сигнала и сигнала на выходе фильтра полностью совпадают;
∙уравнение (2.39) определяет минимально возможную полосу пропускания фильтра низкой частоты, которая обеспечивает ограничение полосы частот
цифрового baseband сигнала |
без внесения |
межсимвольных искажений. |
|
2.3.4.Ограничение полосы частот цифрового сигнала
Реально ФНЧ с импульсной характеристикой вида sin(x)
x ,
определенной в (2.35), находит ограниченное применение. Это обусловлено следующими причинами:
∙трудность реализации очень крутых фронтов частотной характеристики. В любом случае требуется некоторая разумная аппроксимация прямоугольных фронтов ФНЧ, и желательно, чтобы эта новая частотная характеристика также удовлетворяла критерию Найквиста;
∙поведение импульсной характеристики вблизи нуля также существенно влияет на величину межсимвольной интерференции, возникающей вследствие неточного совпадения времени отсчетов с нулями импульсной характеристики. Точный анализ величины межсимвольных искажений на выходе ФНЧ показывает, что чем больше крутизна характеристики he (t) вблизи нуля, тем меньше межсимвольные искажения. С этой точки зрения характеристика вида sin(x)
x - наихудшая, поскольку
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
имеет минимальную крутизну в нуле, пропорциональную 1
t .
Найквист исследовал и эту проблему и определил, что фильтр с полосой частот B > 1/ 2×Ts также может
удовлетворять критерию отсутствия межсимвольных искажений, если его частотная характеристика может быть представлена в виде
|
|
|
|
|
|
H ( f ) = P( |
f |
) × Z ( f ) , |
|
(2.41) |
||||||||
где |
f0 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Z( f ) = Z(− f ) ; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Z( f ) = 0 |
для |
|
f |
|
> f0 ; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
f |
|
|
|
|
f0 >1/ 2×Ts ; |
|
|
||||||||||
П( |
) - |
|
прямоугольная |
|
частотная |
характеристика на |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
f0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интервале |
|
f |
|
< f0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Соответствующая импульсная |
|
характеристика |
фильтра |
|||||||||||||||
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
h(t) = |
1 |
× |
sin(p ×t /Ts ) |
|
× z(t) . |
(2.42) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
s |
|
|
(p ×t /T ) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
||
Наиболее распространенным фильтром с характеристикой Найквиста вида (2.42) является фильтр типа "приподнятый косинус" (raised cosine filter). Импульсная и частотная характеристики этого фильтра (рис.2.13, 2.14) имеют следующий вид:
h(t) = |
sin(pt /Ts ) |
× |
cos(pat /Ts ) |
; |
(2.43) |
|||
pt |
|
|||||||
|
1- ( |
2at |
) |
2 |
|
|
||
|
|
T |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
|
|
|
H( f ) =1, 0 £ f £ |
1-a |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
H( f ) = |
1 ×[1+cos(p× 2Ts |
f -1+ a)] , |
1-a |
< f |
< |
1+a; |
(2.44) |
|||
|
2 |
|
|
2a |
|
2T |
|
|
2T |
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
s |
|
|
|
|
H( f ) = 0 , f > 1+a. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
h(t/Tb) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t/Tb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–4 |
–3 |
–2 |
–1 |
0 |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
Рис.2.13. Импульсная характеристика фильтра "приподнятый |
||||||||||
косинус":
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
1 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
fTb |
|
|
|
|
|
|
|
0,2–1 |
–0,5 |
0 |
|
0,5 |
1 |
|
Рис.2.14. Частотная характеристика фильтра "приподнятый косинус": |
||||||
1 - α = 0; 2 - α = 0,5; 3 - α = 1
Параметр α называется параметром "обкатки" или "сглаживания", который может принимать значения от 0 до 1. При α = 1 фильтр имеет идеальную косинусную частотную характеристику. При увеличении α косинус начинает "приподниматься", его вершина уплощается, уменьшается занимаемая полоса частот. При α = 0 фильтр "приподнятый косинус" соответствует фильтру с идеализированной прямоугольной частотной характеристикой и минимальной шириной полосы частот. Фильтры, удовлетворяющие критерию Найквиста, теоретически позволяют полностью избежать межсимвольной интерференции при ограничении полосы частот модулирующего сигнала. Как правило, такие фильтры используются в системах связи с фазовой модуляцией, разработанных для обеспечения максимальной вероятности правильного приема.
Наряду с фильтрами Найквиста применяются и другие фильтры, не отвечающие критерию отсутствия
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
межсимвольной интерференции. Основанием для использования фильтров с характеристиками, не отвечающими критерию Найквиста, является тот факт, что ограничение полосы частот модулирующего сигнала не является единственным источником межсимвольной интерференции в радиоканале. Вполне возможно, что ошибки в приеме информации, вызванные ограничением полосы частот модулирующего сигнала, меньше, чем ошибки, вносимые другими эффектами. В частности, параметры многолучевого канала распространения определяются очень приближенно, они непостоянны во времени. В разделе 2.3.3. определено, что критерий Найквиста относится к импульсной (частотной) характеристике всего радиоканала, включая и среду распространения, а не только приемник и передатчик. Трудно представить построение оптимального фильтра в условиях непостоянной и неконтролируемой характеристики среды распространения. Следует также учитывать, что требования к достоверности приема информации в речевых системах связи обычно бывают разумными. В этом случае другие параметры фильтра, такие как простота реализации или стоимость могут иметь решающее значение.
К числу наиболее часто применяемых фильтров, характеристика которых не отвечает критерию Найквиста, относится гауссовский фильтр. Фильтр с характеристикой Гаусса обычно используется в системах связи с частотной модуляцией, например, в широко известной системе сотовой связи GSM. В отличие от импульсных характеристик фильтров Найквиста, которые имеют нулевое значение во временных точках, соответствующих моментам прихода очередного импульса цифрового
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
сигнала, фильтр Гаусса имеет монотонно уменьшающуюся к нулю импульсную характеристику:
|
|
|
|
-( |
p |
×t)2 |
|
|
|
p |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
h(t) = |
|
|
|
×e a |
. |
(2.45) |
|
a |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
Частотная характеристика гауссовского фильтра имеет вид
|
|
|
|
|
H ( f ) = e-(a× f )2 , |
(2.46) |
|
|
|
|
1 |
|
0,5887 ; DfG - полоса |
|
|
где a = |
ln 2 |
× |
= |
пропускания |
|||
2 |
DfG |
||||||
|
|
|
DfG |
|
фильтра по уровню 3 дБ.
Импульсные и частотные характеристики фильтра Гаусса для различных значений относительной полосы пропускания BT = DfG ×Ts показаны, соответственно, на
рис.2.15, 2.16. Неравенство нулю импульсной характеристики фильтра в моменты времени, кратные длительности импульсов в исходном цифровом сигнале, приводит к тому, что истинное значение амплитуды импульса на выходе искажается, т.е. будут обязательно внесены межсимвольные искажения. Импульсные характеристики идеального ФНЧ, косинусного фильтра Найквиста и фильтра Гаусса существуют на всей временной оси, включая область отрицательного времени. Это означает, что реакция на выходе фильтра на любое воздействие появляется раньше, чем само воздействие.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
h(t/Tb)
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
3 |
t/Tb |
|
|
|
|
|
–2 |
–1 |
0 |
1 |
2 |
Рис.2.15. Импульсная характеристика фильтра Гаусса:
H(fTb)
1
0,8 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0,6 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
fTb |
|
|
|
|
|
|
|
–6 |
–4 |
–2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
Рис.2.16. Частотная характеристика фильтра Гаусса:
1 - BT = 1; 2 - BT = 0,5; 3 - BT = 0,3
Подобного рода импульсная характеристика соответствует специальному виду фильтров, называемых некаузальными. Реакция на выходе некаузального фильтра в каждый момент времени зависит не от текущего воздействия (с учетом, разумеется, задержки), а от всех воздействий в течение рассматриваемого периода времени. Иначе говоря, каждый
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
импульс оказывает влияние на форму всех иных импульсов в сообщении - от первого до последнего. И только знание всей совокупности входных импульсов позволяет получить правильную форму всей совокупности выходных импульсов.
Нереализуемость косинусного фильтра на RLC элементах очевидна. Все фильтры на RLC элементах являются каузальными - отдельные импульсы цифрового сигнала проходят через фильтр последовательно и форма текущего импульса на выходе фильтра не может быть изменена приходом последующих импульсов.
Однако в цифровом виде реализация некаузальных фильтров вполне возможна и с помощью DSP процессоров реализуется без особых проблем. Кратко алгоритм фильтрации можно пояснить следующим образом. Предположим, что сообщение содержит не более чем N импульсов. В процессоре происходит задержка сообщения на N временных интервалов, так что обработка (фильтрация) производится сразу над всем сообщением. В зависимости от конкретного набора импульсов в цифровом сигнале вычисляется реакция фильтра по известной импульсной характеристике фильтра (как интеграл свертки). Затем вычисленные уровни цифрового сигнала поступают на ЦАП процессора, который и формирует в окончательном виде аналоговый фильтрованный сигнал.
Разумеется, реальное сообщение имеет очень большое и неопределенное количество импульсов, и никто не задерживает сообщение на всю его длину. В этом и нет необходимости, так как импульсная характеристика достаточно быстро затухает и отдаленные по времени импульсы практически не влияют друг на друга. Поэтому для каждого выбранного значения α фильтра Найквиста,
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com