высшая математика

Учитывая dy = udx + xdu, имеем P1(u)dx + Q1(u)(udx + xdu) или

(P1(u) + u Q1(u)) dx + x Q1(u) du = 0, которое является уравнением с разделяющимися переменными.

если q(x) ≠ 0 (q(y) ≠ 0), – линейным неоднородным. Линейное однородное – это уравнение с разделяющимися переменными.

Решим, например, линейное однородное уравнение

3 0 1

мула (4) будет давать все решения (в данном случае общее решение) уравнения (3), если считать параметр С произвольным.

Решим линейное неоднородное уравнение

3 0 2

Рис. 1

4o. Уравнение Бернулли. Уравнением Бернулли называют

нию. Уравнение (7) можно решать также подстановкой y(x) = u(x)v(x). Тогда, записав уравнение (7) в виде

u′v + (v′ + p(x )v)u = q(x ) uα vα ,

решим два уравнения с разделяющимися переменными:

3 0 3

е) y′ + y = x y ; ж) xy′ − y 2 ln x = − y .

4. Найти частное решение или частный интеграл в задачах:

д) x 2 y′ + 2xy = ln x , y(e) = 1; е) xy′ − 3y = x 4 ex , y(1) = e;

ж) y′ = 2x(x 2 + y) , y(0) = 1.

3 0 4

Лекция 49

Комплексные числа и комплексная экспонента

Введены комплексные числа и изучены их основные свойства; рассмотрена комплексная экспонента и ее свойства, используемые в дальнейшем при изучении ДУ с постоянными коэффициентами.

В школьном курсе математики рассматривались целые, рациональные, вещественные числа. В частности, множество вещественных чисел наряду с рациональными включает в себя иррациональные числа, которые, в отличие от рациональных, не представимы бесконечными периодическими десятичными дробями. Отметим также, что не каждое школьное утверждение является абсолютной истиной. Например, если для квадратного уравнения дискриминант меньше нуля, то такое уравнение имеет решения, правда, для этого потребуется выйти из множества вещественных (действительных) чисел.

Такая задача приводит нас к понятию мнимой единицы: i = − 1 .

10. Комплексные числа и их основные свойства.

Комплексными числами называют числа z следующего вида: z = x + iy = Re z + i Im z – алгебраическая форма, где х или Re z – действительная, а у или Im z – мни-

мая части комплексного числа. Комплексно сопряженным

числом z к z называют число, отличающееся только знаком своей мнимой части, т.е. z = x − iy .

Геометрически каждое комплексное число z = x + iy изображается точкой М(х; у) координатной плоскости Oxy (рис. 1).

Рис. 1

3 0 5

В этом случае плоскость Oxy называют комплексной числовой плоскостью, или плоскостью комплексного переменного.

Полярные координаты r и ϕ точки М, являющейся изображением комплексного числа z, называются модулем и аргументом комплексного числа z (обозначение r = |z|, ϕ = Arg z). Так как каждой точке плоскости соответствует бесчисленное множество значений полярного угла, отличающихся друг от друга на 2kπ (k – целое положительное или отрицательное число), то Arg z – бесконечнозначная функция z ; значение полярного угла ϕ, которое удовлетворяет неравенству

–π < ϕ ≤ π , называют главным значением аргумента z и обозначают arg z. Дальше обозначение ϕ сохраним только для главного значения аргумента z, т.е. положим ϕ = arg z, a тогда для остальных значений аргумента z получим равенство:

Arg z = arg z + 2kπ = ϕ + 2kπ .

Соотношения между модулем и аргументом комплексного числа z и его действительной и мнимой частями х и у вытекают из связи декартовой и полярной систем координат: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ.

Отсюда:

Аргумент z можно определить также с помощью формулы :

где С = 0 при x > 0; С = +π при x < 0, y > 0; С = –π при x < 0, y < 0.

Заменяя х и у в записи комплексного числа z = x + iy их выражениями через r и ϕ, получим так называемую тригонометрическую форму комплексного числа:

z = r (cos ϕ + i sin ϕ).

Пример 2. Изобразить на декартовой плоскости решение при-

Решение изображено на рис. 2.

3 0 6

Рис. 2

Пример 3. Представить в тригонометрической форме комплексное число z = 2 + 5i.

Решение. Находим модуль комплексного числа: z = 4 + 25 = 29 ≈ 5,385 .

5

Находим главное значение аргумента: tg ϕ = 2 = 2,5, ϕ = 68°12′ .

Следовательно, z ≈ 5,385(cos 68°12′ + i sin 68°12′) .

Свойства комплексных чисел

1. Два комплексных числа z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2 считаются равными тогда и только тогда, когда у них равны по отдельности действительные и мнимые части:

z1 = z2 x1 = x2, y1 = y2.

2. Сложение. Если z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2, то

z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2).

3. Вычитание. Если z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2, то

z1 – z2 = (x1 – x2) + i (y1 – y2).

4. Умножение. Если z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2, то

z1z2 = (x1x2 – y1y2) + i (x1y2 + x2y1),

т.е. комплексные числа перемножаются как двучлены, причем i 2 заменяется на –1.

Если z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1), z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2), то z1z2 = r1r2 [cos (ϕ1 + ϕ2) + i sin (ϕ1 + ϕ2)].

Таким образом, модуль произведения равен произведению модулей

3 0 7

сомножителей, а аргумент произведения – сумме аргументов сомножителей.

5. Деление. Частное z3 двух комплексных чисел z1 и z2, заданных в алгебраической форме, равно:

Если z1 и z2 заданы в тригонометрической форме, то

Таким образом, модуль частного равен частному модулей делимого

иделителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого

иделителя.

6. Возведение в степень. Если z = r (cos ϕ + i sin ϕ), то z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ),

где n может быть как целым положительным, так и целым отрицательным числом.

В частности, справедлива формула Муавра: (cos ϕ + i sin ϕ)n = cos (nϕ) + i sin (nϕ).

7. Извлечение корня. Если n – целое положительное число, z = r (cos ϕ + i sin ϕ), то корень n-ой степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находятся по формуле

где k = 0, 1, 2, ..., n – 1.

3 0 8

т.е. z = 8,062(cos 7°6′ + i sin 7°6′ ). Значит,

≈ 2,0052[cos(2°22′ + 120°k ) + i sin(2°22′ + 120°k )].

Отсюда получаем три корня ω 0 , ω 1, ω 2 соответственно при k= 0, 1, 2.

20. Комплексная экспонента. Определим показательную функцию e iϕ с помощью формулы Эйлера:

С помощью формулы (1) комплексное число, заданное в тригонометрической форме z = r (cos ϕ + i sin ϕ), может быть представлено в показательной форме z = r e iϕ.

Определим теперь экспоненту eλx при комплексных значениях λ.

3 0 9

что и доказывает свойство а).

! Задания для самостоятельной работы

1. Вычислить выражения:

2. Представить в тригонометрической форме комплексные числа:

а) i; б) –1; в) 5 + 3i; г) – 1 + 2i; д) 5 – 6i; е) 2 3 − 2i .

3. Найти все значения:

а) 4 i ; б) 5 2 − i ; в) 7 8 − 3i ; г) 3 3 + i ; д) 2 + 5i ; е) 6 3 − 2i .

4. Пользуясь формулой Муавра:

а) выразить cos 5ϕ и sin 5ϕ через cos ϕ и sin ϕ; б) выразить cos 4ϕ и sin 4ϕ через cos ϕ и sin ϕ;

в) вычислить (cos 2 + i sin 2)45;

5. Представить в показательной форме комплексные числа:

а) 3 + i 3 ; б) 2 − i 2 ; в) 3 + i ; г) – i .

6. Записать в алгебраической форме числа:

π i

а) e 2 ; б) eπ i ; в) 3e2i; г) 4e5i.

7. С помощью формулы Эйлера доказать соотношения :

3 10