высшая математика

Пример 2. Пояснить теорему Перрона для случая, когда положи-

Соответствующий λ2 = λ(A) = 5 собственный вектор (см. Л. 15)

Положительная матрица является частным случаем неразложимой неотрицательной матрицы. Фробениус обобщил теорему Перрона и на эти матрицы.

Теорема 2 (Фробениуса).

Неразложимая неотрицательная матрица А всегда имеет положительное характеристическое число λ(A), являющееся простым корнем характеристического уравнения, причем λ(A) ≥ λi , где {λ i } – совокупность остальных характеристических чисел. Числу λ(A) соответствует собственный вектор x(A с положительными координатами.

Из теоремы 1 вытекает следующий важный результат, который называют предельной теоремой.

Теорема 3.

Пусть c – произвольный неотрицательный вектор (c ≠ 0). Тогда предел

=A nc

vlim

→∞ [λ(A)]nn

существует и является собственным вектором матрицы А, соответствующим характеристическому числу λ(A). Этот предел единствен с точностью до скалярного множителя, зависящего от выбора начального вектора с.

30. Простая модель межотраслевого производствен-

ного процесса. Рассмотрим простую модель трех взаимодействую-

3 9 1

щих отраслей, которые будем условно называть «автомобилестроительной», «сталелитейной», «станкостроительной».

Пусть каждая из этих отраслей в любой момент времени может быть описана ее сырьевым ресурсом и ее производительной мощностью.

Введем следующие переменные состояния:

x1(n) – число автомобилей, произведенных к моменту времени n; x2(n) – производственная мощность автомобилестроительных за-

водов в момент времени n;

x3(n) – запас стали в момент времени n;

x4(n) – производственная мощность сталелитейных заводов в момент времени n;

x5(n) – количество (ресурс) станков в момент времени n;

x6(n) – производственная мощность станкостроительных заводов в момент времени n.

Если сделать некоторые допущения относительно экономической взаимосвязи трех отраслей и использовать принцип сохранения: количество материала в момент n + 1 равно количеству материала в момент n минус использованное за период времени (n; n + 1) плюс произведенное за указанный период времени, то получим уравнения, связывающие xi(n + 1) и xi(n) вида:

Рассмотрение модели (3) , (4) иллюстрирует ту важную роль, которую играют матрицы специального вида, рассмотренные в п.20 и называемые иногда «входными – выходными»ы.

40. Матрицы Минковского-Леонтьева. Рассмотрим теперь специальный класс неотрицательных матриц, определяемый условиями

i= 1

Эти матрицы возникают в связи с решением алгебраических уравнений вида

3 9 2

встречающихся при рассмотрении моделей, очень похожих на предыдущую, для межотраслевых производственных процессов.

то система (7) имеет единственное решение, которое положительно, если все yi положительны.

Если aij > 0, то матрица (I – A)–1 также положительна.

! Задания для самостоятельной работы

1. С помощью формулы Фробениуса найти обратные матрицы для следующих матриц:

3. Доказать, что из условия Ax ≥0 при всех x ≥0 следует, что

A≥ 0.

4.Показать, что из A ≥ B ≥ 0 следует, что λ(A) ≥ λ(B) (A ≥ B означает, что A – B ≥0).

3 9 3

Лекция 46*

Однородные функции. Теоремы о неявных функциях

Дано определение однородной функции, приведена теорема Эйлера об однородных функциях, рассмотрены теоремы о неявных функциях.

10. Однородные функции. В лекции 48 при рассмотрении однородных уравнений первого порядка дано понятие однородной функции двух переменных. Дадим определение однородной функции нескольких переменных: функция нескольких переменных называется однородной функцией этих переменных степени m, если при умножении этих переменных на произвольную величину t функция умножается на tm, т.е. имеет место тождество:

(или f (tx() = f (tx1, ..., tx n ) = t m f (x1, ..., xn ) = t m f (x() )

при любых допустимых значениях переменных x, y, z, t (x1, ..., xn, t). Число m может быть любым фиксированным вещественным числом.

Примеры однородных функций:

а) однородной функцией третьей степени является любой однородный многочлен от х и у третьей степени, т.е. функция вида f (x, y) = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3;

степеней соответственно 1, 0 и –1.

Дифференцируя тождество (1) по t и применяя правило дифференцирования сложной функции, получим, полагая u = tx и v = ty:

что выражает следующую теорему Эйлера об однородных функциях.

3 9 4

Сумма произведений частных производных однородной функции на соответствующие переменные равна произведению самой этой функции на степень ее однородности.

Естественно, считаем, что функция f (x, y) имеет непрерывные частные производные по соответствующим переменным, которые

т.е. однородная функция нулевой степени есть функция отношения всех переменных, кроме одной, к этой последней переменной.

Иногда однородную функцию нулевого измерения называют просто однородной.

Примеры однородных функций в экономике. Рассмотрим ос-

новные типы макроэкономических производственных функций.

1) Степенная производственная функция (функция типа КоббаДугласа) имеет вид

Y = AK α Lβ ,

где A, α , β – положительные числа. Здесь Y – национальный доход, К – капитал, L – труд. Отметим, что при α + β = 1, 0 < α < 1 получаем классическую функцию Кобба-Дугласа Y = AK α L1− α .

Очевидно, что степенная производственная функция является однородной степени m = α + β , которая определена для K ≥0 и L ≥0.

2) Функция с постоянными пропорциями имеет вид

Y= A min K , L ,

a b

3 9 5

где A, a, b – положительные числа. Вектор col (a; b) характеризует удельные затраты капитала и труда, необходимые для выпуска продукции в количестве А.

Эта функция определена для K ≥0, L ≥0 и является однородной первой степени.

3) Функция с постоянной эластичностью замены (CES) есть

Y = (AK − ρ + BL− ρ )− mρ ,

где A, B, ρ, m – положительные числа.

Функция CES однородная, степени m и определена для K > 0, L > 0.

20. Существование неявных функций. Вначале

и укажем те условия, при которых оно определяет единственным образом y как функцию от x, непрерывную и имеющую производную.

пусть F(x, y) и ее частные производные первого порядка по x и y – непрерывные функции при всех x и y, достаточно близких к x0 и y0, и, пусть, наконец, частная производная Fy′(x, y) отлична от нуля при x = x0, y = y0. Тогда существует при всех x, достаточно близких к x0, одна определенная функция y(x), удовлетворяющая уравнению (3), непрерывная, имеющая производную и удовлетворяющая условию: y(x0)=y0.

Доказательство. Пусть для определенности Fy′(x, y ) >0 при x = x0, y = y0. Т.к. по условию эта производная непрерывна, то она будет положительной и при всех значениях x и y, достаточно близких к x0 и y0, т.е. существует такое положительное число l, что F (x, y) и ее частные производные непрерывны и

3 9 6

F (x, y0 + l) > 0 при всех x, достаточно близких к x0, т.е. существует такое положительное число l1, что

выполнены неравенства (5) и (7), если x и y удовлетворяют неравен-

Если взять какое-нибудь определенное x, лежащее в промежутке (x0 – m; x0 + m), то F (x, y) как функция от y будет в силу (5) возрастающей функцией в промежутке (y0 – l; y0 + l), и в силу (7) – разных знаков на концах этого промежутка. Следовательно, она будет обращаться в нуль при одном определенном значении y из этого промежутка. В частности, если x = x0, то в силу (4) это значение y будет y = y0. Таким образом, доказано существование в промежутке (x0 – m; x0 + m) определенной функции y(x), являющейся решением уравнения (3) и удовлетворяющей условию y(x0) = y0. Другими словами, из предыдущих рассуждений следует, что при любом фиксированном x (x0 – m; x0 + m) уравнение

(3) имеет единственный корень, лежащий внутри промежутка (y0 – l; y0 + l). Покажем теперь, что найденная функция y(x) будет непрерывной при x = x0. Действительно, при любом заданном малом положитель-

ном εчисла F (x0, y0 – ε) и F (x0, y0 + ε) будут в силу (7) разных знаков, а,

y(x) при x = x0.

Покажем теперь существование производной y′(x ) при x = x0. Пусть ∆x = x – x0, ∆y = y – y0 есть соответствующее приращение y. Следовательно, x = x0+ ∆x и y = y0+ ∆y удовлетворяют уравнению (3), т.е. F (x0 + ∆x, y0 + ∆y) = 0, и в силу (4) имеем

F (x 0 + ∆x, y0 + ∆y) − F (x0 , y0 ) = 0 .

Принимая во внимание непрерывность частных производных,

3 9 7

Таким образом, доказаны непрерывность и существование производной функции y(x) только при x = x0. Если взять какое – либо другое значение x из промежутка (x0 – m; x0 + m) и соответствующее значение y из промежутка (y0 – l; y0 + l), являющееся корнем уравнения (3), то для этой пары значений x, y опять выполнены все условия теоремы 1, и в силу доказанного y(x) будет непрерывной при указанном значении x.

Теорема 1 доказана. Отметим, что совершенно так же, как и выше, формулируется и

доказывается теорема о существовании неявной функции z (x, y), определяемой уравнением

Φ (x, y, z) = 0 .

Рассмотрим теперь систему m функциональных уравнений

где x( R n , y( R m . Требуется отыскать решение системы уравнений (10) как совокупность функций y = ϕ (x() i = 1, m , т.е. таких функций

ϕi (x() , которые при подстановке в систему (10) вместо yi обращают ее

втождество. i i

Матрицу частных производных левых частей системы (10) называют матрицей Якоби:

3 9 8

Лекция 59*

Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов

На примере линейного дифференциального уравнения второго порядка иллюстрируется метод нахождения его решения в виде степенного ряда.

10. Разложение решения в степенный ряд. Этот прием особенно удобен в применении к линейным дифференциальным уравнениям. Проиллюстрируем его применение на примере уравнения второго порядка. Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение второго порядка

где коэффициенты p(x), q(x) представляются в виде рядов, расположенных по целым положительным степеням х, так что уравнение (1) можно переписать в виде

Решение этого уравнения также будем искать в виде степенного ряда

Перемножив степенные ряды, собирая подобные члены и приравнивая к нулю коэффициенты при всех степенях х в левой части (4), получаем ряд уравнений:

x 2 4 3c4 + 3a0c3 + 2a1c2 + a2c1 + b0c2 + b1c1 + b2c0 = 0 .

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

Каждое последующее из уравнений (5) содержит одним искомым коэффициентом больше, чем предыдущее. Коэффициенты c0 и c1 остаются произвольными и играют роль произвольных постоянных. Первое из уравнений (5) дает c2, второе – c3, третье – c4 и т.д. Вообще из (k + 1)-го уравнения можно определить ck+2 , зная c0, c1, ... , ck+1.

4 0 0