высшая математика

9.Определить запас товаров на складе, образуемый за два дня, если поступление товаров характеризуется функцией f (t) = 3t2 + 3t + 4.

10.Определить объем продукции, произведенной рабочими за третий час рабочего дня, если производительность труда характери-

11.Найти среднее значение издержек K(x) = 6x2 + 4x + 1, выраженных в денежных единицах, если объем продукции x меняется от 0 до 5 единиц. Указать объем продукции, при котором издержки принимают среднее значение.

12.Найти среднее время, затраченное на освоение одного из-

делия в период освоения от x1 = 100 до x2 = 121 изделий, полагая в формуле (7) А = 600 (мин), В = 0,5.

13.Найти объем продукции, произведенной за 5 лет, если функция Кобба-Дугласа имеет вид g(t) = (1 + 2t) e3t.

14.Определить дисконтированный доход за четыре года при процентной ставке 6%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 10 тыс. у. е. и намечается ежегодное увеличение капиталовложения на 2 тыс. у. е.

2 5 1

Лекция 40

Приближенное вычисление определенных интегралов. Несобственные интегралы

Приводится формула трапеций для приближенного вычисления определенных интегралов. Дается обобщение понятия определенного интеграла на случай бесконечного промежутка интегрирования и неограниченных функций.

10. В ряде прикладных задач встречаются функции, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычислений определенных интегралов. Следует заметить, что приближенные методы используются часто и в случае интегралов, выражающихся через элементарные функции. В настоящей лекции мы рассмотрим один из таких методов – метод трапеций.

Пусть на отрезке [a; b] задана непрерывная функция f. Требует-

b

ся вычислить интеграл ∫ f (x ) dx . Разобьем отрезок [a; b] на n равных

a

частичных отрезков точками a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b. В этом слу-

k = 0, 1, ... , n, всю криволинейную трапецию разобьем на n частичных криволинейных трапеций (рис. 1). Если при составлении интегральных сумм их заменяли прямоугольниками, то сейчас соединим две соседние

Рис. 1

2 5 2

точки (xk-1; f (xk-1)) и (xk; f (xk)) хордой и рассмотрим n соответствующих прямоугольных трапеций. Площадь k-ой такой трапеции равна

Для наглядности на рис. 1 рассматриваем неотрицательную непрерывную функцию, однако, формула (1) имеет место для любой интегрируемой на отрезке [a; b] функции f.

Эта формула называется формулой трапеций. Естественно пред-

положить, что она тем точнее, чем больше число n. В частности, если функция f имеет вторую непрерывную производную на [a; b], то ошибка этой формулы (абсолютная погрешность) не превосходит

n = 4. Найти его точное значение и сравнить с приближенным.

Подставляя полученные данные в формулу трапеций (1), имеем:

2 5 3

Таким образом, в данном случае ошибка равна 7,0625 – 6,4 = = 0,6625.

20. Несобственные интегралы. Определенный интеграл

b

∫ f (x ) dx рассматривался при следующих двух условиях:

a

а) промежуток [a; b] конечен,

б) функция f ограничена на [a; b].

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то данное в

b

Л.37 определение интеграла ∫ f (x ) dx не имеет смысла. Если, напри-

a

мер, промежуток интегрирования бесконечный, то его нельзя разбить на n частей конечной длины. Если же функция f неограничена на [a; b], то не существует конечного предела интегральных сумм. Обобщим понятие интеграла и на эти случаи.

2.1. Несобственный интеграл с бесконечными преде-

лами интегрирования. Пусть не выполняется условие а), например, функция f определена на промежутке [a; +∞ ).

Предположим, что она интегрируема на любом отрезке

+∞

Так, определенный ∫ f (x ) dx называется несобственным интег-

a

ралом первого рода или несобственным интегралом с бесконечным пределом интегрирования.

Если предел справа в (2) существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится, если же этот предел не существу-

+∞

ет или бесконечен, то интеграл ∫ f (x ) dx называется расходящимся.

a

Чтобы лучше понять идею этого обобщения, рассмотрим его

2 5 4

геометрическую интерпрета-

цию. Пусть, например, функция f неотрицательна и невозрастающая на [a; +∞ ) (рис. 2).

A

Интеграл ∫ f (x ) dx чис-

a

ленно равен площади заштрихованной криволинейной трапеции. При возрастании А эта площадь будет увеличиваться. При этом она может

неограниченно возрастать либо оставаться ограниченной и стремить-

2 5 5

интеграл расходится. Учитывая пример б), заключаем, что интеграл

где с – произвольное число, при условии существования обоих интегралов в правой части этого равенства.

2.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Пусть теперь не выполняется условие б) (см. начало пункта 20), т.е. функция f неограничена на [a; b]. Построим обобщение интеграла на этот случай.

Пусть функция f определена на промежутке [a; b). В любой окрестности точки х = b функция f может быть неограниченной. Предположим, что функция f интегрируема на любом отрезке [a; c] [a; b) , т.е. существует интеграл

2 5 6

b

Так, определенный ∫ f (x ) dx называют несобственным интегра-

a

лом второго рода или несобственным интегралом от неограниченной функции.

Если предел справа в (4) существует и конечен, то рассматриваемый интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Если функция f определена на промежутке (а; b] и неограничена в окрестности точки х = а, то полагают:

Наконец, если функция f определена на интервале (а; b) и неограничена и в окрестности точки а, и в окрестности точки b, то поступают так же, как в (3).

Пример 3. Вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость):

2 5 7

Здесь тоже рассмотрим два случая: α< 1, α> 1. Если α< 1,

дится, если α< 1, и расходится, если α ≥ 1. Заметим, что несобственный интеграл второго рода также легко

интерпретируется геометрически.

Мы рассмотрели понятие несобственных интегралов. В расширенном курсе высшей математики подробно рассматриваются условия их сходимости и устанавливаются соответствующие признаки.

Задания для самостоятельной работы

2

1. Вычислить приближенно ∫(3x 2 − 4x ) dx по формуле трапеций,

0

полагая n = 6. Вычислить этот интеграл и сравнить найденные значения.

2 5 8

Часть III

ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. РЯДЫ

Лекция 41

Функции многих переменных, частные производные

Дано понятие функции нескольких переменных, ее предела и непрерывности, рассмотрены частные производные функций многих переменных.

10. Понятие функции нескольких переменных. Пусть

D – некоторое множество точек плоскости Oxy, Z – некоторое множество из R. Если каждой упорядоченной паре чисел (х; у) из области D поставлено в соответствие определенное число z Z R, то говорят, что z есть функция двух переменных х и у. Переменные х и у называются независимыми переменными (или аргументами), D – областью определения или существования функции, множество Z всех значений функции – областью ее значений.

Функциональную зависимость z от х и у записывают в виде z = f (x, y) или z = z (x, y), z = F (x, y) и т.д.

Частное значение с функции z = f (x, y) при x = x0, y = y0 обознача-

ется так: c = f (x0, y0).

Геометрически область определения функции D представляет конечную или бесконечную часть плоскости Oxy, ограниченную линиями, которые могут принадлежать или не принадлежать этой обла- сти. В первом случае область D называется замкнутой и обозначается D , во втором – открытой.

Аналогично определяется функция n независимых переменных

Пример 1. Найти область определения функции

z = 1− x 2 − y 2 .

2 5 9

Решение. Область определения этой функции D состоит из всех точек (х; у) плоскости, для которых 1 – x2 – y2 ≥ 0, т.е. x2 + y2 ≤ 1. Значит, искомая область есть круг с центром в начале координат и радиуса 1. Область D является ( D ), т.к. включает свою границу

– окружность.

20. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Число А назовем пределом функции z = f (x, y) в

2 6 0