- •§21. Малые колебания и свойства потенциальной энергии.
- •§22. Колебания с одной степенью свободы. Характеристическое уравнение.
- •§23. Колебания с n степенями свободы.
- •§24. Затухающие одномерные колебания.
- •§25. Элементы тензорного анализа в классической механике.
- •§26. Оператор .
- •§27. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме.
- •§28. Потенциалы электромагнитного поля в вакууме.
- •§29. Градиентная инвариантность.
- •§30. -Функция.
- •§31. Объёмная плотность точечного заряда.
- •§32. Закон сохранения заряда.
- •§33. Типы калибровок.
- •§34. Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии.
- •§35. Теорема Стокса.
- •§36. Функциональные соотношения различных полей
- •§37. Тензоры и их свойства.
- •§38. Условия на границе раздела двух сред.
- •§39. Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде.
- •§40. Приближение линейного тока
§21. Малые колебания и свойства потенциальной энергии.
Рассмотрим систему с одной степенью свободы и исследуем функцию на экстремумы.
(отсюда получаем координаты точек равновесия для графика).
(21.1)
или ; ;
Итак: , т.к. , , , .
Отбросим в (21.1) слагаемые, начиная с третьего члена - получим параболический вид потенциальной энергии.
Если потенциальная энергия возрастает при удалении от положения равновесия, то в этом случае - точка устойчивого равновесия.
Рассмотрим точку
, - точка неустойчивого равновесия.
Колебания называются малыми, если в разложении последующие члены значительно меньше первых трёх:
Колебания, удовлетворяющие этому условию, называются линейными (гармоническими). Учёт последующих членов приводит к нелинейности или ангармоничности колебаний.
§22. Колебания с одной степенью свободы. Характеристическое уравнение.
- кинетическая энергия.
- потенциальная энергия.
Введём :
,
Функция Лагранжа:
Уравнение движения :
Получим: - простое линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка.
(22.1)
Для решения необходимы начальные условия:
1.
2.
Пусть (временная зависимость через экспоненту).
В общем случае , тогда получим характеристическое уравнение:
Имеем два корня, тогда общее решение можно записать в виде:
- должно быть вещественной величиной, следовательно .
Вернемся к уравнению (22.1). Имеем решение
, .
(22.2)
Уравнение (22.2) определяет частоты, возможные для данной системы - дисперсионное уравнение.
- амплитуда.
- фаза.
, - константы, определяемые из начальных условий.
Примеры колебаний:
Задачи
1. Выразить амплитуду и начальную фазу колебаний через начальные значения x0, v0 координаты и скорости.
Ответ:
2 . Найти частоту колебаний точки с массой m, способной двигаться по прямой и прикреплённой к пружине, другой конец которой закреплён в точке А на расстоянии l от прямой. Пружина, имея длину l, натянута с силой F.
Решение. Потенциальная энергия пружины (с точностью до малых величин высшего порядка) равна произведению силы F на удлинение δl пружины. при x<<l имеем:
,
так что U=Fx2/2l. Поскольку кинетическая энергия есть то
3. Найти частоту колебаний маятника, точка подвеса которого (с массой m1 в ней) способна совершать движение в горизонтальном направлении.
Решение. При φ<<1 находим:
Отсюда
§23. Колебания с n степенями свободы.
, где - -мерный вектор.
В точке - экстремум(минимум):
- условие минимума, оно понимается в смысле квадратичных форм, т.е. если умножить на вектор слева и на вектор справа, то образуется положительная скалярная величина:
, для
, где
Тогда функция Лагранжа имеет вид:
она описывает малые свободные гармонические колебания.
Уравнение движения для данной системы:
Аналогично можно получить:
Подставим полученные формулы в уравнение движения, тогда получим:
- система линейных однородных дифференциальных уравнений.
Эта система имеет нетривиальное решение, если:
- дисперсионное уравнение
Это матрицы с действительными коэффициентами.
имеет решений ,
, где - номер корня.
умножим это выражение на и просуммируем:
,
Получаем:
-матричное уравнение
пусть :
,
т.к. , тогда:
Из определения матриц и следует, что
Можно показать, что - вещественные числа, тогда
т.е. матрицы симметричные, значит:
(23.1)
Запишем два матричных уравнения:
воспользуемся свойством (23.1) и сложим два этих уравнения:
т.к. корни различны, то при получаем .
Если , то , но она неопределённая. Эта неопределённость исключается нормировкой:
Эта нормировка позволяет найти неопределённый параметр для всех корней.
Таким образом:
Рассмотрим матрицу :
тогда:
, где
-диагональная матрица.
Тогда - преобразование с помощью которого переводится в единичную, а диагонализируется.
, где
Тогда:
Переменные - нормальные координаты, или главные колебания. Это простейшая форма колебаний.
- комплексная константа.
и находятся из начальных условий:
, и , т.е. - единичная матрица.
для того чтобы получить единицу перед надо левую и правую часть умножить на :
Для компоненты :
Начальные условия:
Схема решения задач:
Составить дисперсионное уравнение.
решаем, находим корни(собственные частоты)
находим решения для нормальных координат
из решения уравнений находим коэффициент :
находим матрицу, искомый коэффициент.
зная и находим и
через 3. находим
находим
Рассмотрим колебательный LC-контур
,
- функция Лагранжа для данной системы.
Рассмотрим контур
- энергия, связанная с наличием индуктивности в системе,
Энергия, связанная с конденсатором ,
- емкости
- электростатическая индукция
Задачу эту необходимо упрощать.
Рассмотрим задачу:
Свободные колебания двухатомной молекулы.
- коэффициент взаимодействия.
здесь - удлинение по сравнению с равновесным состоянием пружины.
, - координаты точек в отсутствии деформации пружины.
, - координаты точек в деформированном состоянии
Можем найти потенциальную энергию.
Вводим переменные и
Найдём и :
и
Составим дисперсионное уравнение:
Решая его получим два корня:
и
Напишем дифференциальные уравнения для нормальных колебаний:
- здесь колебаний нет, т.к.
, где
Найдём матрицу .
Используем уравнения:
Пусть , тогда:
значит .
Аналогично рассуждая для получим:
и из условия нормировки:
, где
тогда:
,
, , но - диагональная, тогда:
Здесь - координата центра масс
Рассуждая аналогично для , получим:
, где
Пусть , , , тогда:
и
, тогда
Подставляя сюда выражения для и получим:
Итак, решение задачи:
Задачи
1. Определить малые колебания двойного плоского маятника.
Р ешение. Для малых колебаний найденная в задаче 1 параграфа 6 функция Лагранжа принимает вид :
.
Уравнения движения:
После подстановки (23,6) :
Корни характеристического уравнения:
Ответ: .
При частоты стремятся к пределам и , соответствуют независимым колебаниям двух маятников.