. многочлен обращается в тождественный нуль на любом интервале I тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю.

Фундаментальной системой решений уравнения (4) называют систему n ЛНЗ решений этого уравнения.

Таким образом, уравнение (4) имеет фундаментальную систему решений.

3 12

Рассмотрим систему n функций y1(x), y2(x), ..., yn(x), непрерывных вместе со своими производными до (n–1)-го включительно порядка на I. Определителем Вронского, или вронскианом, W [y1, y2, ..., yn] этой системы функций называется определитель из функций и их производных, составленный следующим образом:

Пример 2. Является ли ЛНЗ система следующих функций: {x, cos x, sin x}.

на любом интервале I.

Таким образом, эта система ЛНЗ на любом интервале I. Для уравнения (4) имеет место формула Остроградского-Лиу-

вилля:

Сформулированные выше свойства позволяют решить следующую задачу: по данной системе n ЛНЗ функций y1(x), y2(x), ..., yn(x), непрерывных вместе со своими производными до n-го порядка включительно на I = (а; b), таких, что W [y1, y2, ..., yn] ≠ 0 на I, построить ЛОДУ n-го порядка, решениями которого являются данные функции. Искомым дифференциальным уравнением является следующее равенство:

3 13

Пример 3. Получить ЛОДУ 3-го порядка, решениями которого являются функции х, sin x, cos x.

Решение. Составим определитель Вронского и равенство:

После вычисления определителя получаем уравнение:

30. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (1). Пусть y0(x) – частное решение ЛДУ (1), а {y1(x), y2(x), ... , yn(x)} образуют фундаментальную систему решений соответствующего уравнению (1) однородного уравнения (4), тогда

есть общее решение ЛДУ (1).

Таким образом, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (1) есть сумма его частного решения y0(x) и общего решения соответствующего ему однородного уравнения (4)

n

y = ∑ Ci yi (x ) .

i= 1

Для отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения (1) применяется метод вариации произвольных постоянных, который заключается в следующем. Пусть известна фундаментальная система {y1, y2, ... , yn} решений соответствующего однородного уравнения (4). Тогда общее решение неоднородного уравнения (1) будем искать в виде общего решения ЛОУ:

3 14

k = 1

но с переменными произвольными постоянными. Для определения Ck(x),

Таким образом, получаем следующую квадратную систему линейных алгебраических уравнений для функций C k′ (x ) :

причем определителем этой системы является определитель Вронского.

3 15

Интегрируя (9), получаем функции Ck(x), k = 1, n .

Пример 4. В примерах 2 и 3 показано, что {x, cos x, sin x} – фундаментальная система решений ОДУ для уравнения:

Найти частное и общее решения этого уравнения.

Решение. y = C1(x) x + C2(x) cos x + C3(x) sin x.

Вычислим определители:

Вычислим Ck(x), k = 1, 2, 3.

3 16

! Задания для самостоятельной работы

Указание. Сделать замену y = y1 ∫ z dz , где z – новая неизвестная функция.

2. Выписать решение системы (8) для уравнения (1) второго порядка:

3 17

Лекция 51

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами

Приведены формулы общего решения ЛОДУ n-го порядка как для случая простых, так и для случая кратных корней характеристического уравнения, рассмотрены линейные однородные уравнения Эйлера.

где pi , i = 0, n − 1 – вещественные постоянные.

Для нахождения общего решения уравнения (1) поступим так. Составляем так называемое характеристическое уравнение для уравнения (1) заменой производных y( j ) на степени λj:

Пусть λ1, λ2, ... , λn – корни уравнения (2), причем среди них могут быть и кратные.

Возможны следующие случаи.

10. λ1, λ2, ..., λn – вещественные и различные. Тогда фундаментальная система решений уравнения (1) имеет вид

действительные и различные, то общее решение имеет вид: y = C1 + C2 e− x + C3e3x .

3 18

20. Корни характеристического уравнения вещественные, но среди них есть кратные. Пусть, например, λ1 = λ2 = ... = λk, т.е. λ1 является k-крат- ным корнем уравнения (2), а все остальные (n – k) корней различные. Фундаментальная система решений уравнения (1) в этом случае имеет вид

а общее решение

y = C1e− x + C2 xe − x + C3 .

30. Среди корней характеристического уравнения (2) есть комплексные. Пусть для определенности λ1 = α + i β , λ2 = α – i β , λ3 = ν + i δ, λ4 = ν – i δ, а остальные корни уравнения (2) вещественные и различные.

Отметим, что так как по предположению коэффициенты pi , i = 0, n − 1 уравнения (2) вещественные, то комплексные корни этого уравнения попарно сопряженные.

Фундаментальная система решений в этом случае имеет вид

+ C5 eλ5 x + ... + Cn eλ n x .

Пример 3. Найти общее решение уравнения y′′′ + 4y′′ + 13y′ = 0 .

Решение. Характеристическое уравнение

λ3 + 4λ2 + 13λ = 0 имеет корни λ1 = 0, λ2 = –2 – 3i, λ3 = –2 + 3i.

3 19

тальная система решений уравнения (1) (считаем, что остальные корни уравнения (2) вещественные и различные) имеет вид:

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

λ5 – 2λ4 + 2λ3 – 4λ2 + λ – 2 = 0.

Запишем его так: (λ – 2)(λ2 + 1)2 = 0. Отсюда получаем λ = 2 – однократный и λ = ± i – пара двукратных мнимых корней.

Общее решение есть

y = C1e2x + (C2 + C3 x ) cos x + (C4 + C5 x ) sin x .

5o. Остальные возможные случаи рассматриваются аналогично 20-

40.

Уравнение Эйлера. Линейные дифференциальные уравнения

вида

где все pi , i = 0, n − 1 – постоянные, называются уравнениями Эйлера. Эти уравнения заменой независимого переменного x = et преобразуются в ЛОДУ с постоянными коэффициентами

где yt(i ) – i-тая производная функции у по t .

3 2 0