высшая математика

Теорема 4.

Для того, чтобы ряд (8) сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограниченной.

Докажем, например, достаточность. Пусть последовательность {S n}

ограничена. Заметим, что S n+ 1 = S n + an ≥ S n , n N, так как an ≥0, т.е. {S n} – неубывающая и ограничена. Тогда по теореме из Л.22 она имеет

предел.

Теорема 5 (признак сравнения).

Пусть даны два ряда с неотрицательными членами

Образно говоря, признак сравнения свидетельствует о том, если сходится некоторый ряд с неотрицательными членами, то ряд с меньшими неотрицательными членами также сходится. Наоборот, если ряд с неотрицательными членами расходится, то ряд с большими неотрицательными членами также расходится.

Решение. Применим признак сравнения, воспользовавшись тем, что гармонический ряд (см. пример 2) расходится. Очевидно,

3 5 1

Доказательство. Пусть q < 1. Выберем число ε> 0 так, чтобы q + ε< 1. Тогда по определению предела последовательности Ν0 Ν

Случай q > 1 рассматривается аналогично. Если же q = 1, то можно привести примеры и сходящихся, и расходящихся рядов.

Приведем без доказательства еще один признак.

Теорема 7 (признак Коши).

∞

Пусть дан ряд ∑ an с неотрицательными членами и существует

n= 1

предел lim n an = q . Тогда, если q < 1, то ряд сходится, если q > 1, то

n→ ∞

ряд расходится. Если q = 1, то ряд может сходиться, а может и расходиться.

3 5 2

Пример 5. Исследовать сходимость следующих рядов:

Ряд расходится. Приведенные выше достаточные условия сходимости относятся

к рядам с неотрицательными членами. Теперь рассмотрим еще один тип рядов – знакочередующиеся ряды.

Знакочередующимся рядом называется ряд вида

где an > 0, n N.

Теорема 8 (признак Лейбница).

Если члены ряда (9) удовлетворяют условиям:

то ряд (9) сходится и его сумма S не превосходит a1, т.е. S ≤ a1.

3 5 3

∞

Пусть имеем знакопеременный ряд ∑ an . Знакопеременный ряд

Заметим, что исследование знакопеременных рядов на абсолютную сходимость можно провести с помощью признаков Даламбера,

∞

Коши и признаков сравнения, так как ряд ∑ an является рядом с

n= 1

неотрицательными членами.

! Задания для самостоятельной работы

1. Исследовать сходимость следующих рядов:

3 5 4

Лекция 57

Функциональные ряды. Степенные ряды

Вводятся понятия функциональных рядов. Рассматриваются вопросы сходимости степенных рядов.

∞

10. В прошлой лекции рассматривались числовые ряды ∑ an ,

n= 1

т.е. ряды, членами которых являются числа. Теперь будем изучать ряды вида:

n= 1

где fn(x), n N – некоторые функции аргумента х, заданные на множестве Х. В этом случае говорят, что на множестве Х задан функциональный ряд.

Если фиксировать какое-либо x = x0 X, то ряд

n= 1

является числовым рядом. Если числовой ряд (2) сходится, то говорят, что функциональный ряд (1) сходится в точке x = x0. Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости. Область сходимости может совпадать с множеством Х, но может и не совпадать, в частности, может быть пустым множеством.

Пусть D – область сходимости ряда (1). Тогда для каждого

∞

фиксированного x D соответствующий числовой ряд ∑ fn (x ) сходится

n= 1

и имеет сумму. Если каждому x D поставить в соответствие число, равное этой сумме, то на множестве D будет определена некоторая функция S = S(x), называемая суммой функционального ряда (1). Тогда записывают:

S (x ) = f1(x ) + f2 (x ) + ... + f n (x ) + ... , x D.

∞

Пример 1. Найти область сходимости функционального ряда ∑ x n.

n= 0

Решение. В данном случае fn(x) = xn, n = 0,1, .... Эти функции определены на R. Из примера 1 Л. 56 следует, что этот функциональный ряд сходится в любой точке x R, для которой | x | < 1. Если же |x| ≥1, то

3 5 5

соответствующий числовой ряд расходится. Таким образом, областью

∞

сходимости ряда ∑ x n является интервал (–1, 1).

n= 0

Очевидно, суммой этого функционального ряда является функция

Функциональный ряд (1) называется абсолютно сходящимся на мно-

∞

жестве D1, если в каждой точке x D1 сходится ряд ∑ fn (x ) .

n= 1

Так как абсолютно cходящийся ряд сходится, то D1 D . Образуем n-ую частичную сумму ряда (1):

ловая последовательность. Если существует конечный lim S n (x 0 ) , то

n→ ∞

он равен S(x0). По определению предела это означает, что ε > 0 су-

ществует номер N0 такой, что n > N0: S n (x0 ) − S (x0 ) < ε. Подчеркнем, что здесь номер N0 зависит, вообще говоря, и от ε,

и от точки x0. Особый интерес представляет случай, когда можно указать номер N0 такой, что он зависит только от εи не зависит от выбора точки x0, x0 D.

Если для ε > 0 N0, N0 N, зависящий лишь от εи не зависящий

от x, x D, такой, что x D и n > N0 S n (x ) − S (x ) < ε, то говорят, что функциональный ряд (1) равномерно сходится в области D.

Весьма удобным для исследования ряда на равномерную сходимость является следующий признак Вейерштрасса.

Теорема 1.

Если члены ряда удовлетворяют неравенствaм f n (x ) ≤ an , n N, x D,

∞

и числовой ряд ∑ an сходится, то ряд (1) равномерно сходится в D.

n= 1

3 5 6

Пример 2. Исследовать на равномерную сходимость ряд

Если предположить, что члены ряда (1) являются функциями непрерывными в области его сходимости D, то возникает вопрос, будет ли непрерывной его сумма S(x) в D. Ответ дает следующая

Теорема 2.

Если члены функционального ряда (1) являются непрерывными в области D функциями и ряд (1) равномерно сходится в D, то его сумма является функцией, непрерывной в D.

n= 0

Именно такие степенные ряды будем изучать. Если в (3) положить х – а = у, то придем к ряду вида (4).

Степенной ряд (4) всегда сходится в точке х = 0. Если x ≠ 0, то ряд (4) может сходиться, а может и расходиться.

Важную роль в теории степенных рядов играет следующая теорема.

3 5 7

Так как каждая точка числовой оси является либо зеленой, либо красной, то, идя от точки х = 0 вправо по числовой оси, сначала будем встречать только зеленые точки, а затем – только красные точки, причем граничная или разделяющая эти разноцветные участки точка R может быть или зеленого, или красного цвета. То же самое можно сказать, если идти налево от точки х = 0, в частности, в точке х = – R ряд может или сходиться, или расходиться (рис. 1).

Рис. 1

Указанное число называется радиусом сходимости ряда (4), интервал (–R, R) – интервалом сходимости. Если ряд (4) сходится только в точке х = 0, то R = 0; если ряд сходится для всех x R , то R = ∞ .

Подчеркнем, что в каждой точке x R ряд (4) будет сходиться абсолютно, в точках x = ± R может сходиться, а может и расходиться.

признак Даламбера (см. предыдущую лекцию). Имеем:

3 5 9