высшая математика

где C1 и C2 – произвольные постоянные, значения которых можно определить, если заданы начальные условия x (0) = x0, x (1) = x1.

3. D = a12 − 4a2 < 0 . В этом случае характеристическое уравнение (4) имеет пару комплексно-сопряженных корней

аобщее решение неоднородного уравнения (2) будет

x(t) = Ar t sin(ϕ0 + ϕt) + x * (t) .

3 8 1

Произвольные постоянные C1 и C2 или A и ϕ0 определяются, если заданы начальные условия x(0) = x0, x(1) = x1.

30. Простейшая модель экономического цикла.

Составляющие основу многих моделей экономического цикла механизмы мультипликатора и акселератора в действительности тесно связаны, и как только приходит в действие один, начинает функционировать и другой. (Напомним, что, согласно механизму мультипликатора, первоначальное изменение постоянных расходов, в том числе инвестиций, вызывает целую серию последующих изменений спроса, а, следовательно, и национального дохода; любой рост (сокращение) национального дохода вызывает рост (сокращение) инвестиций, пропорциональный изменению национального дохода, что и составляет суть принципа акселерации или акселератора).

Рассмотрим один из простых вариантов модели экономического цикла, сочетающего оба указанных фактора. Пусть

I(t) = v(Y(t – 1) – Y(t – 2)) + I0,

где I(t) – инвестиции в период t, Y(t) – национальный доход в период t, Y(t – 1) , Y(t – 2) – национальный доход в периоды t – 1 и t – 2 соответственно, v – акселератор , I0 – автономные инвестиции, время t меняется дискретно.

Расходы в сфере потребления имеют вид

C (t) = cY (t) + C0 ,

где 0 < c < 1 – склонность к потреблению. Из условия равновесия спроса и потребления имеем, что

Y (t) = C (t) + I (t) .

Подставляя выражения для C(t) и I(t), получаем уравнение динамики национального дохода

Y (t) = cY (t) + C0 + v(Y (t − 1) − Y (t − 2)) + I 0 ,

или

sY (t) − vY (t − 1) + vY (t − 2) = C0 + I 0 = A ,

где s = 1 – c – склонность к сбережениям (норма накопления), A = C0 + I0. Полученное уравнение запишем в виде

3 8 2

Оно является линейным разностным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Это и есть модель динамики национального дохода с мультипликатором и акселератором.

Положим в (5) Y(t) = Y* + Z(t), где Y * = As . Тогда полученное уравнение динамики национального дохода

которое представляет собой частный случай линейного однородного разностного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами,

изученного в пункте 20 (нужно положить t′ = t − 2 , a1 = − vs , a2 = vs ).

40. Линейное разностное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Линейное разностное урав-

нение n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

Решение однородного уравнения (8) ищем в виде x(t) = λ t, где λ – постоянная. Подставляя это решение в (8), получим

Отсюда получаем алгебраическое уравнение

которое называется характеристическим для данного разностного уравнения. Это уравнение имеет ровно n корней, которые могут быть вещественными или попарно комплексными сопряженными числами.

Если, например, корниλ1, λ2, ..., λn характеристическогоуравнения(9) всевещественные и различные, то общее решение однородного уравнения (8) имеет вид

3 8 3

x(t) = C1λt1 + C2λt2 + ... + Cnλtn ,

а неоднородного (7) принимает форму

x (t) = C1λt1 + C2 λt2 + ... + Cnλtn + x * (t) ,

где C1, C2, ..., Cn – произвольные постоянные, которые могут быть определены, если заданы начальные условия x(0) = x0, x(1) = x1, ..., x(n – 1) = xn–1, а x*(t) – частное решение неоднородного уравнения.

Пример 1. Решить разностное уравнение x(t + 3) + 2x(t + 2) – 2x(t + 1) – x(t) = 0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

λ3 + 2λ2 – 2λ – 1 = 0.

Запишем это уравнение в виде

(λ3 − 1) + 2λ(λ − 1) = 0 или (λ − 1)(λ2 + λ + 1+ 2λ) = 0 .

Отсюда λ1=1, λ2 + 3λ + 1 = 0 . Решая последнее квадратное уравнение, получим

Поскольку общее решение неоднородного разностного уравнения (7) есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения (8) и частного решения x*(t) неоднородного, то для решения неоднородного уравнения (7) необходимо:

3 8 4

1) найти общее решение соответствующего однородного уравне-

ния;

2) найти какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения, которое зависит от вида функции f (t).

Пример 2. Решить разностное уравнение x(t + 3) – x(t + 2) + 2x(t) = t + 1.

Решение. Найдем вначале общее решение соответствующего однородного уравнения

x(t + 3) – x(t + 2) + 2x(t) = 0.

Характеристическое уравнение λ3 – λ2 + 2 = 0. Запишем его в виде

(λ3 + 1) – λ2 + 1 = (λ+1)(λ 2 – 2λ + 2) = 0.

Отсюда λ1 = –1, λ2 = 1 + i, λ3 = 1 – i.

Общее решение однородного уравнения имеет вид

Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. Ищем его в виде x = Ct + D, т.е. в той форме, какую имеет функция f (t), которая в данном случае линейная. Подставляя это решение f (t) в уравнение, получим

C(t + 3) + D – C(t + 2) – D + 2Ct + 2D = t + 1.

Отсюда получаем систему уравнений для определения C и D:

2C = 1,

C + 2D = 1.

Ее решение C = 12 , D = 14 .

Таким образом, частное решение такого неоднородного уравне-

ния имеет вид x * (t) = 12 t + 14 .

Общее решение рассматриваемого неоднородного уравнения запишется так:

3 8 5

Взаключение отметим, что теория линейных разностных уравнений

спостоянными коэффициентами во многом похожа на теорию линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

!Задания для самостоятельной работы

1. Решить однородные линейные разностные уравнения:

а) x(t + 2) − 3x(t + 1) + 2x(t) = 0 ;

б) x(t + 2) + 2x(t + 1) + 4x(t) = 0 ;

в) x(t + 2) − 5x(t + 1) + 6x(t) = 0 ;

г) x(t + 3) − 5x(t + 2) + 8x(t + 1) − 4x(t) = 0 ;

д) x(t + 3) + 7x(t + 2) + 15x(t + 1) + 9x(t) = 0 ;

е) x(t + 4) + 2x(t + 2) + x(t) = 0 .

2. Решить неоднородные линейные разностные уравнения:

а) x(t + 2) − 5x(t + 1) + 6x(t) = 1;

б) x(t + 2) − 4x(t + 1) + 4x(t) = t2t ;

в) x(t + 3) − x(t + 2) + 2x(t) = t 2 − t + 4 ;

г) x(t + 2) − 3x(t + 1) + 2x(t) = t + 2t .

3 8 6

ЧАСТЬ IV

ДОПОЛНЕНИЕ

Материал, изложенный в лекциях 20* и 46*, применяется в математической экономике и предлагается студентам для самостоятельного изучения. Эти лекции можно читать вместо лекций 20 и 46, но в таком случае самостоятельному изучению подлежит материал, изложенный в лекциях 20 и 46. Полезен также материал, изложенный в лекции 59*.

Лекция 20*

Блочные матрицы. Неотрицательные матрицы

Даны определения и основные свойства блочных и неотрицательных матриц, приведена простая модель трех взаимодействующих отраслей производственного процесса.

10. Блочные матрицы. Иногда матрицу вертикальными и горизонтальными прямыми разбивают на отдельные блоки, так что каждый блок является отдельной матрицей меньших размеров, чем исходная. Такую матрицу называют блочной. В случае, когда вертикальных и горизонтальных прямых по одной, блочная матрица может

Основное свойство блочных матриц состоит в том, что все операции с блочными матрицами такие же, как если бы на месте блоков

Аналогично в случае det A22 ≠ 0 имеем

3 8 7

Отсюда следуют утверждения: а) если матрицы A и A22

не вырождены, то не вырождена и матрица K = A11 − A12 A22− 1A21 ; б) если не вырождены матрицы A и A11, то не вырождена и матрица

H = A22 − A21A11− 1A12 ; в) если матрицы A и A11 не вырождены, то имеет место формула Фробениуса:

Формула Фробениуса (1) сводит обращение матрицы порядка n + m n + m к обращению двух матриц порядков n n и m m и операциям сложения и умножения матриц с размерами n n, m m, n m, m n.

Если предположить, что матрицы A и A22 не вырождены, то можно получить другой вид формулы Фробениуса:

Пример 1. С помощью формулы Фробениуса построить обратную матрицу для

H = A22 − A21A11− 1A12 =

3 8 8

20. Неотрицательные матрицы. Прямоугольную матрицу

A = (aij), i = 1, m ; j = 1, n с вещественными элементами назовем неотрицательной (обозначение: A ≥0), если все элементы матрицы А неотрицательны: aij ≥ 0. Если все элементы матрицы А положительны: aij > 0, то такую матрицу будем называть положительной (обозначе-

ние: A > 0).

Квадратная матрица A = (aij); i, j = 1, n называется разложимой, если

3 8 9

при некотором разбиении всех индексов 1, 2, ..., n на две дополнительные системы ( без общих индексов) i1, i2, ..., is; k1, k2, ..., kp

( s + p = n) :

aiα kβ = 0 , α = 1,2, ..., s ; β = 1,2, ..., p .

В противном случае матрицу А назовем неразложимой.

Под одновременной перестановкой строк и столбцов матрицы А понимаем соединение перестановки строк с такой же перестановкой столбцов. Тогда определение разложимой и неразложимой матриц можно сформулировать так: матрица А называется разложимой, если одновременной перестановкой строк и столбцов ее можно привести к

неразложимая неотрицательная матрица.

Некоторые свойства неразложимых матриц:

1. Неразложимая матрица не имеет нулевых строк и столбцов. 2. Если А – неразложимая матрица и z > 0, то Az > 0.

3. Если A ≥ 0 – неразложимая матрица порядка n n, то

(E + A)n–1 > 0.

4. Пусть А – неразложимая матрица, m – натуральное число. Тогда в матрице Am нет нулевых строк и нулевых столбцов.

Для положительных матриц имеет место

Теорема 1 (Перрона).

Если А – положительная матрица, то существует единственное характеристическое число λ(A) матрицы А с наибольшей абсолютной величиной. Это характеристическое число положительное и простое, а соответствующий ему собственный вектор может быть выбран положительным.

3 9 0