высшая математика

Лекция 4

Прямая на плоскости

Рассмотрены различные виды уравнений прямой на плоскости.

10. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Рассмотрим некоторую прямую, не перпендикулярную оси Ох. Назовем углом наклона данной прямой к оси Ох угол α , на который нужно повернуть ось Ох, чтобы положительное направление совпало с одним из направлений прямой. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называют угловым коэффициентом этой прямой и обозначают буквой k:

ловию NMBN = tg α . Но NM = CM – CN = CM – OB = y – b, BN = x. Отсю-

да, с учетом формулы (1), получаем, что точка M лежит на данной прямой тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют урав-

2 1

Уравнение (2) называют уравнением прямой с угловым коэффи-

циентом. Если k = 0, то прямая параллельна оси Ox, и ее уравнение имеет вид y = b.

Итак, любая прямая, не перпендикулярная оси Ox, имеет уравнение вида (2). Верно и обратное: любое уравнение вида (2) определяет прямую, которая имеет угловой коэффициент k и отсекает на оси Oy отрезок, величина которого b.

Подставляя k и b в уравнение (2), получаем искомое уравнение прямой:

y = 3x + 2 или y − 3x − 2 = 0 .

20. Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом. Иногда возни-

кает необходимость составить уравнение прямой, зная одну ее точку M1(x1; y1) и угловой коэффициент k. Запишем уравнение прямой в виде (2), где b, пока неизвестное число. Так как прямая проходит через точку

Подставляя данные координаты и значение углового коэффициента k в уравнение (3), получим искомое уравнение прямой:

y – 2 = x – 1 или y – x – 1 = 0.

30. Уравнение прямой, проходящей через две дан-

ные точки. Пусть даны две точки M1(x1; y1) и M2(x2; y2). Приняв в (3) точку М (х; y) за M2(x2; y2), получим: y2 – y1 = k (x2 – x1).

2 2

Если x2 ≠ x1 , то, определяя k из последнего равенства и подставляя его в уравнение (3), получаем искомое уравнение прямой:

Это уравнение, если y2 ≠ y1 , можно записать в виде:

Если y1 = y2, то уравнение искомой прямой имеет вид y = y1, и такая прямая параллельна оси Ox. Если x1 = x2, то прямая, проходящая через точки M1 и M2, параллельна оси Oy, ее уравнение имеет вид x = x1.

40. Общее уравнение прямой.

Теорема 1.

В прямоугольной системе координат любая прямая задается уравнением первой степени

и, обратно, уравнение (5) при произвольных коэффициентах А, В, С (А и В одновременно не равны нулю) определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат Oxy.

Доказательство. Докажем вначале первое утверждение. Если прямая не перпендикулярна оси Ox, то, как было показано в п. 1, она определяется уравнением первой степени: y = kx + b, т.е. уравнением вида (5), где A = k, B = –1 и C = b. Если прямая перпендикулярна оси Ox, то все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные величине а отрезка, отсекаемого прямой на оси Ox (рис. 2).

Уравнение такой прямой имеет вид x = a, т.е. также вида (5), где A = 1, B = 0, C = –a. Первое утверждение доказано.

Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение (5), где хотя бы один из коэффициентов А или В не равен нулю.

Если B ≠ 0, то (5) можно записать в виде: y = − BA x − CB .

Полагая k = − BA , b = − CB , получаем уравнение y = kx + b, т.е. уравнение вида (2), которое определяет прямую.

Если B = 0, то A ≠ 0, и (5) принимает вид x = − CA . Обозначая

2 3

a = − CA , получаем x = a, т.е.

уравнение прямой, перпендикулярной оси Ox.

Линии вида (5) называются линиями первого порядка. Уравнение вида Ax + By + C = 0 называется общим уравнением прямой, или полным уравнением прямой. При различных значениях А, В, С

оно определяет всевозможные Рис. 2 прямые.

50. Неполные уравнения первой степени. Уравне-

ние прямой «в отрезках». Рассмотрим три частных случая, когда уравнение Ax + By + C = 0 является неполным, т.е. один из коэффициентов равен нулю.

1) C = 0; уравнение имеет вид Ax + By = 0 и определяет прямую, проходящую через начало координат;

2) B = 0 (A ≠ 0); уравнение имеет вид Ax + C = 0 и определяет прямую, параллельную оси Oy. В частности, уравнение x = 0 определяет ось ординат;

3) A = 0 (B ≠ 0); уравнение имеет вид By + C = 0 и определяет прямую, параллельную оси Ox. В частности, уравнение y = 0 определяет ось абсцисс.

Рассмотрим теперь уравнение Ax + By + C = 0 при условии, что ни один из коэффициентов А, В, С не равен нулю. Преобразуем его к виду:

Уравнение (6) называется уравнением прямой «в отрезках». Числа

а и b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат. Эта форма уравнения удобна для геометрического построения прямой.

2 4

! Задания для самостоятельной работы

1. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси Oy отрезок

b = 4 и образующей с осью Ox угол α = π4 .

2. Построить прямую, заданную уравнением

y = 34 x + 2 .

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку

М (2; 1) и образующей с осью Ox угол α = π6 .

4. Составить уравнение прямой, проходящей через точки M1(3; 1)

и M2(5; 4).

5. Дано общее уравнение прямой 12x – 5y – 65 = 0. Написать уравнение прямой с угловым коэффициентом.

6. Прямая задана уравнением 3x – 5y + 15 = 0. Составить для этой прямой уравнение «в отрезках» и построить прямую.

7. Установить, какую линию описывает середина отрезка между двумя пешеходами, идущими по двум взаимно перпендикулярным дорогам с одинаковой скоростью.

2 5

Лекция 5

Расположение двух прямых на плоскости

Приведены формулы тангенса угла между двумя прямыми и расстояния от точки до прямой, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, рассмотрено взаимное расположение двух прямых на плоскости.

Рис. 1

Из геометрических соображений (рис. 1) устанавливаем соотно-

у = –2х + 3. Найти угол между этими прямыми.

2 6

Решение. Имеем k1 = 3, k2 = –2. Поэтому по формуле (1) нахо-

Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.

прямые параллельны.

2 7

ния Ax + By + C = 0 прямой L через координаты точек Е и F. Для этого перепишем уравнение (3) в виде:

(y1 − y2 )x + ( x2 − x1) y + x1( y2 − y)1 − y(1 x2 − x)1 = 0 ,

откуда получаем A = y1 – y2, B = x2 – x1, C = x1 (y2 – y1) – y1 (x2 – x1).

Тогда 2SMEF = | Ax0 + By0 + C|; EF = A2 + B2 , и формулу (4) мож-

Рассмотрим эти уравнения как систему двух уравнений с двумя неизвестными х и y. Решая эту систему, находим:

2 9

где m ≠ 0 – некоторое число. Это означает, что коэффициенты уравнений пропорциональны, откуда следует, что второе уравнение получается из первого умножением на число m. В этом случае прямые L1 и L2 со-

впадают, т.е. их уравнения определяют одну и ту же прямую. Оче-

видно, что система (5) имеет бесконечно много решений.

Во втором случае, если, например, А2С1 – А1С2 ≠ 0 , то, допустив, что система (5) имеет некоторое решение (х0; у0), получим противоречие. Действительно, подставляя в уравнения вместо х и y значения х0 и у0, умножая первое уравнение на А2, второе – на А1 и вычитая из первого уравнения второе, получим А2С1 – А1С2 = 0, что противоречит предположению. Таким образом, система (5) решения не имеет. В этом случае прямые L1 и L2 не имеют точек пересечения, т.е. они параллельны.

Итак, две прямые на плоскости либо пересекаются в одной точке, либо совпадают, либо параллельны.

!Задания для самостоятельной работы

1.Две прямые заданы уравнениями у = х – 0,5 и у = 2х + 1. Найти угол между этими прямыми.

2.Показать, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 5 = 0 перпендикулярны.

3.Показать, что прямые х + у – 1 = 0 и 2х + 2у – 3 = 0 парал-

лельны.

4.Пусть прямая L задана уравнением х – 5у + 11 = 0 и дана точ-

ка М (5; 2). Найти расстояние d от точки М до прямой L.

5. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 2х – 3у – 1 = 0 и 3х – y – 2 = 0 и перпендикулярной прямой

у = х + 1.

3 0