высшая математика

Лекция 45

Метод наименьших квадратов

Излагается метод наименьших квадратов, состоящий в определении m параметров в наперед заданной формуле так, чтобы в эту формулу наилучшим образом «укладывались» бы известные n пар значений х и у.

На практике часто приходится решать следующую задачу. Пусть для двух функционально связанных величин х и у известны n пар соответствующих значений (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn). Требуется в наперед заданной формуле y = f (x, a1, a2, ..., am) определить m параметров a1, a2, ..., am (m < n) так, чтобы в эту формулу наилучшим образом «вложить» известные n пар значений х и у.

По методу наименьших квадратов искомые значения параметров a1, a2, ..., am дают минимум функции

S = ∑n [f (xk , a1, a2 , ..., am ) − yk ]2 ,

k = 1

т.е. сумму квадратов отклонений значений у, вычисленных по формуле от заданных. Поэтому такой способ и получил название метода наименьших квадратов.

Если функция f (x, a1, a2, ..., am) имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам, то необходимое условие минимума функции S представляет собой систему m уравнений с m неизвестными:

Эта система называется нормальной системой метода наименьших квадратов.

На практике заданную формулу y = f (x, a1, a2, ..., am) иногда приходится (в ущерб строгости полученного решения) преобразовывать к такому виду, чтобы систему (1) было проще решать.

Рассмотрим частные случаи:

Система (1) принимает следующий вид:

2 8 1

Эта система m + 1 уравнений с m + 1 неизвестными всегда имеет единственное решение, т.к. ее определитель отличен от нуля.

Для определения коэффициентов системы (2) удобно составить вспомогательную таблицу 1.

В последней строке записывают суммы элементов каждого столбца, которые и являются коэффициентами системы (2).

Таблица 1

Систему (2) обычно решают методом Гаусса.

Пример 1. Рост производства химволокна по годам представлен в табл. 2.

Предполагая, что y = a0 x + a1, найти параметры этой зависимости по методу наименьших квадратов.

Решение. Для составления нормальной системы (2) необходимые результаты вычислений занесем в табл. 3.

2 8 2

Таблица 2

Таблица 3

Нормальная система (2) в этом случае примет вид:

30a0 +10a1 = 7529,

10a0 + 4a1 = 2874.

Решая эту систему, получим a0 = 68,8, a1 = 546,5.

Следовательно, искомая эмпирическая формула имеет вид y = 68,8x + 546,5.

2o. y = Aecx. Для упрощения системы (1) эту формулу, связывающую х и у, предварительно логарифмируем и заменяем формулой

lg y = lg A + c lg e x.

Система (1) примет в этом случае следующий вид:

Вспомогательная таблица имеет вид таблицы 4. Из системы (3) определяем с и lg A.

2 8 3

Таблица 4

Пример 2. Способом наименьших квадратов подобрать показательную функцию S = Aect по следующим табличным данным (табл. 5).

Таблица 5

Составим таблицу 6.

Таблица 6

Имеем систему уравнений

2 8 4

Отсюда c·lg e = – 0,1509, lg A = 3,1091. Значит, А = 1286,

с = – 0,347. Таким образом, искомая показательная функция имеет вид

S = 1286e–0,347t.

30. y = Axq. Эту формулу также предварительно прологарифмируем и заменим следующей:

lg y = lg A + q lg x.

Тогда система (1) примет вид:

Соответствующим образом изменится и вспомогательная таблица 1.

Пример 3. Способом наименьших квадратов подобрать степенную функцию S = Atq по следующим табличным данным.

Таблица 7

Составим таблицу 8.

Таблица 8

2 8 5

Используя (4), получаем систему уравнений:

искомая степенная функция имеет вид S = 7,161 t 1, 954.

!Задания для самостоятельной работы

1.Способом наименьших квадратов подобрать для заданных значений х и у квадратичную функцию ϕ (x) = a0x2 + a1x + a2:

а)

б)

в)

г)

2. Найти показательную функцию S = Aect:

а)

б)

3. Найти степенную функцию S = Atq:

2 8 6

Лекция 46

Двойные интегралы

Дано определение двойного интеграла от функции f (x, y) по области D, приведены основные его свойства и правила вычисления; рассмотрена замена переменных в двойном интеграле.

1 0 . Определение двойного интеграла и его ос-

новные свойства. Пусть функция f (x, y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости Oxy.

Разобьем область D произвольным образом на n элементарных областей, имеющих площади ∆σ 1, ∆σ 2, ..., ∆σ n, и диаметры d1, d2, ..., dn (диаметром области называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной

биения D на элементарные области и от выбора точек Pk в каждой из них, то этот предел называется двойным интегралом от функции f (x, y) по области D и обозначается так:

Ясно, что площадь плоской фигуры, ограниченной областью D, находится по формуле :

Можно показать, что объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z = f (x, y), снизу плоскостью z = 0, и сбоку цилиндрической поверхностью, направляющей для которой служит граница D, а образующими – прямые, параллельные оси Oz, равен двойному интегралу от f (x, y) по D.

2 8 7

Основные свойства двойного интеграла:

а) ∫∫[c1 f1 (x, y) ±c2 f2 (x, y) ]dσ = c1 ∫∫ f1 (x, y)dσ ±c2 ∫∫ f2 (x, y)dσ .

в) Если подынтегральные функции удовлетворяют неравенству 0 < f (x, y) ≤ g(x, y) в области D, то такому же неравенству удовлетворяют двойные интегралы:

0 < ∫∫ f (x, y)dσ ≤ ∫∫g(x, y)dσ .

D D

г) Модуль двойного интеграла не больше двойного интеграла от модуля.

20. Правила вычисления двойного интеграла. Вычис-

ление двойного интеграла может быть проведено путем сведения его к повторному. Если область D задана неравенствами a ≤ x ≤ b, ϕ 1(x) ≤ y ≤ ϕ 2(x) (рис. 1), то двойной интеграл может быть вычислен по формуле

ϕ 1 ( x)

Рис. 1

2 8 8

Рис. 2

Если область интегрирования D задана неравенствами c ≤ y ≤ d, ψ 1(y) ≤ x ≤ ψ 2(y) (рис. 2), то имеет место формула

постоянной.

Правые части указанных формул называются двукратными, или повторными интегралами.

В более общем случае, если это возможно, область интегрирования путем разбиения на части сводится к основным областям (рис. 1 и 2).

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

2 8 9

Рис. 3

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x = 4y – y2, x + y = 6.

Решение. Найдем координаты точек пересечения заданных линий, решая систему уравнений x = 4y – y2, x + y = 6. В результате получим А(4; 2), В(3; 3). Таким образом, по формуле (2) получаем:

30. Двойной интеграл в полярных координатах.

Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат х, у к полярным ρ , θ , связанных с прямоугольными координатами соотношениями x = ρ cos θ , y = ρ sin θ , oсуществляется по формуле:

2 9 0