высшая математика

30. Приведем таблицу основных интегралов. Часть формул этой таблицы является непосредственным следствием из определения неопределенных интегралов и таблицы производных. Другую часть формул проверим ниже.

Проверим, например, справедливость 11 и 12. Имеем:

2 1 1

Используя свойства неопределенных интегралов и таблицу основных интегралов, можно интегрировать некоторые элементар-

ные функции. Такое вычисление неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

Пример 2. Найти следующие интегралы:

Здесь мы применили свойства 4) и 5) неопределенного интеграла. Воспользуемся формулой 1 из таблицы основных интегралов:

Часто, имея сумму нескольких неопределенных интегралов, не выписывают все произвольные постоянные, а обозначают их одной.

б) Поступая аналогично, как в примере а), получим

2 1 2

В следующей лекции мы познакомимся с другими методами интегрирования.

Здесь заметим лишь, что в Л.27 отмечалось, что операция дифференцирования не выводит из класса элементарных функций, а именно,

производная элементарной функции снова есть элементарная функция.

Иначе обстоит дело с интегрированием. Существуют элементарные фун-

кции, первообразная которых не выражается через элементарные фун-

кции. Такими являются, например, интегралы

!Задания для самостоятельной работы

1.Найти интегралы:

2 1 3

Лекция 35

Методы интегрирования. Интегрирование простейших рациональных дробей

Рассматриваются метод замены переменной интегрирования и интегрирование по частям. Изучается интегрирование простейших рациональных дробей.

10. Метод замены переменной интегрирования.

Часто под знаком интеграла может оказаться функция, для которой не имеется табличного интеграла и непосредственное интегрирование невозможно. Тогда применяются другие методы интегрирования, в частности, метод замены переменной.

Теорема 1.

Пусть функция x = ϕ (t) определена и дифференцируема на промежутке Т и Х – множество ее значений. Пусть функция у = f(х) определена на множестве Х и имеет на этом промежутке первообразную. Тогда справедлива формула

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. Естественно, что ее целесообразно применять, удачно выбрав замену x = ϕ (t) в том случае, когда в результате в правой части получается более простой интеграл.

Доказательство. Пусть функция F (х) является первообразной для функции f (x). Тогда имеем:

Сравнивая правые части формул (2) и (3), получаем формулу

(1).

2 1 4

Пример 1. Вычислить интеграл ∫ln5 x dxx .

Решение. В таблице основных интегралов этот интеграл отсутствует. Поэтому в данном случае постараемся подобрать подходящую замену переменной, чтобы прийти к табличному интегралу. Положим ln x = t , т.е. x = e t.

Отметим, что иногда, как в этом примере, первоначально удобно задавать не х как функцию t, а, наоборот, задавать t как функцию х.

Теперь приведем несколько другой подход к решению этого при-

На последнем шаге мы неявно воспользовались заменой ln x = t. Безусловно, интегрирование с помощью замены переменной часто является непростым делом и требует определенных навыков.

Пример 2. Показать, что если F есть первообразная для функции f, то

В данном случае можно поступить и так:

2 1 5

20. Интегрирование по частям.

Теорема 2.

Пусть функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы на промежут-

Решение. Основная трудность применения интегрирования по частям состоит в правильном выборе функций u и v, т.е. в таком выборе, чтобы интеграл справа в формуле (4) или (6) оказался проще,

2 1 6

чем интеграл слева. Так в данном случае удобно положить х = u, а exdx = dv. Найдем функцию v (точнее, одну из функций v):

∫dv = ∫ex dx, v = ex .

Применяя формулу (6), находим:

∫xe x dx = ∫x dex = xe x − ∫ex dx = xe x − ex + C .

При наличии определенных навыков интегрирования по частям можно не выписывать функции u и v, а только подразумевать их. Например,

∫xe x dx = ∫x(ex )′dx = ∫x dex = xe x − ∫ex dx = xe x − ex + C .

30. Интегрирование простейших рациональных дро-

бей. С помощью приведенных выше методов можно найти следующие неопределенные интегралы:

2 1 7

Обратимся к интегралу 3). Выделим в трехчлене x2 + px + q полный квадрат:

x2 + 2px + q = (x + p)2 + q – p2 = (x + p)2 + h2,

Несколько сложнее вычисляется интеграл 4). Не будем приводить здесь соответствующее решение. Этот результат можно найти, в частности, в различных справочниках с расширенной таблицей интегралов. Заметим лишь, что и интеграл 4) выражается через простейшие рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

Решение. Можно воспользоваться формулой (9), положив М = 0, N = 1, p = 1, q = 5. Однако проще непосредственно интегрировать, используя аналогичные приемы.

Выделим полный квадрат и получим