высшая математика

ρ2 (θ)

∫F(ρ , θ )ρ dρ , в котором θ считается постоянным.

ρ1 (θ)

Пример 3. Перейдя к полярным координатам, вычислить двой-

Решение. Данное тело ограничено сверху параболоидом z = 1 – x2 – y2. Область интегрирования D – круговой сектор, ограниченный дугой окружности x2 + y2 = 1, являющейся линией пересечения

нение окружности x2 + y2 = 1 в этих координатах примет вид ρ = 1, подынтегральная функция равна 1 – ρ 2, а пределы интегрирования по θ определяем из уравнений прямых:

2 9 1

x2 + y2 = a2, x2 + z2 = a2.

2 9 2

Лекция 47

Общее дифференциальное уравнение первого порядка. Составление дифференциальных уравнений

Даны основные понятия и определения для дифференциального уравнения первого порядка, рассмотрены задачи на составление дифференциальных уравнений.

10. Общее дифференциальное уравнение (ДУ) пер-

вого порядка. ДУ первого порядка называется уравнение вида

F(x, y, y′) = 0

или разрешенное относительно y′ :

где х – аргумент, у (х) – искомая функция; F – заданная функция трех переменных x, y, y′ ; f – заданная функция двух переменных х, у.

Уравнение

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0,

где х и у имеют тот же смысл, что и выше; dx, dy – дифференциалы; P(x, y) и Q(x, y) – заданные функции, называется уравнением, записанным в дифференциалах. Здесь у можно принять за аргумент, х(у) – за функцию; dy, dx = x ′(y) dy – соответственно за дифференциалы.

Решением ДУ называется такая дифференцируемая функция y = y(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тожде-

ство, например, F(x, y(x ), y′(x )) ≡ 0 или y′(x ) ≡ f (x, y(x )) .

Процесс нахождения всех решений ДУ называется интегрированием ДУ, а график решения у = у(х) ДУ называется интегральной кри-

Приведенный пример показывает, что решение ДУ представляет целое семейство функций, зависящее от произвольного параметра С.

2 9 3

Задачей Коши, или начальной задачей, называют задачу нахождения решения у = у(х) уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию

Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая уравнения (1), проходящая через заданную точку M0(x0; y0) плоскости Oxy (рис. 1).

Для дифференциальных уравнений важное значение имеет вопрос о существовании решения задачи Коши и единственность этого решения.

Имеет место теорема Коши. Если правая часть уравнения (1) непрерывна и имеет

непрерывную производную ∂∂fy

в области D, то решение ДУ (1) Рис. 1 с начальным условием (2), где (x0; y0) D, существует и един-

ственно, т.е. через точку (x0; y0) D проходит единственная интегральная кривая данного уравнения.

Если во всех точках решения y = ψ (x) уравнения (1) условие единственности не выполняется, то такое решение называется особым. Через каждую точку M0(x0; y0) особого решения, кроме этого решения, проходит и другое решение уравнения (1), которое не совпадает с y = ψ (x) в сколь угодно малой окрестности этой точки.

Особым решением является огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), т.е. линия, которая в каждой своей точке касается хотя бы одной интегральной кривой.

Для существования особого решения уравнения (1) необходимо, чтобы не выполнялись условия теоремы Коши.

2 9 4

в бесконечность при у = 0, т.е. на оси Ox, так что при у = 0 нарушается одно из условий теоремы Коши.

Следовательно, в точках оси Ox возможно нарушение единственности. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что функция y = (x + C)3 (семейство кубических парабол) есть решение уравнения (3). Кроме того, уравнение (3) имеет очевидное решение y ≡ 0 (рис. 2).

Таким образом, через каждую точку оси Ox проходит, по крайней мере, две интегральные кривые, и, следовательно, в точках этой оси нарушается eдинственность, т.е. y = 0

– особое решение уравнения (3).

Общим решением ДУ (1) называется функция

зависящая от одной произвольной постоянной С, и такая, что выполняются условия: 1) она удовлетворяет уравнению (1) при любых допустимых значениях постоянной С; 2) каково бы ни было начальное условие (2), можно подобрать значение C0 постоянной С, что решение y = ϕ (x, C0) будет удовлетворять заданному начальному условию (2). При этом предполагается, что точка (x0; y0) принадлежит области D, где выполняются условия существования и единственности решения задачи Коши (1), (2).

Частным решением ДУ (1) называется решение, получаемое из общего решения (4) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной С.

Пример 3. Проверить, что функция y = Cex – общее решение уравнения y′ − y = 0 , и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(1) = –1.

y = Cex удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянной С.

Зададим любое начальное условие y(x0) = y0. Подставляя в функцию

2 9 5

Иногда общее решение ДУ в виде (3) найти нелегко. В связи с этим введем следующее определение: соотношение вида Ф(х, у, С) = 0, неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом ДУ первого порядка; соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной С, называется частным интегралом ДУ.

20. Составление дифференциальных уравнений. Если известно однопараметрическое семейство функций, то для него можно построить ДУ, решениями которого будут все функции этого семейства. Может оказаться, что семейство функций задает общее решение или общий интеграл ДУ.

2 9 6

руем соотношение x2 + y2 – Cx = 0 и в полученное уравнение подставляем значение С. Тогда 2x 2 + 2xy y′ − x 2 − y 2 = 0 , т.е. 2xy y′ + x 2 − y 2 = 0 – искомое ДУ; x2 + y2 – Cx = 0 – его общий интеграл.

Отметим, что к составлению и интегрированию ДУ приводят многие задачи математики и других наук – физики, биологии, химии, экономики и т.д.

В экономике ДУ часто может быть составлено исходя из экономического смысла производной. В качестве примера рассмотрим динамику рыночных цен (макромодель Домара), где независимой переменной служит время t. Допустим, что для конкретного продукта функции спроса Qd и предложения Qs имеют следующий вид:

Если случится, что начальная цена P (0) точно равна P , то, очевидно, что рынок будет в положении равновесия и не нужен динами- ческий анализ. В более интересном случае P (0) ≠ P , и тогда, если P будет достижимой, то только после соответствующего процесса приспособления, во время которого меняется не только цена, но и Qd , Qs как функции Р, причем все эти переменные можно трактовать как функции времени. Поставим вопрос, который касается динамики цен, так: пусть есть достаточно времени на то, чтобы произошел процесс приспособления; будет ли цена Р (t) со временем приведена до цены равновесия, т.е. будет ли Р (t) стремиться к P , когда t → ∞.

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вначале найти Р (t). Последнее, в свою очередь, требует описать структуру изменения цен. Вообще говоря, цены определяются через релятивное воздействие сил спроса и предложения на рынке. Для простоты допустим, что уровень (скорость) изменения цены (относительно времени) в каждый момент времени прямо пропорционален разности Qd – Qs в этот момент. Такая структура изменения цены может быть выражена так:

2 9 7

где j – некоторый установленный положительный множитель (коэффициент) приспособления.

Подставляя (5) в (6), запишем (6) в виде:

Уравнение (7) и есть ДУ для цены продукта Р (t) в макромодели Домара. Решение уравнения (7) и его анализ будут приведены на следующей лекции после изложения методов интегрирования ДУ первого порядка.

! Задания для самостоятельной работы

1. Дано семейство функций y = x + C 1+ x 2 ,

где С – параметр. Найти ДУ с заданным семейством решений. 2. Для семейства функций х + у + С (1 – ху) = 0 найти ДУ.

3. Проверить, что функция y = х + С есть общее решение ДУ y′ = 1, и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 0. Дать геометрическое истолкование результата.

4.Показать, что для уравнения y′ = y12 в каждой точке оси Ox нарушается единственность решения.

5.Показать, что данные функции являются решениями указанных дифференциальных уравнений:

б) y = 2 + C 1− x 2 , (1− x 2 )y′ + xy = 2x .

6. Составить ДУ кривых, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания.

2 9 8

Лекция 48

Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка

Рассмотрены основные ДУ первого порядка и методы их интегрирования.

Рассмотрим ДУ первого порядка

разделенными переменными.

Используя инвариантность формы дифференциала, получаем общее решение

∫ P1(x )dx + ∫Q2 (y) dy = C ,

т.е. ДУ с разделенными переменными решается простым интегрированием.

Пусть P(x, y) = P1(x)P2(y), a Q(x, y) = Q1(x)Q2(y), тогда уравнение (1) называют ДУ с разделяющимися переменными.

Поделив это уравнение на P2(y)Q1(x) ≠ 0, тем самым сведем его к уравнению с разделенными переменными:

При таком преобразовании можно потерять решения x = x0, где Q1(x0) = 0 и y = y0, где P2(y0) = 0. Эти случаи нужно рассматривать отдельно. А именно: найти xk и ym такие, что Q1(xk) = 0, P2(ym) = 0, и проверить, являются ли x = xk или y = ym решениями исходного уравнения и содержатся ли они в общем интеграле при каком-то значении Ck (соответственно Cm).

Пример 1. Решить уравнение x(1 + y2) dx + y(1+x2) dy = 0.

Решение. Разделим данное уравнение на (1 + x2)(1 + y2). Переменные разделяются:

2 9 9

(x2 + 1)(y2 + 1) = C – общий интеграл данного уравнения.

Функции Q1(x) = 1 + x2 и Q2(y) = y2 + 1 при вещественных х и у в нуль не обращаются. Поэтому полученная формула содержит все решения рассматриваемого уравнения.

20. Однородные ДУ первого порядка. Функция Р(х, у) назы-

вается однородной степени m, если для любых t она удовлетворяет равенству

P(tx, ty) = tmP(x, y).

Пример 2. Проверить на однородность следующие функции:

3 0 0