высшая математика

Рис. 4

Решим систему уравнений, чтобы найти собственные векторы:

( − λ ) !i = .

A i E x 0

Получаем ортонормированную систему собственных векторов:

Запишем оператор поворота:

Преобразование поворота:

101

! Задания для самостоятельной работы

1. Найти уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку М (3; 1).

2. Определить полуоси, фокусы и эксцентриситет каждого из следующих эллипсов:

в) y2 = –16x.

6. Найти канонические уравнения кривых, угол их поворота и построить кривые:

а) 16x2 – 9y2 – 64x – 54y – 161 = 0; б) 4x2 + 4x + 3y – 2 = 0;

в) 2x2 + xy – y2 + 5x – 7y + 2 = 0; г) 3x2 + 2xy – 5y2 + x – y = 0;

д) 7x2 + xy + 14y2 – x + 2y = 0.

102

Лекция 18

Сфера, цилиндрические поверхности и конус второго порядка

Изучаются канонические уравнения сферы, цилиндрических поверхностей и конуса второго порядка.

10. Сфера. Точками сферы являются те и только те точки пространства, расстояние от которых до заданной точки М равно R. В декартовой системе координат сфера, имеющая центр в точке М (а; b; с) и радиус R, определяется уравнением:

Если центр сферы находится в начале координат, то ее уравнение имеет вид:

Пример 1. Найти координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + z + 1 = 0.

Решение. Приведем уравнение сферы к каноническому виду (1). Для этого дополним до полных квадратов члены, содержащие x, y, z, т.е. перепишем уравнение в виде:

ки А (1; 2; –4), В (1; –3; 1) и С (2; 2; 3), если ее центр находится в плоско-

сти Oxy.

Решение. Так как точки А, В и С принадлежат сфере (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2, центр которой находится в плоскости Oxy,

то их координаты должны обращать искомое уравнение в тождество и c = 0. Поэтому имеем систему уравнений:

103

F (x, y) = 0 в пространстве определяет цилиндрическую поверхность, у которой образующие параллельны оси Oz. Аналогично, уравнение F (x, z) = 0 определяет цилиндрическую поверхность с образующими

Образующие всех трех цилиндров, определяемых уравнениями (2), (3), (4), параллельны оси Oz, а направляющей служит соответствующая кривая второго порядка (эллипс, гипербола, парабола), лежащая в плоскости Oxy.

Следует знать, что кривую в пространстве можно задать либо параметрически, либо в виде линии пересечения двух поверхностей. Например, уравнения направляющей эллиптического цилиндра, т.е. уравнения эллипса в плоскости Oxy, имеют вид

104

Рис. 1

Пример 3. Определить, какую поверхность в пространстве задает уравнение x2 = 5y .

Решение. Уравнение x2 = 5y определяет параболический цилиндр с образующими параллельными оси Oz. Направляющей цилиндрической поверхности является парабола x2 = 4y, z = 0.

Замечание 1. В Л.3 введена полярная система координат на плоскости.

В трехмерном пространстве полярная система координат называется цилиндрической, при этом так же, как и декартова, она дополняется координатой z (рис. 1).

Связь декартовой системы координат с цилиндрической следующая:

30. Конус второго порядка. Уравнение конуса второго порядка с вершиной в начале координат, осью которого служит ось

ются уравнениями конусов второго порядка с вершиной в начале координат, осями которых служат соответственно оси Oy, Ox.

Пример 4. По какой линии пересекается конус x2 + y2 – 2z2 = 0 с плоскостью у = 2 ?

105

будет гипербола, лежащая в плоскости y = 2; ее действительная ось параллельна оси Oz, а мнимая – оси Ox.

Пример 5. Составить уравнение конической поверхности, вершиной которой служит точка М (1; 1; 1), а направляющей – эллипс

Решение. Составим уравнение образующей АМ, где A (x0; y0; z0) – точка, лежащая на эллипсе. Это уравнение имеет вид

получим уравнение искомого конуса:

106

деляет две пересекающиеся плоскости – плоскость Oxy и биссектральную плоскость z = x, проходящую через ось Oy.

! Задания для самостоятельной работы

1. Найти координаты центра и радиус окружности:

2.Составить уравнение плоскости, проходящей через центр сферы x2 + y2 + z2 + 2x – y + 5z = 0 и перпендикулярной прямой, проходящей через точки М1 (2; 5; –1) и M2 (4; 6; 0).

3.Установить, какие поверхности в пространстве определяются следующими уравнениями, и построить эти поверхности:

a) x2 + y2 = 4; б) x2 – y2 = 1; в) y2 = 2x; г) z2 = 5y; д) x2 + y2 = 3y; е) x2 + 2y2 = 0.

4. Составить уравнение линий пересечения конуса x2 – y2 + z2 = 0 с плоскостями а) y = 3; б) z = 1.

5. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат, направляющая которого задана уравнением x = a, y2 + z2 = b2.

107

Лекция 19

Поверхности вращения. Общее уравнение поверхности второго порядка

Рассматриваются поверхности вращения, канонические формы однополостного и двуполостного гиперболоидов и эллиптического параболоида, изучается общее уравнение поверхности второго порядка.

10. Поверхности вращения. Если лежащая в плоскости Oyz кривая F (y, z) = 0, x = 0 вращается вокруг оси Oz, то уравнение образуемой ею поверхности вращения имеет вид

ность, образованную вращением вокруг оси Ox кривой F (x, y) = 0,

вращением этой же кривой вокруг оси Oy.

Приведем уравнение поверхностей вращения, образованных вращением эллипса, гиперболы и параболы вокруг их осей симметрии.

а) Эллипсоид вращения

Рис. 1

108

Осью вращения является ось Oz, служащая мнимой осью гиперболы, вращением которой образована эта поверхность.

в) Двуполостный гиперболоид вращения

Осью вращения является ось Oz, служащая действительной осью гиперболы, вращением которой образована эта поверхность (рис. 3).

г) Параболоид вращения

имеет ось вращения Oz.

20. Канонические формы некоторых поверхностей второго порядка. Поверхности вращения второго порядка являются частным случаем поверхностей второго порядка общего вида, канонические уравнения которых следующие:

Рис. 2

109

Кроме этих четырех поверхностей второго порядка, трех цилиндров второго порядка и конуса второго порядка, имеется еще одна поверхность второго порядка – гиперболический параболоид, каноническое уравнение которого имеет вид:

Решение. Пусть A (X; Y; Z) – произвольная точка искомой поверхности. Ей соответствует на данной прямой точка B (x; y; 0).

110