- •§21. Малые колебания и свойства потенциальной энергии.
- •§22. Колебания с одной степенью свободы. Характеристическое уравнение.
- •§23. Колебания с n степенями свободы.
- •§24. Затухающие одномерные колебания.
- •§25. Элементы тензорного анализа в классической механике.
- •§26. Оператор .
- •§27. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме.
- •§28. Потенциалы электромагнитного поля в вакууме.
- •§29. Градиентная инвариантность.
- •§30. -Функция.
- •§31. Объёмная плотность точечного заряда.
- •§32. Закон сохранения заряда.
- •§33. Типы калибровок.
- •§34. Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии.
- •§35. Теорема Стокса.
- •§36. Функциональные соотношения различных полей
- •§37. Тензоры и их свойства.
- •§38. Условия на границе раздела двух сред.
- •§39. Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде.
- •§40. Приближение линейного тока
§34. Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии.
С помощью этих уравнений можно описывать электромагнитное поле в среде. В среде будем ставить индекс « »=микро
включает в себя как связанные, так и свободные заряды в веществе. Каждой точке пространства ставится в соответствие функция . Это значит, что мы заменяем реальную среду моделью – сплошной средой, т.е. мы свойства разных точек «размазываем» по пространству. Существуют следующие способы описания сплошной среды на основе реальной среды:
Усреднение по некоторому физическому объёму и времени .
Статистическое усреднение. Считаем что у нас есть макроскопически-идентичный ансамбль систем(т.е. все внешние условия одинаковы). Здесь производятся измерения для отдельных ансамблей, а потом происходит усреднение. Этот способ более предпочтителен.
Усреднение будем обозначать символами «< >». Отметим, что усреднение коммутативно с дифференциальными операторами.
Итак, усредняем:
Среда под действием внешнего электромагнитного поля поляризуется, т.е. реагирует на внешнее воздействие. В случае, когда отсутствует пространственная дисперсия, поляризация характеризуется векторами электрической и магнитной поляризации . Можно показать, что и выражаются через :
Введём обозначения: ;
Перенесём второе слагаемое из правой части в левую и объединим его с :
Итак, уравнения Максвелла для среды имеют вид:
§35. Теорема Стокса.
- теорема Стокса
- Теорема Гаусса в операторной форме
Например
- теорема Стокса в операторной форме.
Задачи
1. Пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса, вычислить интегралы:
если объем, который охватывает замкнутая поверхность, равен V; A – постоянный вектор.
Решение. Умножим искомый интеграл на постоянный вектор р:
Так как вектор р произволен, то
.
Аналогично показывается, что
§36. Функциональные соотношения различных полей
Здесь - диэлектрическая проницаемость, а - диэлектрическая восприимчивость.
-разложение функции в ряд Маклорена.
Если же :
Возможно разложить по векторам в ряд Маклорена:
Первое слагаемое – это индукция, связанная с собственным дипольным моментом в отсутствие внешнего поля (собственная поляризация) – пироэлектрики.
Второе слагаемое – линейные среды.
Третье слагаемое – учёт нелинейности среды.
Среды, для которых нелинейные члены в разложении индукции по полю имеют вес, называются нелинейными.
Линейные среды
Введём обозначение: , тогда
Аналогично вводятся тензоры:
Для ферромагнетиков - учёт нелинейности.
Неоднородные среды
Среды, для которых материальные характеристики ( ) являются функциями координат.
Т.е. характеристики трансляционно неинвариантны.
Введём понятие сплошной среды. Сплошная среда – это среда в каждой точке которой измерение материальных характеристик даёт не нулевой результат. Сплошная среда – это модель. В реальной среде имеются микро-пустоты, т.е. вещество локализовано в некоторых точках пространства. Чтобы перейти к сплошной среде, нужно усреднить микро-параметры по достаточно большому объёму.
Анизотропные среды
Анизотропные среды (свойства), это такие среды, свойства которых зависят от направления, в котором это свойство измеряется.
П усть в каком-то направлении исследуются оптические свойства среды. Затем мы повернули направление исследования, и оптические свойства изменились, т.е. оптические свойства зависят от угла поворота.
Так как свойства меняются, то они неинвариантны относительно вращения. Этим свойством обладает всякая анизотропная среда.
Для тензоров 2-го ранга есть исключения:
Кубические системы описываются тензорами изотропного вида, т.е.
Монокристалл – есть однородная анизотропная среда.