После ФНЧ сигнал на выходе когерентного детектора равен только первому слагаемому в (3.39). Таким образом, когерентный детектор, который линеен по отношению к модулированному сигналу, действительно позволяет детектировать без ошибок РАМ сигнал при любом виде модулирующего сигнала.
3.3. Фазовая модуляция PM
Фазовая модуляция относится к классу узкополосной линейной модуляции без памяти (BPSK, QPSK, OQPSK)
или с памятью (DBPSK, π / 4 DQPSK).
3.3.1. Общее представление фазомодулированного сигнала
При цифровой фазовой модуляции M-позиционный модулирующий сигнал отображается на M возможных фазовых состояний несущей частоты. Общая форма записи высокочастотного фазомодулированного сигнала имеет вид
(формула (3.1), табл.3.1):
sk (t) = Re{A×e j×wk (t) ×e j×wc×t } = Re{A×e j×qk ×q(t) ×e j×wc×t } = |
(3.40) |
= Acos[wct + qk q(t)] = |
|
= Acos[qk q(t)]×cos(wct) - Asin[qk q(t)]×sin(wct), |
|
где qk = 2p kM-1 - фазовые состояния несущей для k =1,2....M .
В соответствии с (3.40) фазомодулированный сигнал во временной области представляет собой синусоидальное колебание с постоянной частотой и амплитудой. Фаза колебания изменяет свое значение на каждом k-м
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
символьном интервале в соответствии с законом qk × q(t) . При использовании модулирующего сигнала в виде
t
2 |
1 |
Рис.3.12. Фазомодулированный сигнал:
1 - комплексная огибающая; 2 - модулированное ВЧ колебание
прямоугольных импульсов (q(t) = 1) фаза модулированного колебания на каждом k-м символьном интервале принимает одно из M возможных дискретных значений θk в соответствии со значением k передаваемого символа. Пример фазомодулированного колебания при бинарной фазовой модуляции показан на рис.3.12.
Спектральная плотность мощности фазомодулированного сигнала в соответствии с формулой (3.8) определяется спектральной плотностью мощности комплексной огибающей, которая с учетом (3.40) и формул табл.3.1 равна
gk (t) = e |
j×qk ×q(t) |
= cos[qk × q(t)] + j × sin[qk × q(t)] . |
(3.41) |
|
Спектральная плотность мощности от временной функции определяется интегралом от квадрата этой функции на всем временном интервале от нуля до бесконечности и не зависит от фазы (начала отсчета). Следовательно, спектральная плотность мощности фазомодулированного сигнала может быть вычислена по синусной (или
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
косинусной) компоненте модулирующего сигнала в выражении (3.41):
PSDg ( f ) = |
1 |
× PSD[cos(qk ×q(t))] = |
1 |
× PSD[sin(qk ×q(t))]. (3.42) |
|
4 |
|
4 |
|
Расстояние между символами фазомодулированного сигнала определяется общим выражением (3.19). Собственная и взаимная энергия фазомодулированного сигнала с прямоугольными импульсами (q(t) = 1) в соответствии с (3.20), (3.21) и (3.40) равны
|
|
Em = |
1 |
×Ts |
|
|
|
gm |
(t) |
|
2 dt = |
A2 |
|
|
×Ts |
|
e j×qm (t) |
|
2 dt = |
A2 ×Ts |
, |
|
(3.43) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ò |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ekn = |
1 |
×Ts |
|
gk (t) |
|
× |
|
gn (t) |
|
×cos[qk (t) - qn (t)]dt = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.44) |
|
A2 |
Ts |
|
|
|
|
n - k |
|
|
|
|
|
A2T |
|
|
|
|
|
n - k |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
òcos(2p |
|
) dt = |
|
s |
|
×cos(2p |
|
). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
M |
2 |
M |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (3.43), (3.44) в (3.22), получим: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
d 2 |
= A2T [1 - cos(2p |
n - k |
)] = 2A2T × sin2 |
(p |
n - k |
) . |
(3.45) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
kn |
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
s |
|
|
M |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Очевидно, что минимальное расстояние между сигналами имеет место при n − k = 1 , что соответствует
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
p |
) . |
(3.46) |
(d |
kn |
) |
min |
= 2A T sin |
|
( |
|
||
|
|
||||||||
|
|
s |
|
|
M |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все символы фазомодулированного сигнала имеют равную энергию, зависящую только от амплитуды несущего колебания и длительности информационного импульса. Расстояние между символами уменьшается с увеличением количества уровней сигнала M.
Диаграмма состояний фазомодулированного колебания представляет собой круг единичного радиуса (так как
|
1 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
111 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
101 |
|
|
110 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
010 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
01 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
00 |
|
000 |
|
|
011 |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
001 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
М = 2 |
М = 4 |
|
|
|
|
М = 8 |
|
|
|
|
|
|||
Рис.3.13. Диаграмма состояний фазомодулированного колебания
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
модуль комплексной огибающей равен единице), на котором, на расстоянии, определяемом (3.46), находятся передаваемые символы. Диаграммы состояний для бинарной (М = 2), четырехпозиционной (М = 4) и восьмипозиционной (М = 8) фазовой модуляции показаны на рис.3.13. Соответствие между передаваемыми символами информационного сообщения и фазовыми состояниями несущей высокочастотного колебания устанавливается кодом Грея.
3.3.2. Бинарная фазовая модуляция BPSK
Бинарная фазовая модуляция BPSK (Binary Phase Shift keying) осуществляется двухуровневым модулирующим сигналом M = 2 путем изменения значения фазы несущей частоты на символьном интервале Ts . Если модулирующий
сигнал представляет собой униполярный сигнал с прямоугольной формой импульсов, то, согласно (3.41), комплексная огибающая на k-м символьном интервале Ts
имеет вид
gk (t) = cos[qk × q(t)] = cos(p× wk ) , |
(3.47a) |
где wk {0,1} - нормированная амплитуда модулирующего
сигнала.
При использовании для модуляции полярного сигнала комплексная огибающая записывается в виде
g |
k |
(t) = sin[q |
k |
× q(t)] = sin(p × w ), |
(3.47б) |
|
|
|
2 |
k |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
где wk {-1,1}- нормированная амплитуда модулирующего
сигнала.
Из уравнения (3.47) следует, что модуль амплитуды комплексной огибающей имеет постоянную величину, а
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
фаза (знак амплитуды) принимает значение плюс или минус единица в зависимости от передаваемого символа. Следовательно, комплексная огибающая для любого вида модулирующего сигнала является псевдослучайным полярным сигналом с импульсами прямоугольной формы. Спектральная плотность такого сигнала рассчитывается по выражению (2.20). В соответствии с общей формулой (3.6) спектральная плотность мощности BPSK сигнала также определяется из (2.20) при замене частоты f в baseband
диапазоне на разность несущей и текущей частот |
|
f - fc |
|
в |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
диапазоне ВЧ: |
fc - f |
|
×Ts ) |
|
|
|
|
|
|||||||
PSD( f ) = K ×[ |
sin(p |
|
× |
|
|
]2 . |
(3.48) |
||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||
p× |
|
f |
c |
- f |
|
×T |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
Легко заметить, что спектральная плотность мощности BPSK сигнала совпадает со спектральной плотностью мощности при РАМ модуляции полярным сигналом (3.28). Интуитивно это совершенно понятно, так как изменение знака амплитуды на противоположный при РАМ модуляции полярным сигналом то же, что изменение фазы на π при BPSK модуляции. Однако между спектральными распределениями мощности для сигналов РАМ и BPSK модуляции существует и принципиальная разница.
Огибающая модулированного ВЧ колебания при РАМ модуляции определяется видом модулирующего сигнала. При использовании униполярного модулирующего сигнала возможные значения амплитуды равны 0 или A, что соответствует переменной амплитуде огибающей модулированного ВЧ колебания. Для полярного модулирующего сигнала возможные значения амплитуды равны A или –A, что соответствует постоянной амплитуде огибающей модулированного ВЧ колебания. Огибающая несущей частоты для фазомодулированного сигнала всегда
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
постоянна по амплитуде. При этом следует помнить, что постоянство амплитуды огибающей для РМ сигнала и РАМ сигнала с полярным модулирующим сигналом имеет место только при неограниченном спектре модулирующего сигнала. Если же спектр модулирующего сигнала ограничен формирующим baseband фильтром, то искажается и временная форма модулирующего сигнала, что вызывает искажение формы огибающей несущей частоты ВЧ колебания, выражающееся в появлении сопутствующей амплитудной модуляции. Величина появляющейся АМ отражает степень искажения спектра модулирующего сигнала при его ограничении: если из спектра удаляется относительно небольшая доля мощности ("мягкое" ограничение), то и возникающая АМ незначительна. Типичная величина внутренней АМ для бинарного фазомодулированного сигнала составляет 5 - 6 дБ при ограничении спектра по первому нулю в распределении спектральной плотности мощности.
Наличие несущей в спектре сигнала при РАМ модуляции зависит от свойств модулирующего сигнала, так как комплексная огибающая несущей ВЧ колебания g(t) и
модулирующий сигнал w(t) совпадают с точностью до
размерного множителя. Если в качестве модулирующего сигнала используется полярный сигнал, то несущая частота в спектре модулированного сигнала отсутствует. Если же в качестве модулирующего сигнала используется униполярная последовательность, имеющая δ-функцию в спектральной плотности мощности на нулевой частоте, то и несущая частота будет присутствовать в спектре модулированного сигнала. При фазовой модуляции комплексная огибающая g(t) модулированного сигнала в
любом случае является полярным сигналом, так как
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
определяется тригонометрической зависимостью от модулирующего сигнала w(t) (3.47). Поскольку спектр
полярного сигнала не содержит δ-функции на нулевой частоте, то и несущая частота при BPSK модуляции принципиально отсутствует в спектре модулированного сигнала.
Влияние формы импульса модулирующего сигнала на спектральную плотность мощности при BPSK модуляции можно оценить из сравнения спектральной плотности мощности при прямоугольной (3.48) и треугольной форме модулирующего сигнала. Полагаем, что комплексная огибающая для модулирующего сигнала с импульсами треугольной формы имеет следующий вид:
g |
k |
(t) = sin[p × q(t) × w ] , |
(3.49) |
|
|
2 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
где wk {-1,+1} - нормированный модулирующий сигнал;
q(t) = 1- 2× |
t |
для - Ts < t < Ts . |
||
T |
||||
|
2 |
2 |
||
|
s |
|
|
|
Комплексная огибающая для выбранной формы модулирующего импульса, как и ранее, является полярным псевдослучайным сигналом. Из (3.49) следует, что значение фазы несущей частоты на концах символьного интервала равно нулю, а в середине интервала достигает значения
± p
2 в зависимости от передаваемого информационного
символа. Спектральная плотность мощности BPSK сигнала с импульсом треугольной формы определяется в соответствии с общими формулами (2.15), (3.6) и (3.42) и равна
|
A |
2 |
|
cos(p × |
|
f - fc |
|
|
×Ts ) 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
PSD( f ) = ( |
p |
) |
|
×[ |
1- 4 |
× |
|
f - fc |
|
|
2 |
] . |
(3.50) |
||
|
|
|
|||||||||||||
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Графически |
зависимости |
(3.48) |
и |
(3.50) |
показаны |
на |
|||
рис.3.14. Как и следовало ожидать, использование |
|||||||||
модулирующего сигнала с более гладкой формой импульсов |
|||||||||
привело к расширению главного лепестка и уменьшению |
|||||||||
PSD(fTs) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
–10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–40 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
–50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
fTs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–4 |
–3 |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Рис.3.14. Спектральная плотность мощности BPSK сигнала для |
|||||||||
прямоугольной (1) и треугольной (2) формы модулирующего импульса |
|||||||||
амплитуды боковых лепестков в распределении спектральной плотности мощности.
Модулятор и демодулятор BPSK сигнала. Модулятор
BPSК сигнала полностью совпадает с модулятором для бинарной РАМ. Сигнал BPSK не содержит в своем спектре несущей частоты и поэтому может быть принят только с помощью когерентного детектора (см. рис.3.8).
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com