высшая математика

Итак, имеем два независимых интеграла системы (9). Решая систему (10), (11) относительно х и у, получим общее решение системы (9):

Замечание 1. Если правые части нормальной системы ДУ имеют вид

ax + by + P(t) , где а, b – постоянные, t>0, а Р(t) – многочлен от t, то подста- t

новка t = eτ приводит эту систему к системе с постоянными коэффициентами.

3 3 1

Пример 4. Решить систему ДУ:

Для решения последней системы применим метод Даламбера. Умножим второе уравнение системы на λ и сложим почленно с первым:

3 3 2

! Задания для самостоятельной работы

1. Методом исключения решить следующие системы:

2. Решить методом Даламбера следующие системы уравнений:

3 3 3

Лекция 54

Устойчивость нулевого решения динамических систем второго порядка

Дано определение устойчивости по Ляпунову, приведены условия устойчивости линейных систем с постоянными коэффициентами, исследована устойчивость нелинейных систем по первому приближению.

10. Определение устойчивости. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

где f (x, y) и g(x, y) – непрерывно дифференцируемые в некоторой области D плоскости Оxy (или во всей плоскости) функции. Координатную плоскость Оxy называют фазовой плоскостью.

Точками покоя (или положениями равновесия) динамической системы (1) называют такие точки (x; y), что выполняются соотноше-

ния: f (x, y) = 0, g(x, y) = 0.

Пусть g(0, 0) = f (0, 0) = 0, т.е. точка О(0; 0) (начало координат) является точкой покоя системы (1).

Будем говорить, что точка покоя х = у = 0 (или тривиальное решение x(t) ≡ y(t) ≡ 0) системы (1) устойчива по Ляпунову, если каково бы ни было ε> 0, можно найти такое δ= δ(ε) >0 , что для любого

Геометрически это означает следующее. Каким бы узким ни был цилиндр радиуса ε с осью Ot, в плоскости t = 0 найдется δ–окрест- ность точки О(0; 0; 0) такая, что все интегральные кривые x = x(t), y = y(t), выходящие из этой окрестности, для всех t ≥0 будут оставаться внутри этого цилиндра (рис. 1).

3 3 4

Если, кроме выполнения неравенств (3), выполняется также

устойчивость асимптотическая.

Точка покоя х = у = 0 неустойчива, если при сколь угодно малом δ> 0 хотя бы для одного решения col(x(t); y(t)) условие (3) не выполняется.

Это и будет означать, согласно определению, что нулевое решение x(t) ≡ 0, y(t) ≡ 0 системы (4) устойчиво по Ляпунову.

3 3 5

Следовательно, если, например, взять δ(ε) = 2ε , то при | x0| < δ, | y0| < δ

в силу (5) будут иметь место неравенства (6) для всех t ≥0, т.е. действительно нулевое решение системы (4) устойчиво по Ляпунову, но эта устойчивость неасимптотическая.

20. Устойчивость нулевого решения линейных систем с постоянными коэффициентами (ЛСПК). Рассмотрим частный случай системы (1) (ЛСПК):

характеристическое уравнение матрицы А, а λ1, λ2 – корни этого уравнения.

3 3 6

Решение. Имеем: Sp A = 5 + 2 = 7, det A = 10 – 4 = 6, характеристическое уравнение λ2 – 7λ + 6 = 0 λ 1 = 1, λ2 = 6, Re λ1 = 1 > 0. Значит, в силу 2) нулевое решение x(t) ≡ 0, y(t) ≡ 0 неустойчиво.

30. Устойчивость по первому приближению. Пусть имеем динамическую систему (1) с точкой покоя O(0; 0), где функции f (x, y) и g(x, y) дифференцируемы в окрестности начала координат достаточное число раз.

Разложим функции f и g по формуле Тейлора по х, у в окрестности начала координат:

f (x, y) = ax + by + R1(x, y), g(x, y) = cx + dy + R2(x, y),

называемую системой уравнений первого приближения для системы (1).

имеют отрицательные вещественные части, то нулевое решение

х= у = 0, системы ( 7′ ) и системы (1′ ) асимптотически устойчиво.

2.Если хотя бы один корень характеристического уравнения (9) име-

3 3 7

ет положительную вещественную часть, то нулевое решение системы ( 7′ )

и системы (1′ ) неустойчиво.

Говорят, что в случаях 1 и 2 возможно исследование на устойчивость по первому приближению.

В критических случаях, когда вещественные части всех корней характеристического уравнения (9) неположительны, причем вещественная часть хотя бы одного корня равна нулю, исследование на устойчивость по первому приближению, вообще говоря, невозможно.

Пример 3. Исследовать на устойчивость по первому приближе-

нелинейные члены удовлетворяют нужным условиям; их порядок больше или равен двум. Составим характеристическое уравнение матрицы системы (11):

3 3 8

2. Исследовать на устойчивость по первому приближению нулевые решения х = 0, у = 0 следующих систем:

3 3 9

Лекция 55

Фазовая плоскость

Описано поведение траекторий линейной динамической системы второго порядка в окрестности особой точки, указан путь исследования положения равновесия соответствующей нелинейной системы.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

dx = f (x, y),

dt

(1)

dy = g(x, y),

dt

где f (x, y) и g (x, y) – непрерывно дифференцируемые в некоторой области D плоскости Oxy (или во всей плоскости) функции.

10. Случай линейной системы (1). Пусть соответствую-

щая (1) линейная система первого приближения (см. Л. 54) имеет вид