- •§21. Малые колебания и свойства потенциальной энергии.
- •§22. Колебания с одной степенью свободы. Характеристическое уравнение.
- •§23. Колебания с n степенями свободы.
- •§24. Затухающие одномерные колебания.
- •§25. Элементы тензорного анализа в классической механике.
- •§26. Оператор .
- •§27. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме.
- •§28. Потенциалы электромагнитного поля в вакууме.
- •§29. Градиентная инвариантность.
- •§30. -Функция.
- •§31. Объёмная плотность точечного заряда.
- •§32. Закон сохранения заряда.
- •§33. Типы калибровок.
- •§34. Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии.
- •§35. Теорема Стокса.
- •§36. Функциональные соотношения различных полей
- •§37. Тензоры и их свойства.
- •§38. Условия на границе раздела двух сред.
- •§39. Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде.
- •§40. Приближение линейного тока
§37. Тензоры и их свойства.
Запись преобразований тензора 2-го ранга при вращении.
Пусть у нас есть монокристалл определённого вещества. Существует набор преобразований при которых его свойства инвариантны. Операции симметрии можно задать матрицами ортогональных преобразований
Оператор принадлежит к симметрическим операторам. Итак, условие инвариантности:
Для монокристалла орторомбической системы:
Оси выбираются к характерным направлениям в кристалле.
Для монокристаллов гексагональной системы:
Для кубической:
§38. Условия на границе раздела двух сред.
Рассмотрим поведение электромагнитного поля при переходе через границу раздела двух сред с различными материальными характеристиками. Используем теорему Остроградского-Гаусса и теорему Стокса:
Теорема Остроградского-Гаусса:
т.е. совершается следующий переход:
Теорема Стокса:
Запишем первое и четвёртое уравнения Максвелла в среде:
Имеется граница раздела – поверхность, отделяющая одну среду от другой.
- нормаль к поверхности.
- скачок функции на границе раздела двух сред.
Рассмотрим цилиндр, образующие которого перпендикулярны поверхности . По объёму проинтегрируем первое и уравнение Максвелла:
Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса:
В последнем равенстве мы воспользовались теоремой о среднем.
Аналогично:
Тогда:
В пределе, при ,
- заряд на поверхности раздела двух сред
Пусть в пределе , при этом
В результате получаем:
Если на поверхности нет свободных зарядов, то и , т.е. - непрерывна.
Аналогично рассмотрев второе уравнение Максвелла
Получим
Т.е. - всегда непрерывна, её скачок всегда равен нулю.
Теперь рассмотрим четвёртое уравнение Максвелла
Рассмотрим правую часть этого равенства:
Второе слагаемое, при даёт 0.
- ток, протекающий через поверхность , причём ток положителен в направлении нормали
При
Воспользуемся теоремой о среднем:
Рассмотрим предельный переход при , тогда
- поверхностный ток, текущий через перпендикулярно чертежу.
При - ток, текущий по поверхности, в расчёте на длину.
В результате получаем:
Если , то - непрерывна.
Аналогично для третьего уравнения Максвелла:
Имеем:
Т.е. тангенциальная составляющая электрического поля непрерывна.
Определим
тогда
Ввиду произвольности , это выражение эквивалентно выражению:
§39. Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде.
Поле стационарно, если оно не зависит явно от времени, т.е.
Уравнения Максвелла в этом случаем принимают вид:
+ связи:
В электростатике используются первое и третье уравнения, а в магнитостатике второе и четвертое.
Связь полей с потенциалами:
Задачи
1.Определить напряженность электрического поля внутри и снаружи равномерно заряженного шара . Объемная плотность заряда равна , радиус шара R.
Решение. Из принципа суперпозиции полей следует, что искомая напряженность поля равна разности напряженности электрического поля, создаваемого шаром без полости, и напряженности поля зарядов, заполняющих при этом полость.
Поле внутри полости
поле внутри шара (но вне полости)
поле снаружи шара
где - радиус-вектор, проведенный из центра шара к центру полости.
2. Определить коэффициенты разложения потенциала точечного заряда в интеграл Фурье.
Решение. Потенциал точечного заряда является решением уравнения
(1)
Представим и в виде разложений в интеграл Фурье:
(2)
Подставляя соотношения (2) в уравнение (1) и приравнивая в подынтегральных выражениях коэффициенты при , получим
.
3. Найти потенциал, создаваемый зарядом, распределенным в бесконечной среде по закону:
Решение. .
4. Определить потенциал точечного заряда е, находящегося в однородной анизотропной среде с заданным тензором диэлектрической проницаемости.
Решение. Предположив, что заряд расположен в начале координат, решим уравнения
Направим оси декартовой системы координат по главным осям тензора диэлектрической проницаемости. Тогда
Подставим соотношения (2) в уравнение (1):
Заменой уравнение приводится к виду
Здесь использовано свойство δ-функции:
Решение уравнения (4) имеет вид
где