- •§21. Малые колебания и свойства потенциальной энергии.
- •§22. Колебания с одной степенью свободы. Характеристическое уравнение.
- •§23. Колебания с n степенями свободы.
- •§24. Затухающие одномерные колебания.
- •§25. Элементы тензорного анализа в классической механике.
- •§26. Оператор .
- •§27. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме.
- •§28. Потенциалы электромагнитного поля в вакууме.
- •§29. Градиентная инвариантность.
- •§30. -Функция.
- •§31. Объёмная плотность точечного заряда.
- •§32. Закон сохранения заряда.
- •§33. Типы калибровок.
- •§34. Уравнения Максвелла в среде без учёта пространственно-временной дисперсии.
- •§35. Теорема Стокса.
- •§36. Функциональные соотношения различных полей
- •§37. Тензоры и их свойства.
- •§38. Условия на границе раздела двух сред.
- •§39. Уравнения Максвелла для стационарного электромагнитного поля в среде.
- •§40. Приближение линейного тока
§24. Затухающие одномерные колебания.
Если собственные частоты системы существенно меньше частот процессов диссипации, то можно обойтись только механикой (без термодинамики). Когда колебания малы, то функцию среды можно записать в квадратичном виде, например:
(свободное колебание)
здесь .
показатель затухания
1. -апериодический процесс – колебаний нет
2.
, где
тогда
тогда , т.е. энергия расходуется на трение.
т.е. для поддержания колебаний необходим приток энергии извне.
Рассмотрим аналогичную задачу для степеней свободы:
слагаемое в правой части означает воздействие внешней силы.
-диссипативная функция.
решение ищется в виде , тогда:
умножим на комплексно-сопряженное:
В силу симметрии эти числа вещественны:
Вводятся обозначения:
и
§25. Элементы тензорного анализа в классической механике.
В ведём координаты и , которые повернуты относительно и на угол .
здесь не зависит от выбора координат.
- это матрица перехода (в нашем случае матрица поворота).
Тензор представим в виде матрицы, а матрица не представима в виде тензора. Рассмотрим свойства матрицы :
- сумма по индексу
,
где - единичная матрица
Тогда:
Если , то это соответствует и .
-инверсия
- вращение
,
при :
-компонента вектора (тензора первого ранга)
Можно ввести некоторые объекты , где компонент будет , которые преобразуются по правилу:
,
где - тензор
Для криволинейных координат вводятся контравариантные векторы и ковариантные векторы .
и - различные системы векторов
,
здесь и - различные величины.
§26. Оператор .
Оператор набла – векторный дифференциальный оператор. Оператор набла можно ввести по-другому:
Часто знак суммы опускают (правило суммирования Эйнштейна).
Запишем условие ортонормированности рассматриваемого базиса:
Действия оператора набла:
Оператор набла действует на скалярную функцию F:
или
Оператор набла скалярно действует на векторную функцию :
Оператор набла векторно умножается на векторную функцию :
Кроме векторного и скалярного, есть ещё смешенное произведение векторов:
- объем параллелепипеда.
- единичный антисимметричный тензор третьего ранга.
Задачи
1. Вычислить градиент функции f(r), зависящей только от модуля радиус-вектора r.
Решение.
2. Вычислить где p – постоянный вектор.
Решение.
§27. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме.
Будем использовать гауссову систему единиц.
и являются источниками поля. Уравнения Максвелла позволяют по заданным источникам рассчитать электромагнитное поле. Уравнениям Максвелла в дифференциальной форме ставятся в соответствие уравнения в интегральной форме.