высшая математика

Чтобы построить фазовые кривые системы (2) на плоскости Oxy в случае узла, седла и вырожденного узла, нужно прежде всего найти те фазовые кривые, которые лежат на прямых, проходящих через начало координат. Эти прямые всегда направлены вдоль собственных векторов матрицы А. В случае узла фазовые кривые касаются той пря-

3 4 1

Рис. 6

мой, которая направлена вдоль собственного вектора, соответствующего меньшему по абсолютной величине значению λ.

В случае особой точки типа фокус надо определить направление закручивания траекторий. Для этого надо, во-первых, исследовать устойчивость этой точки по знаку Re λ, и, во-вторых, определить, в каком направлении вокруг особой точки происходит движение по траекториям. Для этого достаточно построить в какой-нибудь точке col(х; у) вектор ско-

Аналогично исследуется направление движения в случае вырожденного узла.

Пример 1. Исследовать поведение фазовых кривых системы урав-

Корни характеристического уравнения действительные и отрицательные; следовательно, положение равновесия – устойчивый узел.

Прямые, содержащие фазовые кривые системы, ищем в виде y = kx.

3 4 2

x

Значит, у = – х и y = 2 – искомые прямые. Остальные фазовые кри-

x

вые – части парабол, касающихся в начале координат прямой y = 2 . Tо,

x

что эти параболы касаются именно прямой y = 2 , следует из того, что

собственный вектор col(2; 1) матрицы коэффициентов данной системы, соответствующий собственному числу λ1 = – 2, параллелен прямой

x

y = 2 (рис. 7).

Пример 2. Определить тип положения равновесия системы

Корни характеристического уравнения действительны и имеют разные знаки, следовательно, положение равновесия – седло. Найдем сепаратрисы седла, т.е. прямые, разделяющие гиперболы разных типов, которые являются фазовыми кривыми системы.

Ищем их в виде y = kx. Для определения k имеем уравнение

нию к началу координат. Аналогично определяем направление движения вдоль прямой y = 2x. Используя полученную информацию, схематически изображаем фазовые кривые исходной системы и указываем направление движения по этим кривым (рис. 8).

3 4 3

(1). Для исследования положения равновесия общей системы (1) надо перенести начало координат в исследуемое положение равновесия и разложить функции f (x, y) и g(x, y) в окрестности этой точки по формуле Тейлора, ограничиваясь членами первого порядка. Тогда система (1) (см. Л. 54) примет вид:

3 4 4

Если вещественные части корней характеристического уравнения (3) отличны от нуля, то положение равновесия х = у = 0 системы (1) имеет тот же тип, что и положение равновесия системы (2), получаемой из (4) при

R1(x, y) = 0, R2(x, y) = 0.

Пример 4. Исследовать положения равновесия системы уравне-

ний: dxdt = sin x , dydt = sin y .

Решение. Правые части этой системы уравнений периодичны по х и у с периодом 2π , поэтому достаточно исследовать систему в квадрате

K = {(x, y) : 0 ≤ x < 2π , 0 ≤ y < 2π }.

Этот квадрат содержит четыре положения равновесия системы O(0; 0), O1(0; π ), O2(π ; 0), O3(π ; π ). Составляем и решаем характеристическое уравнение, соответствующее положению равновесия col(x0; y0):

Значит, положения равновесия O и O3 – узлы, причем О – неустойчивый, а O3 – устойчивый узел. Корни характеристического уравнения, соответствующего точкам O1 и O2, действительны и имеют разные знаки, т.е. O1 и O2 – седла. Поведение фазовых кривых изображено на рис. 12.

3 4 5

Рис. 12

! Задания для самостоятельной работы

1. Исследовать поведение фазовых кривых систем уравнений:

2. Выяснить типы положений равновесия систем уравнений:

3 4 6

Лекция 56

Числовые ряды

Вводится понятие числового ряда. Исследуются признаки сходимости числовых рядов.

n= 1

называется числовым рядом. Числа a1, a2, a3, ..., an, ... называются членами ряда, а an – n-ым или общим членом ряда (1).

Сумма первых n членов ряда (1) называется n-ой частичной суммой данного ряда и обозначается Sn,

n

S n = a1 + a2 + a3 + ... + an = ∑ ak .

k = 1

Будем иметь

S1 = a1, S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3, ... , Sn = a1 + a2 + ... + an, ... .

Получим последовательность частичных сумм ряда (1)

S1, S2, ... , Sn, ... .

Если последовательность частичных сумм {Sn} имеет конечный предел S, то числовой ряд (1) называется сходящимся и число S называется суммой ряда (1),

∞

S = a1 + a2 + ... + an + ... или S = ∑ an .

n= 1

Если же предел последовательности {S n}не существует или бесконечен, то ряд (1) называется расходящимся.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд:

1 + q + q2 + ... + qn + ..., q R.

Решение. Составим n-ую частичную сумму

Sn = 1 + q + q2 + ... + qn–1.

Легко найти, что

3 4 7

Мы получаем известную формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии.

Если q >1 или q = 1, то, очевидно, последовательность {Sn}

является ББП, если же q = – 1, то предел {Sn} не существует. Выражение вида

k = i + 1

также представляет собой ряд, и он называется i-ым остатком ряда (1) (обозначается ri).

Теорема 1.

Числовой ряд и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. По определению n-ая частичная сумма ряда (1)

Sn = a1 + a2 + ... + an,

а m-ая частичная сумма ряда (2)

где Sn – частичная сумма ряда (1), rn – его n-ый остаток.

3 4 8

Итак, если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при n→∞ .

дится. Однако подчеркнем, что условие (4) не является достаточным, т.е. если оно выполняется, то это не означает, что ряд сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

ствительно, предположим противное. Пусть ряд (5) сходится и

что противоречит (6). Таким образом, гармонический ряд расходится.

n

30. Достаточные условия сходимости. Вначале доста-

точные условия сходимости будем искать для рядов с неотрицательными членами, т.е. будем рассматривать ряды:

3 5 0